奥林匹克问题及详细答案.docx
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奥林匹克问题及详细答案
1个面包和6个鸡蛋价值1.80元,同样价格下,2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。
问1个面包多少钱。
永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时,见第三块里程碑上的数是A0B。
美国小学数学奥林匹克,第一次(1980年11月)题2:
时钟1点钟敲1下,2点钟敲2下,3点钟敲3下,依次类推。
从1点至12点这12小时共敲了()下。
第二次(1980年12月)2题:
如果全体自然数如下表排列,数到1000应在哪个字母的下面。
()
ABCDEFG
1234567
891011121314
151617………………
…………………………
一个三位数,其十位数字是0,且能被一个一位数整除;如果被另一个一位数除则余3。
请填上所有适合的情况。
例2
例3下式可整除,请在□中填进适当的数。
赵例4第五册数学思考题:
首尾观察:
美国小学数学奥林匹克,第四次(1981年2月)题5:
在右边的除法算式中,方格表示擦掉的数字,A和B表示商的数字。
求A和B的值。
ABAB
例4下式中每个△号,都只表示某个素数(即2、3、5、7),请你确定这个算式。
例3国小学数学奥林匹克,1981~1982年试题:
下边乘法算式中,每个字母代表不同的数字,A不是零。
A、B、C、D各代表什么数。
例2空,并确定被乘数小数点的位置。
例1式中的字母各代表什么数。
奥数难题:
竖式填空之巧填加法例题3
二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初试题:
有一个四位数,在它的某位数字前面加一个小数点,再与这个四位数相加,得数2000.81。
求这个四位数。
奥数难题:
竖式填空之巧填加法例题2
例2把下列算式中的符号△、□改写成数字,每种符号代表同一个数。
奥数难题:
竖式填空之巧填加法例题:
请找出下列数列的规律,把数字填满,并写出16之后的下一个数字是多少?
(1)1,-,7,-,-,16
(2)1,-,-,7,-,16
(3)1,-,-,-,7,16
还有哪些规则,可以在1与16之间填入4个数字?
考考你:
你能想出在?
处填上什么数字后可以完成这个环形图吗?
同学们,应该在最后一个椭圆里填什么数字?
找找看,哪个图形适合填在空白的部分?
有一块木板,突出的一角是一个小正方形,每边长1厘米,同他相连的一个中正方形,其面积是16平方厘米,这个中正方形又同面积为64平方厘米的大正方形相连.大,中,小三者合计,面积正好是81平方厘米.现在打算把这块木板做成一个9乘9的正方形遮窗板.请问应该怎样锯木板才能拼出正方形.当然,块数锯得越少越好.
如果下面这个建筑四面都很完整,那么它总共用了多少块砖呢?
即使你无法看到这个不规则立方体图形的全貌,你也依然能剖面中哪一个是不可能出现的呢?
够在心中精确地勾画出它的外观.如果从不同方向进行观察,下面这四个剖面中哪一个是不可能出现的呢?
怎么样才能只移走两根火柴,使现在的图形保留四个正方形.
将数字1-9放进数字路线中,使得各等式成立。
想想都应该填写什么数。
猜一猜,在?
的地方填入哪一个字母可以完成这道谜题?
“?
”所在的位置应该填入选项中的哪一个长方形?
猜猜看,问号处应该填入哪个图形?
想一想,问号处应该填上什么数字?
你能算出最后一个六边形中缺少什么数字吗?
下面的图形可以折叠出a、b、c、d、e、f六个选项中的哪一个?
空缺处的逻辑数值是多少?
秘书小姐在下班前为一大堆邮件贴上邮票。
她有许多邮票,但是面额只有两种,她不知道是否能正确组合这些邮票而得到应付的邮资。
不过经验告诉她,虽然以这些邮票无法组合出39元的邮资,但是却可以组合出其他较高额的邮资。
假设邮票的面额都是整数,请问面额可能是多少?
安妮的圣诞礼物是一盒积木。
每块积木都是边长5cm的立方体,所有的积木装满一个也是立方体的盒子。
就像其他小孩一样,安妮对堆积木很感兴趣。
她把积木倒出来,先搭起一个大的立方体,然后在它的上面再搭了一个较小的立方体,接着又搭了一个更小的立方体。
安妮站起来,发现这个塔还是没她高,这令她有点失望,不过,她因为能把所有的积木都用掉而感到很得意。
这个塔有多高?
