同余的概念和性质.docx
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同余的概念和性质.docx
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同余的概念和性质
同余的概念和性质
LT
性质3:
若a≡b(modm),b≡c(modm),那么a≡c(modm),(传递性)。
性质4:
若a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±c≡b±d(modm),(可加减性)。
性质5:
若a≡b(modm),c≡d(modm),那么ac≡bd(modm)(可乘性)。
性质6:
若a≡b(modm),那么an≡bn(modm),(其中n为自然数)。
性质7:
若ac≡bc(modm),(c,m)=1,那么a≡b(modm),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。
注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的。
例如6≡10(mod4),而35(mod4),因为(2,4)≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。
同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。
例1判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?
解:
∵288-214=74=37×2。
∴288≡214(mod37)。
∵74-20=54,而3754,
∴7420(mod37)。
例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
分析若先求乘积,再求余数,计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”,减少计算量。
解:
∵418≡2(mod13),
814≡8(mod13),1616≡4(mod13),
∴根据同余的性质5可得:
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13)。
答:
乘积418×814×1616除以13余数是12。
例3求14389除以7的余数。
分析同余的性质能使“大数化小”,凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。
解法1:
∵143≡3(mod7)
∴14389≡389(mod7)
∵89=64+16+8+1
而32≡2(mod7),
34≡4(mod7),
38≡16≡2(mod7),
316≡4(mod7),
332≡16≡2(mod7),
364≡4(mod7)。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod7),
∴14389≡5(mod7)。
答:
14389除以7的余数是5。
解法2:
证得14389≡389(mod7)后,
36≡32×34≡2×4≡1(mod7),
∴384≡(36)14≡1(mod7)。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod7)。
∴14389≡5(mod7)。
例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,…,这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?
分析与解答经观察试验我们可以发现,每经过4次互换,四盏灯的颜色排列重复一次,而1小时=60分钟=120×30秒,所以这道题实质是求120除以4的余数,因为120≡0(mod4),所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。
十位,…上的数码,再设M=a0+a1+…+an,求证:
N≡M(mod9)。
分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式,然后利用10≡1(mod9)。
又∵1≡1(mod9),
10≡1(mod9),
102≡1(mod9),
…
10n≡1(mod9),
上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、an,再相加得:
a0+a1×10+a2×102+…+an×10n
≡a0+a1+a2+…+an(mod9),
即N≡M(mod9).
这道例题证明了十进制数的一个特有的性质:
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。
例如,求1827496被9除的余数,只要先求(1+8+2+7+4+9+6),再求和被9除的余数。
再观察一下上面求和式.我们可以发现,和不一定要求出.因为和式中1+8,2+7,9被9除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求4+6被9除的余数.因此,1827496被9除余数是1。
有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对,这种检查方法叫:
弃九法。
弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。
用弃九法检验乘式5483×9117≡49888511是否正确?
因为5483≡5+4+8+3≡11≡2(mod9),
9117≡9+1+1+7≡0(mod9),
所以5483×9117≡2×0≡0(mod9)。
但是49888511≡4+9+8+8+8+5+1+1
≡8(mod9),
所以5483×9117≠49888511,即乘积不正确。
要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确,但不能保证一定正确。
例如,9875≡9+8+7+5≡2(mod9),
4873≡4+8+7+3≡4(mod9),
32475689≡3+2+4+7+5+6+8+9
≡8(mod9),
这时,9875×4873≡2×4≡32475689(mod9)。
但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。
弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。
例6用弃九法检验下面的计算是否正确:
23372458÷7312=3544。
解:
把除式转化为:
3544×7312=23372458。
∵3544≡3+5+4+4≡7(mod9),
7312≡7+3+1+2≡4(mod9),
∴3544×7312≡7×4≡1(mod9),
但23372458≡2+3+3+8≡7(mod9)。
而17(mod9)
∴3544×7312≠23372458,
即23372458÷7312≠3544。
例7求自然数2100+3101+4102的个位数字。
分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。
解:
∵2100≡24×25≡625≡6(mod10),
3101≡34×25·31≡125·31≡3(mod10),
4102≡(22)100·42≡6·6≡6(mod10),
∴2100+3101+4102≡6+3+6≡5(mod10),
即自然数2100+3101+4102的个位数字是5.
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