二次函数综合题分类汇总.docx
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二次函数综合题分类汇总.docx
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二次函数综合题分类汇总
二次函数综合题分类汇总
二次函数综合题解题方法
解数学压轴题一般可以分为三个步骤:
认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。
解题方法:
1、待定系数法求二次函数的解析式;2、会用配方法、公式法求抛物线的顶点坐标、对称轴方程
重要数学思想:
转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。
一、距离问题
例1:
(2014•枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合).
(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值.
例2:
(2014年山东泰安)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣
x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;
例3:
(2014年山东日照)(2014•日照)如图1,在菱形OABC中,已知OA=2
,∠AOC=60°,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过O,C,B三点.
(Ⅰ)求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式.
(Ⅱ)如图2,点E是AC的中点,点F是AB的中点,直线AG垂直BC于点G,点P在直线AG上.
(1)当OP+PC的最小值时,求出点P的坐标;
1、
2、
3、直角三角形相似问题
例1:
(2014•威海)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)E为抛物线上一动点,是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似?
若存在,试求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
例2:
25.(2014东营)如图,直线y
=2x+2与x轴交与点A,与y轴交与点B,△AOB沿y
轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线
与直线BC交于点D(3,
).
(1)求直线BD和抛物线的解析式;
(2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
例3:
(2011•临沂)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
:
(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4、等腰三角形相似问题
例1:
(2007临沂)如图①,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式;
(3)连接OA、AB,如图②,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
例2:
(2014•日照)如图1,在菱形OABC中,已知OA=2
,∠AOC=60°,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过O,C,B三点.
(Ⅰ)求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式.
(Ⅱ)如图2,点E是AC的中点,点F是AB的中点,直线AG垂直BC于点G,点P在直线AG上.
(1)当OP+PC的最小值时,求出点P的坐标;
(2)在
(1)的条件
下,连接PE、PF、EF得△PEF,问在抛物线上是否存在点M,使得以M,B,C为顶点的三角形与△PEF相似?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
平行四边形问题:
1、平行于“x轴”
例1:
(2007临沂)如图①,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
例2:
(2011•临沂)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;
例3:
(2011湛江)如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(﹣1,﹣4),与y轴交于点C(0,﹣3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形;
(3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的的四边形为平行四边形?
若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
2、平行于“y轴”
例1:
(2011广东)如图,抛物线
与y轴交于A点,过点A的直线与抛物
线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在
(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接C
M,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?
问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?
请说明理由.
例2:
25.(2014东营)如图,直线y
=2x+2与x轴交与点A,与y轴交与点B,△AOB沿y
轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线
与直线BC交于点D(3,
).
(1)求直线BD和抛物线的解析式;
(3)在直线BD上方的抛物线上有一动点
,过点
作PH垂直于x轴,交直线BD于点
.当四边形
是平行四边形时,试求动点
的坐标.
例2:
(2014济宁)如图,抛物线
与x轴交于A(5,0)、B(-1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线
于点C;
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点A关于直线
的对称点
的坐标,判定点
是否在抛物线上,并说明理由;
(3)
点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段
于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
例3:
(2014•莱芜)如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求此时点M的横坐标;若不存在,请说明理由;
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