顾源的高中数学组卷3.docx
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顾源的高中数学组卷3
2013年7月顾源的高中数学组卷3
2013年7月顾源的高中数学组卷3
一.选择题(共3小题)
1.已知函数f(x)在R上可导,对任意实数x,f'(x)>f(x);若a为任意的正实数,下列式子一定正确的是( )
A.
f(a)>eaf(0)
B.
f(a)>f(0)
C.
f(a)<f(0)
D.
f(a)<eaf(0)
2.(2009•重庆)已知三角函数f(x)=sin2x﹣cos2x,其中x为任意的实数.求此函数的周期为( )
A.
2π
B.
π
C.
4π
D.
﹣π
3.已知y=f(x)是R上的可导函数,对于任意的正实数t,都有函数g(x)=f(x+t)﹣f(x)在其定义域内为减函数,则函数y=f(x)的图象可能为如图中( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共9小题)
4.已知函数f(x)=x2+ax,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立.则实数a的值为 _________ .
5.(2009•奉贤区二模)已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣a,若对任意实数x都有f(x)>0成立,则实数a的取值范围为 _________ .
6.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|﹣a,若对任意实数x都有f(x)>0成立,则实数a的取值范围为 _________ .
7.已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x),若f
(1)=2,则函数
的递减区间是 _________ .
8.已知函数f(x)对任意实数x都有f(x+3)=﹣f(x),又f(4)=﹣2,则f(2011)= _________ .
9.已知函数f(x)=loga[
﹣(2a)x]对任意x∈[
,+∞)都有意义,则实数a的取值范围是 _________ .
10.(2010•温州模拟)等比数列{an}的前n项和Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=3x+γ的图象上,则实数r= _________ .
11.已知定义在R上的函数f(x),写出命题“若对任意实数x都有f(﹣x)=f(x),则f(x)为偶函数”的否定:
_________ .
12.已知对于任意的实数a,b都有(a+b)2≤2(a2+b2)恒成立,则函数f(x)=|sinx|+|cosx|的值域是 _________ .
三.解答题(共7小题)
13.已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x﹣1)恒成立.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)已知f(3)=2,求f(2004).
14.已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x﹣1)恒成立.
(Ⅰ)求证:
f(x)是周期函数.
(Ⅱ)已知f(﹣4)=2,求f(2012).
15.已知定义在实数集R上的函数f(x),其导函数为f'(x),满足两个条件:
①对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy成立;②f'(0)=2.
(1)求函数的f(x)的表达式;
(2)对任意x1,x2∈[﹣1,1],求证:
|f(x1)﹣f(x2)|≤4|x1﹣x2|.
16.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t﹣1)x+1﹣2t.
(1)求证:
对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(﹣1,2)上有两个实数根,求t的范围.
17.已知函数
,
.
(Ⅰ)当t=8时,求函数y=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:
当t>0时,f(x)≥g(x)对任意正实数x都成立.
18.已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若对任意的实数x,都有f(x)≥2x+a,求b的取值范围;
(2)当x∈[﹣1,1]时,f(x)的最大值为M,求证:
M≥b+1;
(3)若
,求证:
对于任意的x∈[﹣1,1],|f(x)|≤1的充要条件是
.
19.已知函数f(x)的导数f″(x)满足0<f′(x)<1,常数α为方程f(x)=x的实数根.
(Ⅰ)若函数f(x)的定义域为M,对任意[a,b]⊆M,存在x0∈[a,b],使等式f(b)﹣f(a)=(b﹣a)f″(x0)成立,求证:
方程f(x)=x存在唯一的实数根α;
(Ⅱ)求证:
当x>α时,总有f(x)<x成立;
(Ⅲ)对任意x1、x2,若满足|x1﹣α|<2,|x2﹣α|<2,求证:
|f(x1)﹣f(x2)|<4.
2013年7月顾源的高中数学组卷3
参考答案与试题解析
一.选择题(共3小题)
1.已知函数f(x)在R上可导,对任意实数x,f'(x)>f(x);若a为任意的正实数,下列式子一定正确的是( )
A.
f(a)>eaf(0)
B.
f(a)>f(0)
C.
f(a)<f(0)
D.
f(a)<eaf(0)
考点:
简单复合函数的导数;函数的单调性与导数的关系.3274248
专题:
计算题.