一群历史学家在经过多年的资料收集与研究之后,有意重修一座早已倾颓的古庙。
他们知道其中一个大厅较长的那面墙贴的是橡木壁板,面对房门的墙面挂着来自法国的织锦,地板上则铺着名贵的波斯地毯。
他们知道这些装演的设计细节与颜色,也知道橡木壁板、织锦和地毯的面积分别是648m2、388m2和1296m2。
可是他们查遍资料,就是找不到这个大厅的尺寸。
你能帮帮他们吗?
彼得到木材行买合成板,打算做一个长方体的木箱收藏毛毯。
如果要切一块完整的合成板,价钱很贵,但如果买已经裁切下来的剩余材料就很便宜。
彼得在剩余材料堆中用心寻找,终于找到3块合成板正好符合他的要求。
其中一块正好做箱底与一个长侧面;另一块裁成两块正好做一个长侧面和一个短侧面;第三块可以做盖子和剩下的一个短侧面。
木材行的老板丈量这3块合成板的面积(以便计算价钱),分别是:
6048cm2,4563cm2,4995cm2
合成板的厚度不计,请问这个木箱的尺寸是多少?
你是否能找出一组数字,当乘上9时,所得的乘积与原来的数字正好顺序相反。
等你找到这组数字所具有的共同形式之后,再试试看你是否能找到乘以4之后会顺序相反的数字。
(1)平方数25有种特性,把它的每位数都加1之后成为36,还是一个平方数。
只有一个四位数的平方数具有相同的特性,请问它是多少?
(2)一个二位数ab,它的平方与ba的平方的差也是一个平方数。
请问这个数字是多少?
(3)两个平方数的和与另两个平方数和的乘积,一定是两个平方数的和。
例如:
(12+22)×(22+32)=65=42+72
请问这个叙述是否正确?
请将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字排列成某种次序,使得:
前两位数可被2整除
前三位数可被3整除
前四位数可被4整除
以此类推,直到9为止。
排成123654987看来好像有希望,因为
12可被2整除
123可被3整除
1236可被4整除
12365可被5整除
123654可被6整除
但可惜,1236549无法被7整除。
再试一次吧!
为了庆祝红宝石婚纪念日,威廉和露西与全家人一起举行聚会。
威廉回想起这段漫长的婚姻生活,追忆当年在学校因与“年轻的露西”同桌而坠入情网。
环顾周围的家人,威廉又想到不知等到金婚纪念时,所有的家人是否还能聚在一起。
就在这样的思绪起伏中,他突然发现他的年龄的平方与露西年龄平方的差,正好等于他们子女数目的平方。
请问当年威廉和露西结婚时,两人各是几岁?
他们共有几个子女?
在西方,结婚40周年纪念日被称为红宝石婚纪念日。
另外,在英国,法定结婚年龄为16岁。
有一坐中古世纪的修道院围绕着正方形的中庭,中庭里有一口井,僧侣们都是从这口井中汲取饮用水。
这口井的位置与3个相邻顶点的距离分别是30m、40m、50m。
请问这个中庭有多大?
