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第二章函数121212
第二章 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示
[一、函数与映射的概念
映射、函数两个集合A,B集合A,B是两个非空的集合集合A,B是两个非空的数集,对应关系按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素a,在集合B中都有唯一确定的元素b与之对应按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数记法f:
A→By=f(x),xA
函数与映射的关系
函数实质上就是数集上的一种映射,即函数是一种特殊的映射,映射是函数概念的推广.函数与映射都是一种对应关系,可以一对一,多对一,但不能一对多.
二、函数的三要素
1.定义域
在函数y=f(x),xA中,自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域.
2.值域
函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
定义域、值域和对应关系是构成函数的三要素.
3.相等函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.
【方法技巧】 判断相等函数的方法
先分别求两函数的定义域,若定义域不同,则不是相等函数;若定义域相同,再化简函数的解析式;若解析式不同,则不是相等函数;若解析式相同,则为相等函数.
三、函数的表示方法
函数的表示方法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
四、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
【拓展延伸】分段函数三要点
(1)分段函数是一个函数,切不可把它看成是几个函数.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
(2)一个函数只有一个定义域,分段函数的定义域只能写成一个集合的形式.
(3)求分段函数的值域,应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合,再求出它们的并集.
[基础能力提升]
1.下列式子不能表示函数y=f(x)的是( )
A.x=y2+1B.y=2x2-1
C.x-2y=6D.x=
【解析】 A选项为y2=x-1,y不是x的函数;B选项是二次函数;C中,由x-2y=6得y=x-3,是一次函数;D中,由x=得y=x2(x≥0),是二次函数.
【答案】 A
2.下列函数中,与函数y=x相同的是( )
A.y=B.y=()2
C.y=lg10xD.y=2log2x
【解析】 因为y==x(x≠0);y=()2=x(x≥0);
y=lg10x=x(xR);y=2log2x=x(x>0),故选C.
【答案】 C
3.函数f(x)=则f(f
(2))=( )
A.B.1C.D.3
【解析】 f
(2)=log22=1,f(f
(2))=f
(1)=cos=.
【答案】 A
4.映射f:
A→B,在f作用下A中元素(x,y)与B中元素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1)对应的A中元素是________.
【解析】 由题意知所以与B中元素(0,1)对应的A中元素为(1,2).
【答案】 (1,2)
1.两个防范:
(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.
(2)用换元法解题时,要注意换元前后的等价性.
2.三种方法:
求函数解析式的方法
(1)待定系数法;
(2)换元法;(3)解方程组法.
3.四个注意点:
求函数定义域应注意的问题
(1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合.
(2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接.第二节 函数的单调性与最值
[基础知识深耕]
一、函数的单调性
1.函数单调性的定义及几何意义
增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数几何意义自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的2.单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.函数的单调区间是其定义域的子集.
【拓展延伸】 函数单调性的运算性质
若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:
(1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
(2)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性;在a<0时具有相反的单调性.
(3)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数.
(4)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于零,则f(x)·g(x)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则f(x)·g(x)是减(增)函数.
(5)f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则.
二、函数的最值
前提设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意的xI,都有f(x)≤M;存在x0I,使得f(x0)=M对于任意的xI,都有f(x)≥M;存在x0I,使得f(x0)=M.结论M是y=f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值【拓展延伸】 函数最值存在的两条定论:
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
[基础能力提升]
1.下列说法:
若函数f(x)在区间(a,b)上是单调增函数,在区间(b,c)上也是单调增函数,则函数f(x)在区间(a,b)(b,c)上是单调增函数;
对于函数f(x),在给定区间内存在两个值x1,x2,使得当x1f(x2)成立,则函数f(x)在给定区间上是单调减函数;
定义在R上的函数f(x)对于任意两个不相等的实数a,b,总有>0,则函数f(x)是单调增函数.
正确的是( )
A. B. C. D.
【解析】 如函数y=-在区间(-∞,0)与(0,+∞)上均为增函数,但在(-∞,0)(0,+∞)上并不具有单调性,错;中缺少x1,x2的取值是“任意的”,故不正确;由>0知,当a>b时,f(a)>f(b),当af(m),则实数m的取值范围是________.
【解析】 f(x)是R上的减函数,且af(b).
又f(1-m)>f(m),1-m.
【答案】 >
1.一个防范:
函数单调区间的表示
单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用符号“”联结,也不能用“或”联结.
2.二种形式:
单调函数的两种等价变形
设任意x1,x2[a,b]且x10f(x)在[a,b]上是增函数;<0f(x)在[a,b]上是减函数.
(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0f(x)在[a,b]上是减函数.
3.四种方法:
判断函数单调性的四种方法
(1)定义法;
(2)复合法;(3)图象法;(4)导数法.
4.五个步骤:
定义法证明函数单调性的五个步骤
取值、作差、变形、定号、结论.
第三节 函数的奇偶性与周期性
[基础知识深耕]
一、奇、偶函数的定义及图象特征
1.奇、偶函数的定义
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.
(1)f(x)为偶函数f(-x)=f(x).