分析:
根据对任意实数x,f′(x)>f(x),可以取特殊函数如f(x)=﹣1,结合选项即可得到答案.
解答:
解:
∵对任意实数x,f′(x)>f(x),
令f(x)=﹣1,则f′(x)=0,满足题意
显然选项A成立
故选A.
点评:
此题考查常数函数的导数,以及特殊值法是求解选择题的一种常用的方法,属基础题.
2.(2009•重庆)已知三角函数f(x)=sin2x﹣cos2x,其中x为任意的实数.求此函数的周期为( )
A.
2π
B.
π
C.
4π
D.
﹣π
考点:
函数的周期性;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数与方程的综合运用.3274248
专题:
计算题.
分析:
首先由题目中已知三角函数f(x)=sin2x﹣cos2x求周期,需要把函数化为标准型,然后根据周期公式求解即可得到答案.
解答:
解:
因为f(x)=sin2x﹣cos2x=
,
所以函数的周期T=
,
故答案选择B.
点评:
此题主要考查三角函数周期性的求法,其中涉及到三角函数标准型的化法,涵盖知识点少,属于基础题目.
3.已知y=f(x)是R上的可导函数,对于任意的正实数t,都有函数g(x)=f(x+t)﹣f(x)在其定义域内为减函数,则函数y=f(x)的图象可能为如图中( )
A.
B.
C.
D.
考点:
函数的单调性与导数的关系.3274248
专题:
导数的概念及应用.
分析:
根据题意,可得函数y=f'(x)是其定义域上的减函数.由此再结合各图象对应的基本初等函数,利用求导法则求出它们的导数,再讨论导数的单调性,即可得到正确答案.
解答:
解:
∵函数g(x)=f(x+t)﹣f(x)在其定义域内为减函数,
∴g'(x)=f'(x+t)﹣f'(x)<0在其定义域内恒成立
即f'(x+t)<f'(x),结合t>0,得函数y=f'(x)是其定义域上的减函数.
对于A,可设函数f(x)=ax2+bx+c,(a<0)
∴f'(x)=2ax+b,满足在其定义域上为减函数;
对于B,可设f(x)=ax,(0<a<1)
∴f'(x)=axlna,在(0,+∞)上是增函数,不符合题意;
对于C,可设f(x)=x3,可得f'(x)=3x2在其定义域上不是减函数,故C不正确;
对于D,可设f(x)=ax,(a>1)
∴f'(x)=axlna,在(0,+∞)上是增函数,不符合题意.
故选A
点评:
本题给出函数的导数满足的条件,求函数可能的图象.考查了基本初等函数的图象与性质,函数导数与单调性质关系等知识,属于中档题.
二.填空题(共9小题)
4.已知函数f(x)=x2+ax,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立.则实数a的值为 a=﹣2 .
考点:
二次函数的性质.3274248
专题:
计算题.
分析:
先从条件“对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立''得到对称轴,再利用二次函数的特点求出原函数的对称轴,让二者相等即可求出实数a的值.
解答:
解:
因为对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立
所以f(x)的对称轴为x=1,
又因为f(x)的对称轴为x=﹣
=﹣
,
故有﹣
=1⇒a=﹣2
故答案为:
﹣2.
点评:
本题主要考查二次函数的对称性.如果一个函数对任意的实数x都有f(a+x)=f(a﹣x)成立,那么其对称轴为x=a.
5.(2009•奉贤区二模)已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣a,若对任意实数x都有f(x)>0成立,则实数a的取值范围为 (﹣∞,3) .
考点:
函数恒成立问题.3274248
专题:
计算题;转化思想.
分析:
题目中条件:
“有f(x)>0成立”转化为|x+1|+|x﹣2|>a恒成立,下面只要求出函数|x+1|+|x﹣2|>的最小值即可.
解答:
解:
由题设可得,a<|x+1|+|x﹣2|对任意实数x均成立,
由于|x+1|+|x﹣2|≥|x+1+2﹣x|=3,
则a<3.
故填:
(﹣∞,3).
点评:
本题考查不等式的恒成立问题,属于中档题,求不等式恒成立的参数的取值范围,是经久不衰的话题,也是高考的热点,它可以综合地考查中学数学思想与方法,体现知识的交汇.