由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元,可知,1个面包和2个鸡蛋价值2.40÷2=1.20(元)。
又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元,知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60(元)。
所以1个面包价值(2.40-0.60)÷2=0.90(元)。
思路一BA与AB的差,只能是两位数或一位数。
车匀速前进,B必大于A。
A0B与BA的差必等于BA与AB的差,不会是三位数。
A只能是1,若是2以上的数,则A0B与BA的差肯定是三位数了。
由下表知:
思路二:
由速度一定知BA-AB=A0B-BA。
写成十进数,化简
(10B+A)-(10A+B)=(100A+B)-(10B+A)
10B+A-10A-B=100A+B-10B-A
9B-9A=99A-9B
B=6A
B是一位数,且只能是一位数。
故A=1,B=6。
A和B的数字确定了,其它随之出现。
由“首尾之和”知
ABCDEFG
1、2、3、4、5、6既是列的序数,又是对应列以下各数除以7的余数;而7既是列的序数,本列除以7余数为0。
1000÷7=142余6
所以1000与6位于同一列,即在字母F的下面。
根据所有条件,全面分析,有序思考:
式
(1)中,由除数与商的首位数之积是一个数字,知被除数的百位数字为1;
式
(2)中,由余数是3,且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”,知除数只能为4、5、6,被除数的前两位数为10,除数只能为5,被除数的末位数字为8,这个数为108;
因为108能被2、3、4、6、9整除,但除数为2不符合式
(1)的书写形式。
答案为:
由第一乘积和第一余数,知除数是35;商的十位数字可能是6或4。
商是62不合题意,则除数是35,商为42。
对比联想,逆向思考——转除为乘。
显然,A位只能为7。
B=5,是一定的。
C只能是2,到此整个算式解开。
赵观察式
(1),知商的百位上是6;再观察式
(2),知商的个位上是2。
则被除数为4816。
由B×5□=432,知B=8;进而知A×54=□6□,A=3。
由素数数码构成的三位数与一位素数相乘,积仅是由素数码构成的四位数,只有四种:
325×7=2275555×5=2775
755×5=3775775×3=2325
进一步,不难得到
由C×C=C,知C只可能是1、5、6。
如果C=1,乘积为原被乘数,与条件矛盾,C只可能是5或6,A只能是1。
C=6无解。
C=5时,B=2或7。
如果B=2,则D=6;
如果B=7,则D=8。
即
在右边算式中,每一个方格表示一个擦掉的数字,求最后的乘积。
由第一部分积个位上是2,十位上是8,知被乘数个位数字是6,十位数字是2;
根据第二部分积前两位数字是1、2,确定乘数的十位数字是3。
由积的末尾是“30”,知第一部分积为230;
积的最高位是“1”,第二部分积的最高上也为1;
被乘数和第二部分积都是三位数,根据第二部分积的最高位上是1,可确定被乘数和乘数的最高位上也都为1;
被乘数最低位上是“5”,而积的末尾是0,乘数的最低位上可能是2、4、6、8中的一个。
由被乘数最高位上是1,第一部分积的最高位上是“2”,知乘数的最低位上为2;
乘数是三位数,而只有两个部分积,知乘数的中间一位上为0;
由被乘数最低位上是“5”,乘数的最低位上是2,第一部分积的末尾是30,知被乘数中间一位上为1;
由被乘数和乘数,求出第二部分积115,终积117.30;
最后,由乘数是一位小数,积有两位小数,知被乘数为一位小数。
即右式
M不能大于3,如果是4、则4×4=16。
也不能小于3,如果是2,则2×2=4,都不符合积的要求。
M=3。
3×N=21,N=7;P=0。
即
奥数难题:
竖式填空之巧填加法例题3
由题意知,所求的四位数是整数,且个位、十位上的数字必定分别是1与8。
变换为下列算式:
易推得方框中的数字为1、9,从而再根据加小数点后的数与原四位数字组成相同,确定这个数为1981。
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最大两位数的和<200,和的最高位只能是1,B=1;A+B≥10,方可形成进位。
A=9,C=0。
分析与解答:
理论上会有无限多种可能,这个题目的目的是要强调有许多方式可以完成一个数列。
(1)1,4,7,10,13,16,19。
每次加3。
(2)1,2,4,7,11,16,22。
每次加的数比上次多1。
(3)1,6,3,10,7,16,13。
前后项的差有两种:
加上5、7、9、…,与减去3。
1与16的差是15,因此有一种产生数列的方法是找到某种形式的5个差,其差的总和为15。
例如,1,6,1,6,1的总和是15,故可产生如下的数列:
1,2,8,9,15,16
再如,7,-3,7,-3,7的总和也是15,因此可以产生下面的数列:
1,8,5,12,9,16。
分析与解答:
这个题目与“可能达到的分数”有异曲同工之处。
