初三动点抛物线教学内容.docx

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初三动点抛物线教学内容

例1、如图，直线y

点B1,0.

动点问题四（抛物线）

4x4与x

3

轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点

（1）

（2）

求该二次函数的关系式；设该二次函数的图象的顶点为

（3）

M，求四边形AOCM的面积；

有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的

2

速度沿折线OAC按OtAtC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OtCta的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动•设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S.

1请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE//OC,若存在，

求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

2请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设

So是②中函数S的最大值，那么So

解:

（1）A3,0.

C0,4

所求二次函数的关系式为

42

8/

4.2

16

（2）vyx

x4

=x1

3

3

3

3

.顶点M的坐标为

1Q

3

过点M作MF

x轴于F

1

--S四边形AOCMS^AFMS梯形FOCM=—

2

16

3

16

3

.四边形AOCM的面积为10

（3）

•若

①不存在DE//OC

DE//0C,则点D,

E应分别在线段

OA，CA上，此时1

设点

E的坐标为x1,y1

4t4

5

12t12

•/DE//OC,

12t12

5

不存在de

3t.t

2

//OC•

•/t

8

->2,

3

不满足

②根据题意得

D,E两点相遇的时间为

3_

飞4

2

24

11

（秒）

现分情况讨论如下:

3t2;

ii）当1t<2时，设点

E的坐标为

X2,y2

lyj54t4

厂，也

133616t

t

225

1^2耳t

55

24

iii）当2

11

X3

设点D的坐标为x4,y4•••

4

3t3

2

5

…y4

③S。

6t12•

5

3616t

3

5

243

80

例2•关于X的二次函数

Saaoe氐aod

6t12

33

t

5

72

y3，类似丘可得y3

22

x（k

4）x

2k2以y轴为对称轴，且与

y轴的交点在x轴上方.

（1）求此抛物线的解析式,

并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;

（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点

A作AB垂直于x轴于点

B，再过点A作x轴的平行线

交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点的横坐标为x，试求I关于x的函数关系式；

C，得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为I，点A

（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形

ABCD能否成为正方形•若能，请求出此时正方形的周

长；若不能，请说明理由.

解：

（1）据题意得：

k2

当k2时,

2k220.

2时，2k2

0.又抛物线与

抛物线的解析式为:

（2）

解：

令x22

x2时，A,D1

2x,

2

A1B1x

2（AB!

AiDi）

2x2

4x

A2D2

2x,

A2B2

（x2

2）

x22.

I2（A2D2

2

a>B2）2x

4x

I关于x的函数关系是:

当0x2时，I2x2

4x

y轴的交点在

当x,2时,

2

丨2x4x4.

（3）当0

J2时，令A1B1AD1,

2x

0•解得

x13（舍），或x13.

2x24x4,

■2时，令A2B2

2

A2D2，得x

2x2

0•解得x1（舍），或x13.

1、、3代入l2x24x4，得

综上,

矩形ABCD能成为正方形，且当

1时正方形的周长为838；当x1时，正方形

的周长为8、.38.

例3：

如图在平面直角坐标系中，二次函数

2.

axbxc（a0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C

B点的坐标为（3，0），

点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，

1

OB=OC,tan/ACO=

3

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）

E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、CE、

F的坐标；若不存在，请说明理由.

若平行于x轴的直线与该抛物线交于MN两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的

经过C、D两点的直线，与x轴交于点

F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出点

（3）

长度.

（3）如图10,若点G（2,y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？

求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

由已知得：

C（0,-3）,

A（-1,0）将A、BC三点的坐标代入得

9a

3b

解得：

b2所以这个二次函数的表达式为：

yx22x3

c3

（2）存在，F点的坐标为（2,—3）

理由：

易得D（1,—4）,所以直线CD的解析式为：

yx3

•••E点的坐标为（一3,0）

由A、CE、F四点的坐标得：

AE=CF=2,AE//CF「.以AC、E、F为顶点的四边形为平行四边形

•存在点F,坐标为（2,—3）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0）,贝UN（R+1,R）,

代入抛物线的表达式，解得R117

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r则N（r+1,—r）,

（r>0）,

代入抛物线的表达式，解得

1/17

•圆的半径为1一丄7或

2

..17

（4）

过点P作y轴的平行线与AG交于点Q

易得

G（2,—3）,直线AG为y

2

（X,x2x3）,则Q（x,

—x—1）,

PQ

12

SAPGSAPQSGPQ—（x

2

x2）3

x1时，△APG的面积最大

2

1

此时P点的坐标为，

2

15

4

apg的最大值为

27

8

例4已知：

如图14,抛物线

2

3与x轴交于点A,

与直线

b相交于点B，点

3

C,直线yxb与y轴交于点E.