6.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|﹣a,若对任意实数x都有f(x)>0成立,则实数a的取值范围为 (﹣∞,1) .
考点:
函数恒成立问题.3274248
专题:
计算题.
分析:
题目中条件:
“有f(x)>0成立”转化为|x﹣1|+|x﹣2|>a恒成立,下面只要求出函数|x﹣1|+|x﹣2|>的最小值即可.
解答:
解:
由题设可得,a<|x﹣1|+|x﹣2|对任意实数x均成立,
由于|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1,
则a<1.
故填:
(﹣∞,1).
点评:
本题考查不等式的恒成立问题,属于中档题,求不等式恒成立的参数的取值范围,是经久不衰的话题,也是高考的热点,它可以综合地考查中学数学思想与方法,体现知识的交汇.
7.已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x,都有f(ax)=af(x),若f
(1)=2,则函数
的递减区间是 (0,
) .
考点:
利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质.3274248
专题:
函数的性质及应用.
分析:
由题意先求出函数f(x)的解析式,从而可求出
的表达式,用导数即可求得其递减区间.
解答:
解:
由题意得,当x>0时,f(x)=f(x•1)=xf
(1)=2x.
所以
=2x+
(x>0).
令y′=2﹣
<0,解得0<x<
.
所以函数
的递减区间是(0,
).
故答案为:
(0,
).
点评:
本题考查函数解析式的求解及函数单调性的性质,解决本题的关键是利用已知条件求出函数解析式.
8.已知函数f(x)对任意实数x都有f(x+3)=﹣f(x),又f(4)=﹣2,则f(2011)= 2 .
考点:
函数的周期性.3274248
分析:
由函数f(x)对任意实数x都有f(x+3)=﹣f(x),知f(x+6)=﹣f(x+3)=f(x),由f(x+3)=﹣f(x),知f(4)=﹣f
(1)=﹣2,由此能求出f(2012).
解答:
解:
∵函数f(x)对任意实数x都有f(x+3)=﹣f(x),
∴f(x+6)=﹣f(x+3)=f(x),
∵f(x+3)=﹣f(x),
∴f(4)=﹣f
(1)=﹣2,
∴f(2012)=f(6×335+1)=f
(1)=2.
故答案为:
2.
点评:
本题考查函数的周期的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
9.已知函数f(x)=loga[
﹣(2a)x]对任意x∈[
,+∞)都有意义,则实数a的取值范围是 (0,
) .
考点:
对数函数的定义域;函数恒成立问题.3274248
专题:
计算题;数形结合.
分析:
根据负数和0没有对数可知
﹣(2a)x大于0,利用图象可知y=
图象在y=(2a)x图象的上边,由指数函数的图象可得a的范围,因为函数对x≥
都成立,得到
等于
,解得a等于
,根据指数函数图象的性质可得a的范围.
解答:
解:
根据对数的定义可知:
﹣(2a)x>0,
由图象可知x>m时,y=
图象在y=(2a)x图象的上边
由指数函数y=(2a)x图象可知0<2a<1,
解得0<a<
,
因为函数f(x)对任意x∈[
,+∞)都有意义,
得
=
,解得a=
根据指数函数图象的性质可得实数a的取值范围为:
0<a<
故答案为:
(0,
)
点评:
此题考查学生掌握函数恒成立时所取的条件,会求对数函数的定义域,会利用数形结合的数学思想解决实际问题,是一道中档题.
10.(2010•温州模拟)等比数列{an}的前n项和Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=3x+γ的图象上,则实数r= ﹣1 .
考点:
等比数列的性质.3274248
专题:
计算题.
分析:
把点的坐标代入函数方程,求得数列的递推式,然后利用an=Sn﹣Sn﹣1,求得an和an﹣1,二者相比求得数列的公比,则等比数列的前n项的和表达式可得,整理后要使对任意n,以上2式子同时成立,需r=﹣1.
