第一章 勾股定理.docx
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第一章 勾股定理.docx
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第一章勾股定理
第一章勾股定理
1.1探索勾股定理
第1课时认识勾股定理
学习目标
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点
重点:
了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点:
勾股定理的发现。
学习过程
一、创设问题的情境,激发学生的学习热情:
我们知道,任意三角形的三条边必须满足定理:
三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边,除满足三边关系定理外,它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边,除满足三边关系定理外,它们之间也存在着特殊的关系,这就是我们这一节要研究的问题:
勾股定理。
出示投影1(章前的图文P1)我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高(三千多年前周朝数学家)。
出示投影2。
(书中P2图1一2)并回答:
1、观察图1一2,正方形A中有个小方格,即A的面积为个面积单位。
正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位。
正方形C中有个小方格,即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的?
在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、图l一2中,A、B、C之间的面积之间有什么关系?
在学生交流后形成共识。
A+B=C,接着提出图1一1中A、B、C的关系呢?
二、做一做
出示投影3(书中P3图1一3,图1一4)
提问:
1、图1一3中,A、B、C之间有什么关系?
2、图1一4中,A、B、C之间有什么关系?
3、从图1一l、1一2、1一3、l一4中你发现了什么?
在学生讨论、交流形成共识后,得出:
以直角三角形两直角边为边的正方形面积和,等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议
1、图1一1、1一2、1一3、1一4中,你能用三角边的边长表示正方形的面积吗?
2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗?
直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”。
也就是说:
如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c。
那么a2+b2=c2
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾,较长的直角边为股,斜边为弦,这就是勾股定
理的由来.
3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度(学生测量后回答斜边为13)请大家想一想
(2)中的规律对这个三角形仍然成立吗?
(回答是肯定的:
成立。
)4,(想一想):
这里的29英寸(74厘米)的电视机,指的是屏幕的长吗?
指的屏幕的宽吗?
那它指的是什么呢?
四、巩固练习精选练习,掌握应用:
勾股定理的应用是本节教学的重点,一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法,为此,可设计下列三组具有梯度性的练习:
练习1(填空题)
已知在Rt△ABC中,∠C=90°。
①若a=3,b=4,则c=;
②若a=40,b=9,则c=;
③若a=6,c=10,则b=;
④若c=25,b=15,则a=。
练习2(填空题)
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10。
①若∠A=30°,则BC=,AC=;
②若∠A=45°,则BC=,AC=。
练习3
已知等边三角形ABC的边长是6cm。
求:
(1)高AD的长;
(2)△ABC的面积S∆ABC。
1.1探索勾股定理
第2课时验证勾股定理
学习目标
1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程,在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯
2、掌握勾股定理和它的简单应用。
重点难点
重点:
能熟练应用拼图法证明勾股定理.难点:
用面积证勾股定理.
学习过程
一、创设问题情境,激发学生学习热情,导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系,究竟是几个实例,是否具有普遍的意义,还需要加以论证,下面就是今天所要研究的内容,下边请大家画四个全等的直角三角形,并把它剪下来,用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆,看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形,并与同学们交流。
在同学操作的过程中,教师展示投影1(书中P7图1
—7)接着提问:
大正方形的面积可表示为什么?
同学们回答有两种可能:
1ab⋅4+c2
(1)(a+b)2
(2)2
在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
(a+b)2=1ab⋅4+c2
2
请同学们对上式进行化简,得到:
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲解例题
例1、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,
飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每时飞行多少千米?