(2)f(x)为奇函数f(-x)=-f(x).
2.奇、偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
【拓展延伸】 1.函数奇偶性的判断
(1)利用奇偶函数的定义或定义的等价形式:
=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.
(2)利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.
(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:
f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数2.奇、偶函数对称区间上的单调性
奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.奇函数图象与原点的关系
如果奇函数f(x)在原点有定义,则f(0)=0.
二、周期性
1.周期函数
T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:
(1)T≠0.
(2)f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
【拓展延伸】 周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=,则T=2a;
(3)若f(x+a)=-,则T=2a.
(4)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x)(其中a<b),则y=f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.
(5)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2|a-b|.
[基础能力提升]
1.下列说法错误的个数为( )
图象关于原点对称的函数是奇函数;
图象关于y轴对称的函数是偶函数;
奇函数的图象一定过原点;
偶函数的图象一定与y轴相交.
A.4B.3C.2D.0
【解析】 正确,错误.
【答案】 C
2.下列函数,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是减函数的是( )
A.f(x)=B.f(x)=
C.f(x)=x3D.f(x)=x2
【解析】 对A、C,函数是奇函数;对D,函数虽是偶函数,但在(0,+∞)上是增函数.故选B.
【答案】 B
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
【解析】 f(x+4)=f(x),
f(x)是以4为周期的周期函数.
f(8)=f(0).
又函数f(x)是定义在R上的奇函数,
f(8)=f(0)=0,故选B.
【答案】 B
4.若f(x)在[-3,3]上为奇函数,且f(3)=-2,则f(-3)+f(0)=________.
【解析】 由题意知f(-3)=-f(3)=2,f(0)=0.
f(-3)+f(0)=2+0=2.
【答案】 2
1.两个性质:
奇、偶函数的两个性质
(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.
(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.三种方法:
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法;
(2)图象法;(3)性质法.
3.三条结论:
与周期性和对称性有关的三条结论
(1)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x)(其中a<α1时,函数图象向y轴弯曲,类似于y=x3的图象.
[基础能力提升]
1.下列说法正确的是( )
A.函数y=是二次函数
B.二次函数y=1-x2的图象开口向上
C.函数y=-2(x-1)2-2图象的顶点坐标是(-1,-2)
D.圆面积公式S=πr2中,S与r是二次函数关系
【解析】 函数y=不是二次函数,函数y=1-x2的图象开口向下,函数y=-2(x-1)2-2图象的顶点为(1,-2),故A、B、C均错误.
【答案】 D
2.二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点(3,-8),(-5,-8),则此函数的对称轴方程是( )
A.x=4B.x=3C.x=5D.x=-1
【解析】 由题意f(3)=f(-5),故对称轴方程为x==-1,应选D.
【答案】 D
3.已知点M在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式为( )
A.f(x)=x2B.f(x)=x-2
C.f(x)=xD.f(x)=x-
【解析】 设f(x)=xα,则有3=α,即3=3-α,
-α=1,α=-2,f(x)=x-2,故选B.
【答案】 B
4.函数f(x)=-x2+2x在区间[2,3]上的最大值是________.
【解析】 函数f(x)在[2,3]上单调递减,故f(x)max=f
(2)=0.
【答案】 0
1.两个易误点:
(1)研究函数f(x)=ax2+bx+c的性质,易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数.
(2)形如y=xα(αR)才是幂函数,如y=3x不是幂函数.
2.三种形式:
二次函数表达式的三种形式
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:
y=a(x+h)2+k(其中a≠0,顶点坐标为(-h,k)).
(3)两根式:
y=a(x-x1)(x-x2)(其中a≠0,x1,x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).
3.三条性质:
幂函数的三条性质
(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义.
(2)幂函数图象过定点(1,1).
(3)当α>0时,幂函数的图象都过点(0,0),(1,1),且在(0,+∞)上递增;当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上递减.
第五节 指数与指数函数
[基础知识深耕]
一、指数幂的概念与性质
1.根式
(1)根式的概念
根式的概念符号表示备注如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n>1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数±负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
=
()n=a.
【拓展延伸】 与()n的区别:
当n为奇数时,或当n为偶数且a≥0时,=a;
当n为偶数且a<0时,=-a;
而()n=a恒成立.
由于与()n形式特别相似,使用时一定要注意区分.
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
零指数幂:
a0=1(a≠0);
负整数指数幂:
a-p=(a≠0,pN*);
正分数指数幂:
a=(a>0,m,nN*,且n>1);
负分数指数幂:
a-==(a>0,m,nN*,且n>1);
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的性质
aras=ar+s(a>0,r,sQ);
(ar)s=ars(a>0,r,sQ);
(ab)r=arbr(a>0,b>0,rQ).