解答:
解:
根据题意
Sn=3n+r
所以
an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣3n﹣1an﹣1=3n﹣1﹣3n﹣2
=3
所以数列{an}的公比为3
则Sn=
=
•3n﹣
同时Sn=3n+r
若对任意n,以上2式子同时成立,则
=1
∴r=﹣1
故答案为:
﹣1
点评:
本题主要考查了等比数列的性质.特别是等比数列的前n项的和的公式的应用.考查了学生的推理能力,基本运算能力.
11.已知定义在R上的函数f(x),写出命题“若对任意实数x都有f(﹣x)=f(x),则f(x)为偶函数”的否定:
若存在实数x0,使得f(﹣x0)≠f(x0),则f(x)不是偶函数 .
考点:
命题的否定.3274248
专题:
综合题.
分析:
命题“若对任意实数x都有f(﹣x)=f(x),则f(x)为偶函数”是一个全称命题,否定为特称命题.由全称命题否定的方法我们易得到答案.
解答:
解:
命题“若对任意实数x都有f(﹣x)=f(x),则f(x)为偶函数”的否定为
若存在实数x0,使得f(﹣x0)≠f(x0),则f(x)不是偶函数
故答案为:
若存在实数x0,使得f(﹣x0)≠f(x0),则f(x)不是偶函数
点评:
本题考查的知识点是命题的否定,全(特)称命题是新教材的新增内容,其中全(特)称命题的否定是本考点的重要考查形式.
12.已知对于任意的实数a,b都有(a+b)2≤2(a2+b2)恒成立,则函数f(x)=|sinx|+|cosx|的值域是 [1,
] .
考点:
三角函数的最值.3274248
专题:
计算题;转化思想.
分析:
由题意得f(x)>0,利用条件求出f2(x)的范围,即可得到f(x)的范围.
解答:
解:
∵对于任意的实数a,b都有(a+b)2≤2(a2+b2)恒成立,函数f(x)=|sinx|+|cosx|>0,
∴f2(x)=(|sinx|+|cosx|)2≤2[(|sinx|)2+(|cosx|)2]=2,
又∵f2(x)=(|sinx|+|cosx|)2=(|sinx|)2+(|cosx|)2+2|sinx|•|cosx|≥(|sinx|)2+(|cosx|)2=1,
∴1≤f2(x)≤2,∴1≤f(x)≤
,∴函数f(x)=|sinx|+|cosx|的值域是[1,
].
故答案为:
[1,
].
点评:
本题考查求三角函数的最值的方法,根据f(x)>0,利用条件求出f2(x)的范围,即可得到f(x)的范围,
体现了转化的数学思想.
三.解答题(共7小题)
13.已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x﹣1)恒成立.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)已知f(3)=2,求f(2004).
考点:
抽象函数及其应用.3274248
专题:
计算题.
分析:
(1)根据对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x﹣1)恒成立,以及递推关系可得f(x+3)=﹣f(x),将x+3代入可得f(x+6)=f(x),最后根据周期函数的定义可知f(x)的周期,从而证得结论;
(2)根据f(x)是周期函数且6是它的一个周期,将f(2004)转化成f(0),而f(0)与f(3)互为相反数,即可求出所求.
解答:
解:
(1)证明∵f(x)=f(x+1)+f(x﹣1)
∴f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1),
则f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)﹣f(x)
=f(x)﹣f(x﹣1)﹣f(x)=﹣f(x﹣1).
∴f(x+3)=f[(x+1)+2]=﹣f[(x+1)﹣1]
=﹣f(x).
∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=﹣f(x+3)=f(x).
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
(2)∵f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
f(2004)=f(334×6)=f(0)=﹣f(3)=﹣2.
点评:
本题主要考查了抽象函数的周期性,以及求函数值等有关知识,同时考查了转化与划归的思想,属于基础题.
14.已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x﹣1)恒成立.
(Ⅰ)求证:
f(x)是周期函数.
(Ⅱ)已知f(﹣4)=2,求f(2012).
考点:
函数的值;函数的周期性.3274248
专题:
综合题.
分析:
(Ⅰ)将f(x)=f(x+1)+f(x﹣1)移向得出,f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1),以x+1代x得出f(x+2)=﹣f(x﹣1),再以x+1代x,得出f(x+3)=﹣f(x),以x+3代x后得出f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期函数,且6是它的一个周期.
(Ⅱ)f(2012)=f(335×6+2)=f
(2)=f[6+(﹣4)]=f(﹣4)=2.