三、议一议:
展示投影2(书中图1—9)观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。
四、作业1、课文P1习题1.21、2。
1.2一定是直角三角形吗
学习目标:
1.经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程,在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理逆定理和他的简单应用重点难点:
重点:
能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题
难点:
用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题1.把握勾股定理的逆定理;
2,用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
学习过程
1.勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:
,那么这个三角形是直角三角形。
注意:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定
理。
1.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤:
(1)首先求出最大边(如c);
(2)验证a2+b2与c2是否具有相等关系;
若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。
若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形。
2.直角三角形的判定方法小结:
(1)三角形中有两个角互余;
(2)勾股定理的逆定理;
3.紧记一些常用的勾股数,将为我们应用勾股定理逆定理带来方便,如3、4、5;5、
12、13;6、8、10;12、16、20等。
四、典型例题
例1.在Rt∆ABC中,∠C=90,CD⊥AB于D,求证:
(1)AB2=AD2+DB2+2CD2
(2)CD2=AD⋅DB
C
ADB
例2、已知∆ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,求AC边上的高线的长。
分析:
首先通过所给的三角形的三边长,判断出所求高线长的三角形为直角三角形,并且要求的为斜边上的高线,通过勾股定理可解,未知量可用方程的思想求得。
B
C13DA
例3.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上任一点,求证:
AB2-AD2=BD·DC
例4.如图,已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12,∠CBA=90°,求S四边形ABCD
例5、在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=1BC,求证:
4
∠EFA=90︒
例6、已知:
如图,在正方形ABCD中,E,F分别AB,AD上的点,又AB=12,
EF=10,△AEF的面积等于五边形EBCDF
1
面积的,求
5
AE,AF的长。
1.3勾股定理的应用
一、自主预习(感知)
1、勾股定理:
直角三角形两直角边的等于。
如果用a,b和c表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2
2、勾股定理逆定理:
如果三角形三边长a,b,c满足那么这个三角形是直角三角形。
3、判断题
(1).如果三角形的三边长分别为a,b,c,则a2+b2=c2()
(2)如果直角三角形的三边长分别为a,b,c,则a2+b2=c2()
(3)由于0.3,0.4,0.5不是勾股数,所以以0.3,0.4,0.5为边长的三角形不是直角三角形()4、填空:
(1).在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,则a=.
(2).三角形的三个内角之比为:
1:
2:
3,则此三角形是.若此三角形的三边长分别为a,b,c,则它们的关系是.
(3)三条线段m,n,p满足m2-n2=p2,以这三条线段为边组成的三角形为。
二、合作探究(理解)
1、课本P13页蚂蚁爬行最短路线问题
2、课本P13页做一做
3、课本P13页例1
三、轻松尝试(运用)
1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨8:
00甲先出发,他以6km/h的速度向正东行走,1时后乙出发,他以5km/h的速度向正北行走.上午10:
00,甲、乙两人相距多远?
2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?
并求出最近距
离.20B
3
2
A
3.有一个高为1.5m,半径是1m的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根铁棒有多长?
四、拓展延伸(提高)
4如图,带阴影的矩形面积是多少?
6如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?
五、收获盘点(升华)
六、当堂检测(达标)
1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00,甲、乙两人相距多远?
2、如图,有一个高1.5米,半径是1米的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小
孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分是0.5米,问这根铁棒应有多长?
3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生
的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少?
七、课外作业(巩固)1、必做题:
①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。
②完成《学练优》中的本节内容。
2、思考题:
章检测题
一.选择题1.(2016•荆门)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()
A.5B.6C.8D.10
2.若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的值可能有()A.1个B.2个C.3个D.4个
3.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高是()A.12米B.10米C.8米D.6米
4.Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为()
A.8B.4C.6D.无法计算5.如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD等于()
A.4B.6C.8D.56.(2015•深圳模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,P是BC边上除B、C点外的任意一点,
则代数式AP2+PB•PC等于()
A.25B.15C.20D.30
二.填空题7.(2016•黔东南州一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,CD=.8.如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,
他们仅仅少走了米路,却踩伤了花草.
9.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:
mm),计算两圆孔中心A和B的距离为mm.
10.如图,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少要飞m.
11.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是6、8,则正方形的边长是.
12.(2015•延庆县一模)学习勾股定理相关内容后,张老师请同学们交流这样的一个问题:
“已知直角三角形的两条边长分别为3,4,请你求出第三边.”张华同学通过计算得到第三边是5,你认为张华的答案是否正确:
,你的理由是.
三.解答题
13.如图四边形ABCD的周长为42,AB=AD=12,∠A=60°,∠D=150°,求BC的长.
14.已知在三角形ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=3,BD=5,求AC的长.
15.(2015春•滨州月考)如图所示的一块地,AD=9m,CD=12m,∠ADC=90°,AB=39m,
BC=36m,求这块地的面积.
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