令mn-m-n=39
则(m-1)(n-1)=40
所以(m-1)(n-1)=1×40或2×20或4×10或5×8故可能的m、n组合为:
(m,n)=(2,41)或(3,21)或(5,11)
或(6,9)
其中(3,21)和(6,9)很显然是不正确的,因为可以组合出39。
然而,无论是以面额2元及41元,或是5元及11元的邮票,在无法组合出的邮资中,金额最高的都是39元。
因此这两组答案都是正确的。
分析与解答:
安妮把堆成一个大立方体的积木,重新堆成3个立方体,唯一可能的情况是,3个立方体的每边分别为5块积木、4块积木和3块积木,装积木的盒子则是每边为6块积木。
这是因为
33+43+53=63
没有其他合理的数字能符合这个条件。
因此塔高应该是12块积木的高度,也就是60cm。
分析与解答:
答案为54m×24m×12m。
假设这个大厅的长、宽、高分别是a、b和c,那么
ac=648bc=288ab=1296
分析与解答:
木箱的尺寸可以用试误法求得,也可以通过下列系统的分析求出。
假设木箱尺寸如图所示为a、b、c,并假设3块合成板的面积分别是X、Y和Z,
分析与解答:
如果abc…k×9=k…cba,那么很容易就可以看出a=1,k=9,因为任何其他的a都会产生进位,使乘积比原来的数字多一位。
但是19×9≠91,因为个位数9乘上9时会有进8的情形。
考虑1b9×9,显然由于会进位,所以结果不会等于9b1。
再考虑
1bc9×9=9cb1
可以发现当b=0,c=8时,能够符合题目的条件。
1089×9=9801
这是四位数中唯一的答案。
接着的3组答案是:
10989五位数
109989六位数
1099989七位数
此时数字的形式已呼之欲出。
八位数的答案则有两种:
10999989和10891089
九位数的答案有:
T109999989和108901089
十位数有3种答案:
109999998910890010891098910989
这些数字都是从已知的答案而来,任何位数的数字都可以依照以上的规则找出答案。
乘以4之后会顺序相反的数字,与上述这些数字的关系非常密切。
事实上,就是上列数字的两倍。
1089×2=2178而2178×4=8712
10989×2=21978而21978×4=87919
以此类推。
分析与解答:
(1)2025=4523136=562
2025+1111=3136,而且45+11=56
(2)652-562=332
(3)这个平方数的关系可用下式表示:
(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
或是
(a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+(ad+bc)2
如果你了解复数的观念,那么就可以知道这些等式是由下面的式子推算出来的:
(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a-ib)(c+id)=(ac+bd)+(ad-bc)i
分析与解答:
这个题目能使你增进对数字“可除性”(divisibility)的了解。
例如,5一定是在中间位置,因为利用1、2、…9所构成的数字的前五位数,没有其他方式可以被5除尽。
因为所有数字的总和是45,所以无论这些数字如何排列,都可被9除尽。
因为前六位数要被6整除,所以前面6位数字的和必须可被3除尽,而且第六位数必须是偶数。
同时,还必须使偶数作间隔排列,如此才能被2、4、6、8所整除。
上述的分析很有帮助,不过要找到能被7整除的数,还是需要试误演算。
唯一的答案是:
381654729。
但是在这里要提醒你,不要太依赖计算器。
因为如果你的计算器只能显示8位数,那么963258147看起来就会像是一个答案,因为计算器上会显示出96325814可被8整除;但这是不可能的,因为814不能被8整除。
分析与解答:
这个问题的数学基础是毕氏三元数组。
由于是红宝石婚,所以威廉和露西的年纪应该在56岁以上。
而且他们曾在学校同桌,两人的年纪差应该不会超过1岁。
因此,综合已知的资料,可以说题目是要找出两个相差1的数字,其平方差是另一个数字的平方。
现在试试612-602=112
852-842=132
两组答案看来都有可能。
不过,第二组答案应该剔除,因为根据这组答案,威廉和露西40多岁结婚之后生了13个小孩。
因此,威廉和“年轻的露西”结婚时,两人应为21岁和20岁,他们生育了11个子女。
分析与解答:
中庭的边长大约是56.54m。
这个题目其实很简单,利用勾股定理、代数运算,再加上一个计算器,就能轻易地得出答案。
由图可知:
x2+(a-y)2=900
(1)
(a-x)2+y2=250
(2)
x2+y2=1600(3)
(1)-(3)得
a2-2ay+700=0(4)
(2)-(3)得
a2-2ax-900=0(5)
把由第(4)式和第(5)式所得的x、y代入第(3)式:
a4-3400a2+650000=0
再把这个式子当作a2的二次方程求解。
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