初等数学问题.docx
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初等数学问题
100个著名初等数学问题
第01题阿基米德分牛问题Archimedes'ProblemaBovinum
太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.
在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数
,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1
/7.在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是
全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.
问这牛群是怎样组成的?
第02题德·梅齐里亚克的法码问题TheWeightProblemofBachetdeMeziriac
一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都
是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
问这4块砝码碎片各重多少?
第03题牛顿的草地与母牛问题Newton'sProblemoftheFieldsandCows
a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了;
a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了;
a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了;
求出从a到c"9个数量之间的关系?
第04题贝韦克的七个7的问题Berwick'sProblemoftheSevenSevens
在下面除法例题中,被除数被除数除尽:
**7*******÷****7*=**7**
******
*****7*
*******
*7****
*7****
*******
****7**
******
******
用星号(*)标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢?
第05题柯克曼的女学生问题Kirkman'sSchoolgirlProblem
某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每个
女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次?
第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题TheBernoulli-EulerProblemoftheMisad
dressedletters
求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.
第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler'sProblemofPolygonDivision
可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形?
第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas'ProblemoftheMarriedCouples
n对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的妻
子并坐,问有多少种坐法?
第09题卡亚姆的二项展开式OmarKhayyam'sBinomialExpansion
当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.
第10题柯西的平均值定理Cauchy'sMeanTheorem
求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.
第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli'sPowerSumProblem
确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.
第12题欧拉数TheEulerNumber
求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.
第13题牛顿指数级数Newton'sExponentialSeries
将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.
第14题麦凯特尔对数级数NicolausMercator'sLogarithmicSeries
不用对数表,计算一个给定数的对数.
第15题牛顿正弦及余弦级数Newton'sSineandCosineSeries
不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.
第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre'sDerivationoftheSecantandTang
entSeries
在n个数1,2,3,…,n的一个排列c1,c2,…,cn中,如果没有一个元素ci的值介于
两个邻近的值ci-1和ci+1之间,则称c1,c2,…,cn为1,2,3,…,n的一个屈折排列.
试利用屈折排列推导正割与正切的级数.
第17题格雷戈里的反正切级数Gregory'sArcTangentSeries
已知三条边,不用查表求三角形的各角.
第18题德布封的针问题Buffon'sNeedleProblem
在台面上画出一组间距为d的平行线,把长度为l(小于d)的一根针任意投掷在台面上
,问针触及两平行线之一的概率如何?
第19题费马-欧拉素数定理TheFermat-EulerPrimeNumberTheorem
每个可表示为4n+1形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示.
第20题费马方程TheFermatEquation
求方程x2-dy2=1的整数解,其中d为非二次正整数.
第21题费马-高斯不可能性定理TheFermat-GaussImpossibilityTheorem
证明两个立方数的和不可能为一立方数.
第22题二次互反律TheQuadraticReciprocityLaw
(欧拉-勒让德-高斯定理)奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式
(p/q)·(q/p)=(-1)[(p-1)/2]·[(q-1)/2].
第23题高斯的代数基本定理Gauss'FundamentalTheoremofAlgebra
每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.
第24题斯图谟的根的个数问题Sturm'sProblemoftheNumberofRoots
求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.
第25题阿贝尔不可能性定理Abel'sImpossibilityTheorem
高于四次的方程一般不可能有代数解法.
第26题赫米特-林德曼超越性定理TheHermite-LindemannTranscedenceTheorem
系数A不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可
能等于零.
第27题欧拉直线Euler'sStraightLine
在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,
而且三点的分隔为:
各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆
的圆心至各中线的交点的距离.
第28题费尔巴哈圆TheFeuerbachCircle
三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一
个圆上.
第29题卡斯蒂朗问题Castillon'sProblem
将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.
第30题马尔法蒂问题Malfatti'sProblem
在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.
第31题蒙日问题Monge'sProblem
画一个圆,使其与三已知圆正交.
第32题阿波洛尼斯相切问题TheTangencyProblemofApollonius.
画一个与三个已知圆相切的圆.
第33题马索若尼圆规问题Macheroni'sCompassProblem.
证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.
第34题斯坦纳直尺问题Steiner'sStraight-edgeProblem
证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图,如果在平面内给出一个定圆,只用直尺便
可作出.