4

（1）

M在线段

AB上以每秒1个单位长度

写出直线BC的解析式.

（2）求厶ABC的面积.（3）若点的速度从A向B运动（不与A,B重合）,同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动•设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

解：

（1）在y

3x23中，令y°

BC的解析式为

X1

2,

X2

2

A（

2,0）,B（2,0）

3

3

3

x

b上

0

b

b

4

2

2

3

3

y

x

—

4

2

32-

-x

3

4

，得

3

x

3

y1

4

2

y

（2）由

y

1

9

4

x22

Y20

9-4

D

c

4

B

A

SaABC

9

C19,B（2,0）

4

（3）过点N作NP

MB于点PQEOMB

NP//EO

△BNPs\BEO

BN

BE

NP

由直线y

333

x可得：

E0,—

422

在△BEO中,

BO

2,

EO3，则

BE

5

2

2

2t

NP

6

^16,

NP

t

S匹tg[4

t）

5

3

5

25

2

2

EO

3t212t（0t4）S

55

3212

（t2）Q此抛物线开口向下,

55

当t2时，S最大

12

5

当点M运动2秒时,

△MNB的面积达到最大，最大为

12

5

例5在平面直角坐标系

xOy中，已知二次函数

2

yax

bxc（a

（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1,且过

点（2,3）和（3,12）.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线l:

ykx（k0）与线段BC交于点D（不与点B,C重

合）,则是否存在这样的直线l，使得以B,O,D为顶点的三角形与

△BAC相似？

若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不

存在，请说明理由；A（1,0）,B（3,0）,C（0,3）

（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任

意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出此

0）的图象与x轴交于A,B两点

时点P的横坐标Xp的取值范围.

解：

（1）Q二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点（2,3）和（3,12）,

2a

a1,

由4a2bc3,

解得b2,

9a3b212.

c3.

此二次函数的表达式为

BD

BO

已有

B

B

，则只需

①

BC

BA

BO

BD

或

-.②成立.

BC

BA

（2）假设存在直线l:

ykx（k

0）与线段BC交于点D（不与点B,C重合），使得以B,O,D为顶点

的三角形与△BAC相似.

在yx22x3中，令y0,则由x22x30,解得论

A（1,0,B（3,0）.令x0，得y3.C（0,3）.

设过点O的直线I交BC于点D，过点D作DE丄x轴于点E.

Q点B的坐标为（3,0），点C的坐标为（0,3），点A的坐标为（1,0）.

AB4,OBOC3,OBC45OBCJ332血.

要使△BODBAC或厶BDOBAC,

若是①，则有|BD呼甘BC33血

|BA4

2在RtABDE中，由勾股定理，得BE

9/2

4•

而

OBC

45。

，

BE

DE

2

2

2

9血2

DE

2

BE

BD

—

4

OEOB|BE393.

44

9

解得BEDE-（负值舍去）

4

3

0）中，求得k3.

9

点D的坐标为，一•将点D的坐标代入ykx（k

44

满足条件的直线I的函数表达式为y3x.

［或求出直线AC的函数表达式为

y3x3，则与直线

AC平行的直线I的函数表达式为

3x.此时

易知△BODBAC,再求出直线BC的函数表达式为y

x3.联立y3x,yx3求得点D

将点E（1,0）的坐;

标代'

入y

kx

3中,

求得k

3•

此直线的函数表达式为

y

3x3

设点P的坐标为

（X,

3x

3）,

并代入

2

yx

2x3，得x25x0

解得x-i5,x2

0

（不合

题意,

舍去）

X

5,y12•

点P的坐标为

（5,

12）

•此时，锐角

PCO

ACO•

（1）求A、B、C三点的坐标.

