一次函数的图像与性质.docx

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一次函数的图像与性质

一次函数的图象与性质

适用学科

初中数学

适用年级

八年级

适用区域

南区广东省

课时时长（分钟）

60

知识点

一次函数、一次函数的图像与性质

教学目标

经历探索由一次函数图像观察归纳一次函数性质的过程，掌握并应用性质解决问题。

教学重点

一次函数的图像和性质

教学难点

由一次函数的图像实验归纳出一次函数的性质及对性质的理解

教学过程

一、课堂导入

函数是中学数学中非常重要的内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。

它贯穿于整个中学阶段的始末，同时也是历年中考、高考必考的内容之一。

初二数学中的函数又是中学函数知识的开端，是学生正式从常量世界进入变量世界，因此，努力上好初二函数部分的内容显得尤为重要。

一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习初、高中其它函数和高中解析几何中的直线方程的基础。

为此，在教学中，通过设置问题，引导学生观察探索，让学生在学习过程中体验、感悟函数思想等思想方法，从而激发学生学习函数的信心和兴趣，这也是教学目标。

本节课安排在正比例函数与一次函数的概念和函数图像画法之后。

目的是通过这一节课的学习使学生掌握正比例函数和一次函数图像和性质，并能简单应用性质。

它既是探究其他函数性质的基础，又是后续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础，在本章中起着承上启下的作用。

本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。

作为一种数学模型，一次函数在日常生活中也有着极其广泛的应用。

二、复习预习

1.已知函数

（1）.当m取何值时，该函数是一次函数. 

（2）.当m取何值时，该函数是正比例函数.  

2. 正比例函数和一次函数有何区别与联系？

三、知识讲解

考点1

一次函数：

形如y=kx+b（k≠0,k,b为常数）的函数。

注意：

（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；

（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

考点2

图象：

一次函数的图象是一条直线，

（1）两个常有的特殊点：

与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-

，0）

（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：

y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

考点3

性质：

（1）图象的位置:

（2）增减性

　　k>0时，y随x增大而增大

　　k<0时，y随x增大而减小

四、例题精析

考点一正比例函数的应用

例1已知y=

，其中

=

（k≠0的常数），

与

成正比例，求证y与x也成正比例。

【解析】证明：

∵

与

成正比例，

　　设

=a

（a≠0的常数）,

　　∵y=

=

（k≠0的常数）,

　　∴y=

·a

=akx，

　　其中ak≠0的常数，

　　∴y与x也成正比例。

考点二一次函数的性质

例2已知一次函数

=（n-2）x+

-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断

=（3-

）

是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

【解析】

解：

依题意，得

　　解得n=-1，

　　∴

=-3x-1,

=（3-

）x,　

是正比例函数；

=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，

随x的增大而减小；

=（3-

）x的图象经过第一、三象限，

随x的增大而增大。

　　说明：

由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

考点三直线的位置与k、b的关系

例3直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3（x-6）相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

【解析】

分析：

直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：

由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。

例y=2x,y=2x+3的图象平行。

　　解：

∵y=kx+b与y=5-4x平行，

　　∴k=-4,

　　∵y=kx+b与y=-3（x-6）=-3x+18相交于y轴，

　　∴b=18，

　　∴y=-4x+18。

　　说明：

一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：

由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过（0,b）点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。

五、课堂运用

【基础】

1、直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

【解析】

解：

∵点B到x轴的距离为2，

　　∴点B的坐标为（0，±2），

　　设直线的解析式为y=kx±2,

　　∵直线过点A（-4，0），

　　∴0=-4k±2,

　　解得：

k=±

　　∴直线AB的解析式为y=

x+2或y=-

x-2.

　　说明：

此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。

（1）图象是直线的函数是一次函数；

（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，

）；

　　（3）点B到x轴距离为2，则|

|=2；

　　（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=

；

　　（5）已知直线与y轴交点的纵坐标

，可设y=kx+

，

　　下面只需待定k即可。

2、已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。

【解析】

解：

设正比例函数y=kx，

　　一次函数y=ax+b，

　　∵点B在第三象限，横坐标为-2，

　　设B（-2，

），其中

<0，

　　∵

=6，

　　∴

AO·|

|=6，

　　∴

=-2，

　　把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1

　　把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，

　　得

　　解得：

　　∴y=x,y=-

x-3即所求。

　　说明：

（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；

（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。

这个转化实质含有两步：

一是利用面积公式

AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用|

|=BD及点B在第三象限计算出

=-2。

若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？

（答：

有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x,y=

（x+3）.

【巩固】

1、已知正比例函数y=kx（k<0）图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。

【解析】

分析：

画草图如下：

　　则OA=13，

=30，

　　则列方程求出点A的坐标即可。

　　解法1：

设图象上一点A（x,y）满足

　　解得：

；

；

；

　　代入y=kx（k<0）得k=-

k=-

.

　　∴y=-

x或y=-

x。

　　解法2：

设图象上一点A（a,ka）满足

　　由

（2）得

=-

　　代入

（1），得（1+

）·（-

）=

.

　　整理，得60

+169k+60=0.

　　解得k=-

或k=-

.

　　∴y=-

x或y=-

x.

　　说明：

由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。

此例给出的两个解法代表两种不同的思路：

解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。

2、在直角坐标系x0y中，一次函数y=

x+

的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

【解析】

　分析：

由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，

），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可

以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。

　　解：

∵点A、B分别是直线y=

x+

与x轴和y轴交点，

　　∴A（-3，0），B（0，

），

　　∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=

，AB=

，

　　设点D的坐标为（x,0），

（1）当点D在C点右侧，即x>1时，

　　∵∠BCD=∠ABD，

　　∠BDC=∠ADB，

　　∴△BCD∽△ABD，

　　∴

=

　　∴

=

----①

　　∴

=

　　∴8

-22x+5=0

　　∴x1=

x2=

　　经检验：

x1=

x2=

都是方程①的根。

　　∵x=

不合题意，∴舍去。

∴x=

，

　　∴D点坐标为（

0）。

　　设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，

∴

　　∴所求一次函数为y=-

x+

（2）若点D在点C左侧则x<1，

　　可证△ABC∽△ADB，

　　∴

　　∴

----②

　　∴8

-18x-5=0

　　∴x1=-

x2=

　　经检验x1=-

x2=

都是方程②的根。

　　∵x2=

不合题意舍去，∴x1=-

　　∴D点坐标为（-

0），

　　∴图象过B、D（-

0）两点的一次函数解析式为y=4

x+

综上所述，满足题意的一次函数为y=-

x+

或y=4

x+

.

【拔高】

1、已知：

如图一次函数y=

x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标。

【解析】

　解：

直线y=

x-3与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-3），

　　∴OA=6，OB=3，

　　∵OA⊥OB，CD⊥AB，

　　∴∠ODC=∠OAB，

　　∴cot∠ODC=cot∠OAB,即

　　∴OD=

=

=8.

　　∴点D的坐标为（0，8），

　　设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C（4,0）代入

　　0=4k+8,解得k=-2

　　∴直线CD：

y=-2x+8,

　　由

　解得

　　∴点E的坐标为（

，-

）

　　说明：

由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。

课程小结

求一次函数解析式的方法

　　求函数解析式的方法主要有三种

（1）由已知函数推导或推证

（2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

　　（3）用待定系数法求函数解析式。

　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

　　①利用一次函数的定义

　　构造方程组。

　　②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

　　③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。