解答:
(Ⅰ)证明:
∵f(x)=f(x+1)+f(x﹣1),∴f(x+1)=f(x)﹣f(x﹣1),
则f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)﹣f(x)=f(x)﹣f(x﹣1)﹣f(x)=﹣f(x﹣1),
所以f(x+3)=f[(x+1)+2]=﹣f[(x+1)﹣1]=﹣f(x),
f(x+6)=f[(x+3)+3]=﹣f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期函数,且6是它的一个周期.
(Ⅱ)解:
f(2012)=f(335×6+2)=f
(2)=f[6+(﹣4)]=f(﹣4)=2.
点评:
本题考查抽象函数的性质研究,函数值求解,对于抽象函数中字母灵活代换,构造关系式,是常用的研究方法.
15.已知定义在实数集R上的函数f(x),其导函数为f'(x),满足两个条件:
①对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy成立;②f'(0)=2.
(1)求函数的f(x)的表达式;
(2)对任意x1,x2∈[﹣1,1],求证:
|f(x1)﹣f(x2)|≤4|x1﹣x2|.
考点:
抽象函数及其应用.3274248
专题:
计算题.
分析:
(1)令x=y=0,求出f(0),将f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy中x固定,对y求导,令y=0得f′(x)=2x+2,从而求出函数的f(x)的表达式;
(2)将函数解析式代入可得|f(x1)﹣f(x2)|=|(x12﹣x22)+2(x1﹣x2)|=|x1﹣x2||x1+x2+2|≤|x1﹣x2|||x1|+|x2|+2|≤|x1﹣x2|(1+1+2)=4|x1﹣x2|,即可得到结论.
解答:
解:
(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
令x=y=0,得f(0)=0.将f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy中x固定,对y求导,
得f′(x+y)•(x+y)′=f′(y)+2x,令y=0得:
f′(x)•1=f′(0)+2x,
∴f′(x)=2x+2,设f(x)=x2+2x+c.又f(0)=0,∴c=0.
∴f(x)=x2+2x.…(6分)
(2)|f(x1)﹣f(x2)|=|(x12﹣x22)+2(x1﹣x2)|
=|x1﹣x2||x1+x2+2|≤|x1﹣x2|||x1|+|x2|+2|≤|x1﹣x2|(1+1+2)=4|x1﹣x2|.
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤4|x1﹣x2|.…(10分)
点评:
本题主要考查了抽象函数及其应用,同时考查了已知导函数求原函数和绝对值不等式的运用,属于中档题.
16.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t﹣1)x+1﹣2t.
(1)求证:
对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(﹣1,2)上有两个实数根,求t的范围.
考点:
二次函数的性质.3274248
专题:
计算题;转化思想.
分析:
(1)欲使得对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根,只须其根的判别式大于等于0,由此只须验证△≥0即可;
(2)欲使方程f(x)=0在区间(﹣1,2)上有两个实数根,结合二次函数的图象可得:
①△≥0;②对称轴在﹣1与2之间;③函数在x=﹣1和x=2处的函数值均为正,据此三点列出不等关系解之即得t的范围.
解答:
解:
(1)f(x)=1即x2+(2t﹣1)x﹣2t=0
△=(2t﹣1)2+8t=(2t+1)2≥0
∴f(x)=1必有实数根.
(2)若f(x)=0在(﹣1,2)上有两个实数根
∴
得
得
所以t的范围为
.
点评:
本小题主要考查二次函数的性质、二次函数根的判别式、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
17.已知函数
,
.
(Ⅰ)当t=8时,求函数y=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:
当t>0时,f(x)≥g(x)对任意正实数x都成立.
考点:
导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.3274248
专题:
综合题.
分析:
(I)先对函数y=f(x)﹣g(x)进行求导,然后令导函数大于0(或小于0)求出x的范围,根据g′(x)>0求得的区间是单调增区间,g′(x)<0求得的区间是单调减区间,即可得到答案.
(II)令
.利用导数求出fh(x)最小值,从而证得当t>0时,f(x)≥g(x)对任意正实数x都成立.
解答:
解:
(Ⅰ)当t=8时,
∴
y′=x2﹣4
令y′>0,得x<﹣2或x>2,
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