若是②，则有BD戶0他BAI-42罷•而OBC45°,BEDE|BC|3/2

2222j—2

在RtABDE中，由勾股定理，得|BEDE2BEBD（242）.

解得BEDE2（负值舍去）•OEOBBE321.

点D的坐标为（1,）•将点D的坐标代入ykx（k0）中，求得k2•

•••满足条件的直线I的函数表达式为y2x•

存在直线I:

y3x或y2x与线段BC交于点D（不与点B,C重合）,使得以B,O,D为顶点的三

39

角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为或（1,2）•

44

（3）设过点C（0,3,E（1,0）的直线ykx3（k0）与该二次函数的图象交于点

（2）过点A作AP//CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.

（3）在X轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGX轴于点G,使以A、M、G三点为顶点

的三角形与PCA相似•若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由.

解：

（1）令y0，得X210解得X

令x0，得y1•••A（1,0）B（1,o）C（0,1）

（2）tOA=OB=OC=1

BAC=ACO=BCO=45°

•/AP//CB,•PAB=45°

过点P作PEx轴于E,贝UAPE为等腰直角三角形

令OE=a，贝yPE=a1•P（a,a1）•••点P在抛物线yx21上•a1a21

1111

•四边形ACBP的面积S=—AB?

OC+—AB?

PE=21234

⑶.假设存在

222

2

PAB=BAC=45°

•PAAC

解得a12，a21（不合题意，舍去）•PE=3

•/MGx轴于点G,

MGA=PAC=90°

在Rt△AOC中，OA=OC=1

•AC=.2

在Rt△PAE中,AE=PE=3

•AP=

3.2

点的横坐标为m，则

（m,m2

1）

①点

M在y轴左侧时，则

AMGsPCA

时,

有些

PA

MG

CA

•/AG=

m1,MG=m2

m2

解得

1（舍去）m2

1m1解得:

23,2

②点M在y轴右侧时，则

（i）当AMGsPCA

AG

MG

时有

CA

PA

m

1

（舍去）

m2

m

1

AG

MG

时有

••AG=

PA

CA

（舍去）

MAGsPCA

1（舍去）

2•M（2,3）

1,MG=m2

m24•M（4,7）

339

（ii）当MAGspcA

时有^G=MG即m1

CAPA

解得：

1（舍去）m24•M（4,15）

47

•••存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为（2,3）,（-,）,（4,15）

39

例7、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点

B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0,3）.

（1）求此抛物线的解析式;

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,

如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛

物线的对称轴I与OC有怎样的位置关系，并给出证明;

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：

当点P运动到什么位置时，PAC

的面积最大？

并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.

（1）解：

设抛物线为ya（x4）21.

•••抛物线经过点

A（0,3）,

•••抛物线为y

4（x4）2

4

⑵答：

I与OC相交.

12

证明：

当一（x4）2

4

10时,

•B为（2,0）,C为（6,0）.•AB3222

.13.

设OC与BD相切于点E,连接CE，贝yBEC

90

AOB.

ABD90,•

CBE90ABO.

又•••BAO90

ABO,•BAOCBE.•

AOBs

BEC.

CEBC

OBAB

CE

2

62.8

.…CE2.

13、13

•••抛物线的对称轴

l为x4,•C点到I的距离为

•••抛物线的对称轴

l与OC相交.

⑶解：

如图，过点P作平行于

y轴的直线交AC于点Q.

可求出AC的解析式为

设P点的坐标为（m,

1

yx3.

2

12

m2m3）,则Q点的坐

y

标为（m,

PQ

1

12

12

3

m3（

m

2m

3）

-m

—m

2

4

+（

4

2

弓（m3）2

SPAC

SPAQS

PCQ

12m

3、m）

6

2

4

2

4

PAC的面积最大为

27

4

•••当m3时,

27

4

此时，P点的坐标为（3,3）

4

例8在平面直角坐标系中，已知抛物线

2

yxbxc与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴

的正半轴交于点C，顶点为E.