第35题德里安倍立方问题TheDeliaiiCube-doublingProblem
画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.
第36题三等分一个角TrisectionofanAngle
把一个角分成三个相等的角.
第37题正十七边形TheRegularHeptadecagon
画一正十七边形.
第38题阿基米德π值确定法Archimedes'DeterminationoftheNumberPi
设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv,便依次得到多边形周长的阿基米德
数列:
a0,b0,a1,b1,a2,b2,…其中av+1是av、bv的调和中项,bv+1是bv、av+1的等
比中项.假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项.这个方法叫作阿基
米德算法.
第39题富斯弦切四边形问题Fuss'ProblemoftheChord-TangentQuadrilateral
找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.(注:
一个双心或弦切四
边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形)
第40题测量附题AnnextoaSurvey
利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.
第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen'sBilliardProblem
在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.
第42题由共轭半径作椭圆AnEllipsefromConjugateRadii
已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆.
第43题在平行四边形内作椭圆AnEllipseinaParallelogram,
在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点.
第44题由四条切线作抛物线AParabolafromFourTangents
已知抛物线的四条切线,作抛物线.
第45题由四点作抛物线AParabolafromFourPoints.
过四个已知点作抛物线.
第46题由四点作双曲线AHyperbolafromFourPoints.
已知直角(等轴)双曲线上四点,作出这条双曲线.
第47题范·施古登轨迹题VanSchooten'sLocusProblem
平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动,第三个顶点的轨迹是
什么?
第48题卡丹旋轮问题Cardan'sSpurWheelProblem.
一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描
出的轨迹是什么?
第49题牛顿椭圆问题Newton'sEllipseProblem.
确定内切于一个已知(凸)四边形的所有椭圆的中心的轨迹.
第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题ThePoncelet-BrianchonHyperbolaProblem
确定内接于直角(等边)双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.
第51题作为包络的抛物线AParabolaasEnvelope
从角的顶点,在角的一条边上连续n次截取任意线段e,在另一条边上连续n次截取线段
f,并将线段的端点注以数字,从顶点开始,分别为0,1,2,…,n和n,n-1,…,2,1
,0.
求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.
第52题星形线TheAstroid
直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动,求这条直线的包络.
第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner'sThree-pointedHypocycloid
确定一个三角形的华莱士(Wallace)线的包络.
第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆TheMostNearlyCircularEllipseCircum
scribingaQuadrilateral
一个已知四边形的所有外接椭圆中,哪一个与圆的偏差最小?
第55题圆锥曲线的曲率TheCurvatureofConicSections
确定一个圆锥曲线的曲率.
第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes'SquaringofaParabola
确定包含在抛物线内的面积.
第57题推算双曲线的面积SquaringaHyperbola
确定双曲线被截得的部分所含的面积.
第58题求抛物线的长RectificationofaParabola
确定抛物线弧的长度.
第59题笛沙格同调定理(同调三角形定理)Desargues'HomologyTheorem(Theorem
ofHomologousTriangles)
如果两个三角形的对应顶点连线通过一点,则这两个三角形的对应边交点位于一条直
线上.
反之,如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上,则这两个三角形的对应顶点连
线通过一点.
第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner'sDoubleElementConstruction
由三对对应元素所给定的重迭射影形,作出它的二重元素.
第61题帕斯卡六边形定理Pascal'sHexagonTheorem
求证内接于圆锥曲线的六边形中,三双对边的交点在一直线上.
第62题布里昂匈六线形定理Brianchon'sHexagramTheorem
求证外切于圆锥曲线的六线形中,三条对顶线通过一点.
第63题笛沙格对合定理Desargues'InvolutionTheorem
一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个
对合的四个点偶.一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线
形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.
*一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1,2,3,4和它们的六条连线交点
23,14,31,24,12,34;其中23与14、31与24、12与34称为对边(对顶点).
第64题由五个元素得到的圆锥曲线AConicSectionfromFiveElements
求作一个圆锥曲线,它的五个元素——点和切线——是已知的.
第65题一条圆锥曲线和一条直线AConicSectionandaStraightLine
一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交,求作它们
的交点.
第66题一条圆锥曲线和一定点AConicSectionandaPoint
已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线,作出从该点列到该
曲线的切线.
