初中生如何做好几何证明题含答案.docx
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初中生如何做好几何证明题含答案
初中生如何做好几何证明题(含答案)
说明:
在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。
显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线。
本题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证是等腰直角三角形。
有兴趣的同学不妨一试。
例2.已知:
如图2所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。
求证:
∠E=∠F
证明:
连结AC
在和中,
在和中,
说明:
利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:
(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量;
(2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。
证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。
例3.如图3所示,设BP、CQ是的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。
求证:
KH∥BC
分析:
由已知,BH平分∠ABC,又BH⊥AH,延长AH交BC于N,则BA=BN,AH=HN。
同理,延长AK交BC于M,则CA=CM,AK=KM。
从而由三角形的中位线定理,知KH∥BC。
证明:
延长AH交BC于N,延长AK交BC于M
∵BH平分∠ABC
又BH⊥AH
BH=BH
同理,CA=CM,AK=KM
是的中位线
即KH//BC
说明:
当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。
我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。
例4.已知:
如图4所示,AB=AC,。
求证:
FD⊥ED
证明一:
连结AD
在和中,
说明:
有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二:
如图5所示,延长ED到M,使DM=ED,连结FE,FM,BM
说明:
证明两直线垂直的方法如下:
(1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二。
(2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。
(3)证明二直线的夹角等于90°。
3、证明一线段和的问题
(一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。
(截长法)
例5.已知:
如图6所示在中,,∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证:
AC=AE+CD
分析:
在AC上截取AF=AE。
易知,。
由,知。
,得:
证明:
在AC上截取AF=AE
又
即
(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。
(补短法)
例6.已知:
如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,。
求证:
EF=BE+DF
分析:
此题若仿照例1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。
不妨延长CB至G,使BG=DF。
证明:
延长CB至G,使BG=DF
在正方形ABCD中,
又
即∠GAE=∠FAE
4、中考题:
如图8所示,已知为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE。
求证:
EC=ED
证明:
作DF//AC交BE于F
是正三角形
是正三角形
又AE=BD
即EF=AC
题型展示:
证明几何不等式:
例题:
已知:
如图9所示,。
求证:
证明一:
延长AC到E,使AE=AB,连结DE
在和中,
证明二:
如图10所示,在AB上截取AF=AC,连结DF
则易证
说明:
在有角平分线条件时,常以角平分线为轴翻折构造全等三角形,这是常用辅助线。
【实战模拟】
1.已知:
如图11所示,中,,D是AB上一点,DE⊥CD于D,交BC于E,且有。
求证:
2.已知:
如图12所示,在中,,CD是∠C的平分线。
求证:
BC=AC+AD
3.已知:
如图13所示,过的顶点A,在∠A内任引一射线,过B、C作此射线的垂线BP和CQ。
设M为BC的中点。
求证:
MP=MQ
4.中,于D,求证:
【试题答案】
1.证明:
取CD的中点F,连结AF
又
2.分析:
本题从已知和图形上看好象比较简单,但一时又不知如何下手,那么在证明一条线段等于两条线段之和时,我们经常采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截成两部分,证明这两部分分别和两条短线段相等;“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长,证明其和等于长的线段。
证明:
延长CA至E,使CE=CB,连结ED
在和中,
又
3.证明:
延长PM交CQ于R
又
是斜边上的中线
4.取BC中点E,连结AE
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