（I）若b2,c3，求此时抛物线顶点E的坐标;

I）中的抛物线向下平移，

若平移后，在四边形ABEC中满足

x

CO

GBCE=SSBC,求此时直线BC的解析式；

（川）将（I）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

Gbce=2S^aoc，且顶点E恰好落在直线y4x3上，求此时抛物线的解析式

解:

（I）当b2,c3时，抛物线的解析式为yx22x3，即y（x1）24.

•抛物线顶点E的坐标为（1,4）.

（H）将（I）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x1上，有b2,

抛物线的解析式为

2

yx2xc（c

0）.

此时,

抛物线与

y轴的交点为C（0,

c）,

顶点为E（1,1

c）.

方程

2

x2xc

0的两个根为X!

1

1c,X21

1c,

此时,

抛物线与

x轴的交点为A（1

1

C,0）,B（1

1c,0）

如图，过点E作EF//CB与x轴交于点F，连接CF，贝US^bce=S^bcf.

TS^BCE=S\ABC,

•S^BCF=S\ABC.

•BFAB2、r~C.

设对称轴x1与x轴交于点D,

1

则DF-ABBF31c.2

由EF//CB，得EFDCBO.

•Rt△EDFsRt△COB.有旦

DFOB

1c

3.1c

•••点C（0,

C结合题意，解得

11c

5）,

4

设直线BC的解析式为y

5

B（-,0）.

2

n，则

mx

n,

5mn.

2

解得

1

2•直线BC的解析式为

（川）根据题意，设抛物线的顶点为

E（h,k）,（h0,k0）

则抛物线的解析式为y（x

h）2k，此时，抛物线与y轴的交点为C（0,

h2k）,

与x轴的交点为A（hk,0）,

B（h,k,0）.（kh0）

过点E作EF//CB与x轴交于点F，连接CF，贝US^bce=S^bcf.

由Sabce=2S^aoc,•Sabcf=2S^aoc.得BF2AO

2（.kh）.

设该抛物线的对称轴与x轴交于点D.则DF-AB

2

CO

OB.

于是，由Rt△EDFsRtACOB,

有史

DF

h2k

3.k2h

结合题意，解得h

即2h2

hk

1匸.

2

5kh

2k

BF3.k2h.

•/点E（h,

k）在直线

y4x3上，有

4h

3.

结合题意,

解得k1•有k

•抛物线的解析式为

12

-x

2

（1）求抛物线的解析式.

例9已知抛物线y

bx

4上有不同的两点E（k

22

3,k1）和F（k1,k

1）.

（2）如图，抛物线y

1

x

2

/PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且/PMQC,MQ交x轴于点

bx4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A

和B,M为AB的中点，

=45°MP交y轴于点

BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.（3）当m,n为何值时，/PMQ的边过点

D.设AD的长为m（m>0）,

（1）抛物线y

】x2bx4的对称轴为

2

jy

M

O

D

P

x

抛物线上不同两个点E（k3,k2

1）和F（

k1,k21）的纵坐标相同,

点E和点F关于抛物线对称轴对称,

（k3）（k"1,且G-2.

抛物线的解析式为y

（2）抛物线y

4与x轴的交点为A

（4,

0）,与y轴的交点为

B（0,4）,

AB=4.2,

AM=BM=

2,2.

在/PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，/MBC=Z在厶BCM中，/BMC+ZBCM+ZMBC=180°即/在直线AB上,/BMC+ZPMQ+ZAMD=180°,即/

DAM=ZPMQ=45°

BMC+ZBCM=135

BMC+ZAMD=135°.

/BCM=ZAMD.故

△BCMAMD.

BC

AM

BM

AD,

n

2^2

2,2

故n和m之间的函数关系式为

（3）vF（k

2

1,k1）在y

8

（m>0）.

m

12

x

2

x4上,

i（

k1）2

1）

4k2

化简得，k2

4k

30，/

ki=1,

k2=3.

F1（-2,0）

或F2

（-4,-8）.

①MF过M

（2,2）和

F1（-2,

0）,

设MF为y

kx

2kb2,

2kb0.

"，口k

解得，

b

1

2

1.

直线

MF的解析式为

直线MF与x轴交点为（一2,0）,

若MP过点

与y轴交点为（

F（-2,0）,贝Un=4-1=3,m=-;

3

0,1）.

若MQ过点

F（-2,0）,贝Um=