第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner'sDivisionofSpacebyPlanes
n个平面最多可将整个空间分割成多少份?
第68题欧拉四面体问题Euler'sTetrahedronProblem
以六条棱表示四面体的体积.
第69题偏斜直线之间的最短距离TheShortestDistanceBetweenSkewLines
计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.
第70题四面体的外接球TheSphereCircumscribingaTetrahedron
确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.
第71题五种正则体TheFiveRegularSolids
将一个球面分成全等的球面正多边形.
第72题正方形作为四边形的一个映象TheSquareasanImageofaQuadrilateral
证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.
第73题波尔凯-许瓦尔兹定理ThePohlke-SchwartzTheorem
一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点,可认为是与一个已知四面体相似的四
面体的各隅角的斜映射.
第74题高斯轴测法基本定理Gauss'FundamentalTheoremofAxonometry
正轴测法的高斯基本定理:
如果在一个三面角的正投影中,把映象平面作为复平面,
三面角顶点的投影作为零点,边的各端点的投影作为平面的复数,那么这些数的平方和等
于零.
第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus'StereographicProjection
试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.
第76题麦卡托投影TheMercatorProjection
画一个保形地理地图,其坐标方格是由直角方格组成的.
第77题航海斜驶线问题TheProblemoftheLoxodrome
确定地球表面两点间斜驶线的经度.
第78题海上船位置的确定DeterminingthePositionofaShipatSea
利用天文经线推算法确定船在海上的位置.
第79题高斯双高度问题Gauss'Two-AltitudeProblem
根据已知两星球的高度以确定时间及位置.
第80题高斯三高度问题Gauss'Three-AltitudeProblem
从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔,确定观察瞬间,观察点的纬度及星球的
高度.
第81题刻卜勒方程TheKeplerEquation
根据行星的平均近点角,计算偏心及真近点角.
第82题星落StarSetting
对给定地点和日期,计算一已知星落的时间和方位角.
第83题日晷问题TheProblemoftheSundial
制作一个日晷.
第84题日影曲线TheShadowCurve
当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时,确定在一天过程中由杆的一点
投影所描绘的曲线.
第85题日食和月食SolarandLunarEclipses
如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知
,确定日食的开始和结束,以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.
第86题恒星及会合运转周期SiderealandSynodicRevolutionPeriods
确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.
第87题行星的顺向和逆向运动ProgressiveandRetrogradeMotionofPlanets
行星什么时候从顺向转为逆向运动(或反过来,从逆向转为顺向运动)?
第88题兰伯特慧星问题Lambert'sCometProlem
借助焦半径及连接弧端点的弦,来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.
第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner'sProblemConcerningtheEulerNumber
如果x为正变数,x取何值时,x的x次方根为最大?
第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano'sAltitudeBasePointProblem
在已知锐角三角形中,作周长最小的内接三角形.
第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat'sProblemforTorricelli
试求一点,使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.
第92题逆风变换航向TackingUnderaHeadwind
帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行?
第93题蜂巢(雷阿乌姆尔问题)TheHoneybeeCell(ProblembyReaumur)
试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱,使所得的这一个立体有预
定的容积,而其表面积为最小.
第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus'MaximumProblem
在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?
(即在什么部位,可见角为最大
?
)
第95题金星的最大亮度TheMaximumBrightnessofVenus
在什么位置金星有最大亮度?
第96题地球轨道内的慧星ACometInsidetheEarth'sOrbit
慧星在地球的轨道内最多能停留多少天?
第97题最短晨昏蒙影问题TheProblemoftheShortestTwilight
在已知纬度的地方,一年之中的哪一天晨昏蒙影最短?
第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner'sEllipseProblem
在所有能外接(内切)于一个已知三角形的椭圆中,哪一个椭圆有最小(最大)的面
积?
第99题斯坦纳的圆问题Steiner'sCircleProblem
在所有等周的(即有相等周长的)平面图形中,圆有最大的面积.
反之:
在有相等面积的所有平面图形中,圆有最小的周长.
第100题斯坦纳的球问题Steiner'sSphereProblem
在表面积相等的所有立体中,球具有最大体积.
在体积相等的所有立体中,球具有最小的表面.
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