二、指数函数的图象与性质
a>10 (1)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),三点. (2)函数y=ax与y=x的图象关于y轴对称. (3)函数y=ax(a>0且a≠1)中,底数a的大小决定了图象相对位置的高低,在第一象限内,底数越大,图象越高. [基础能力提升] 1.下列说法正确的是( ) A.函数y=3·2x是指数函数 B.函数y=x3是指数函数 C.y=x是R上的减函数 D.函数f(x)=4+ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,5) 【解析】 函数y=3·2x不是指数函数,y=x3是幂函数,当0 【答案】 > 1.一个关系: 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的,它们可以互化,通常用分数指数幂进行根式的化简运算. 2.两点注意: 一是指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按0 二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系,在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大. 3.三个关键点: 画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象,应抓住三个关键点: (1,a),(0,1),. 第六节 对数与对数函数 [基础知识深耕] 一、对数的概念与性质 对数的定义如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)loga1=0(a>0,且a≠1); (3)logaa=1(a>0,且a≠1); (4)alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0).二、对数的运算 运算法则如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: loga(M·N)=logaM+logaN; loga=logaM-logaN; logaMn=nlogaM(nR). 换底公式logab=(a,c均大于0且不等于1,b>0).【拓展延伸】 换底公式的变形与推广: (1)logab·logba=1,即logab=; (2)logambn=logab; (3)logab·logbc·logcd=logad. 三、对数函数的图象与性质 (1)对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质 a>10 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”: 当a>1时,对数函数的图象“上升”;当0 【拓展延伸】 互为反函数的性质: (1)两函数的定义域和值域互换; (2)两函数的图象关于直线y=x对称,其单调性、奇偶性一致. [基础能力提升] 1.函数y=loga(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是( ) A.B. C.(1,0)D.(0,1) 【解析】 令3x-2=1,则x=1,此时y=loga1=0,即函数图象过定点(1,0). 【答案】 C 2.已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( ) A.a=bcC.a 【解析】 a=log23+log2=log23,b=log29-log2=log23,a=b. 又函数y=logax(a>1)为增函数, a=log23>log22=1,c=log32c. 【答案】 B 3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f (2)=1,则f(x)=( ) A.B.2x-2 C.logxD.log2x 【解析】 由题意知,f(x)=logax,且f (2)=1,即loga2=1,a=2,f(x)=log2x. 【答案】 D 4.已知a=(a>0),则loga=________. 【解析】 a>0,a=,loga=,2loga=,loga=,loga=3. 【答案】 3 1.一种关系: 指数式与对数式的互化 ab=NlogaN=b(a>0,a≠1,N>0). 2.两个注意点 解决与对数有关的问题时,应注意: (1)务必先研究函数的定义域. (2)对数函数的单调性取决于底数a,应注意a的取值范围. 3.三个关键点 画对数函数的图象应抓住三个关键点; (a,1),(1,0),. 4.四种方法: 对数值大小比较的方法 (1)化同底后利用函数的单调性. (2)作差或作商法. (3)利用中间量0或1. (4)化同真数后利用图象比较. 第七节 函数的图象 [基础知识深耕] 一、利用描点法画其图象的流程 二、图象变换 1.平移变换 2.对称变换 (1)y=f(x)y=-f(x); (2)y=f(x)y=f(-x); (3)y=f(x)y=-f(-x); (4)y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1). 3.翻折变换 (1)y=f(x)y=|f(x)|. (2)y=f(x)y=f(|x|). 【方法技巧】 平移变换八字方针: (1)对于左(右)平移变换,可熟记为: 左加右减,但要注意加(减)指的是自变量. (2)对于上(下)平移变换,可熟记为: 上加下减,但要注意加(减)指的是函数值. [基础能力提升] 1.下列说法不正确的是( ) A.描点法作图一般要通过列表、描点、连线三个步骤 B.用描点法作图选点时往往选取特殊点 C.用描点法作图时有时可结合函数的性质 D.描点法是作函数图象的唯一途径 【答案】 D 2.下列说法正确的个数为( ) 若函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数f(x)的周期为2; 函数y=f(|x|)与y=|f(x)|的图象是相同的; 函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于x轴对称. A.0个B.1个C.2个D.3个 【解析】 f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x),f(x)的周期为2,正确;由对称变换知f(|x|)与|f(x)|的图象不相同;y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. 【答案】 B 3.函数y=2x+1的图象是( ) 【解析】 y=2x+1的图象是y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的,应选A. 【答案】 A 4.函数f(x)=|log2x|的图象是( ) 【解析】 法一: f(x)=结合图象可知A正确. 法二: 结合翻折变换,可知选A. 【答案】 A 1.两个区别 (1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数图象对称. 一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数图象的对称. (2)函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象不同,y=|f(x)|的图象是保留y=f(x)图象在x轴上方的部分,把x轴下方的翻折上去;y=f(|x|)的图象是保留y轴右侧的部分,左侧部分和右侧部分关于y轴对称. 2.三种途径 考查函数图象形状和位置有以下三种途径: (1)图象变换: 平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质. 第八节 函数与方程 [基础知识深耕] 一、函数零点 1.定义: 对于函数y=f(x)(xD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点. 2.函数零点与方程根的关系: 方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点. 3.零点存在性定理: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0(a,b),使得f(x0)=0. 二、
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