考研数一真题及解析.docx
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考研数一真题及解析
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)
tJ2x-x2dx=
曲面X2+2y2+3Z2=21在点(1,-2,2)的法线方程为
微分方程xy"+3y'=0的通解为
生A不发生的概率相等,则P(A)=
时,有()
设S:
x2+y2+z2=a2(z>0),S为S在第一卦限中的部分,则有
□c
设级数SUn收敛,则必收敛的级数为
nrn
23a+2
X2
=
3
L1a一2」
Lx3.
[
0
「1
1i「xiim
2
无解,则
已知方程组
必要条件为(
(A)向量组a1,
…,%可由向量组叫,…,Pm线性表示-
(B)向量组卩1,…,Pm可由向量组^1,…,Otm线性表示.
(C)向量组a1,…,ttm与向量组P1,…,Pm等价.
(D)矩阵A=(a1,…Pm戸矩阵B=(p1,…,Pm)等价.
⑸设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量匕=X+丫与口=X-Y不相
关的充分必要条件为
(A)E(X)=E(Y).
()
(B)E(X2)-[E(X)f=E(Y2)-[E(Y)]2.
22
(C)E(X)=E(Y).
(D)e(x2)+[e(x)]2=e(y2)+[e(y)]2.
三、(本题满分5分)
/1、
2+ex+sinx
碍丿
四、(本题满分6分)
求lim
^^0
设z=fLy,"+g㈢Iy丿ly丿
其中
f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,
-2"十左z求
cxdy
五、(本题满分6分)
计算曲线积分I
-xdypydx,其中l是以点亿。
)为中心,r为半径的圆周
t4x+y
(R>1),
取逆时针方向.
(本题满分7分)设对于半空间xaO内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2Xzdxdy=0,
4
八、
其中函数f(x)在(0,+乂)内具有连续的一阶导数,且lm+f(x)=1,=求f(x).
七、(本题满分6分)
求幕级数——1———的收敛区域,并讨论该区间端点处的收敛性n£3n+(-2)nn
八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体,F0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点
到F0距离的平方成正比(比例常数kAO),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数f(X)在[O,兀]上连续,且J:
f(x)dx=OJ;f(x)cosxdx=0,试证:
在(0,兀)内
至少存在两个不同的点险,巴2,使f(险)=f(笃)=0.
十、(本题满分6分)
「1
位矩阵,求矩阵B.
1
然后将-熟练工支援其
6
卜一、(本题满分8分)
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,
他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核
2
Xn,yn记成向
有2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为
5
十二、(本题满分8分)
某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0
出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求
X的数学期望E(X)和方差D(X)•
十三、(本题满分8分)
设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(X;日)=(i
1°,
其中0>0为未知参数,又设x1,X2,…,xi是X的一组样本观测值,
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
⑴【答案】
一、填空题兀
4
=J;J2x-x2dx=J;J1-(X—1)2dx
F(x,y,z)=0在点(X0,y。
,zJ的法矢量为:
n={Fx(X0,y。
Z0),Fy^。
y。
zO,Fz(X0,y。
,zJ}
则有
令F(X,y,z)=x2+2y2+3z2-21,
Fx'(1,-2,2)=2x|f,-2,2)=2,
Fy'(1,-2,2)=4y|(1,-2,2)—8,
Fz'(1,-2,2)=6z|(1,-2,2「12.
(3)【答案】+C2
X
因BC2-e®>0是大于零的任意常数,上式可写成
所以原方程的通解为:
y=2中C2
x
「1
2
1
「1
2
1
11
2
3
a+2
+
:
3
T
0
-1
a
1
L1
a
-2
:
0.
[
0
a—2
-3
-1”
⑷【答案】-1.
【详解】化增广矩阵为阶梯形,有
⑸【答案】2/3(由A,B独立的定义:
P(AB)=P(A)P(B))
【详解】由题设,有P(AB),P(aB)=P(Ab)
9
因为A和B相互独立,所以A与B,A与B也相互独立.
即有
P(A)&-P(B)]=[「-P(A)]P(B),
可得
P(A)=P(B),P(A)=P(B)
从而
p(AB)=p(A)p(B)=[p(A)了=1-p(A)]2=-,
9
解得
P(A)
2
"3
二、选择题
(1)【答案】A
【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数
.题设中已知
f(x)f'(x)g(x)-f(x)g'(X)c0,想到设函数为相除的形式一^
g(x)
【详解】
设F(xHf^,则(F(xn-f'(x)g(x)rf(x)g'(x^0,g(x)
g2(x)
则F(x)在acxcb时单调递减,所以对Vacxcb,F(a)>F(x)>F(b),即
f(a^f(x^f(b)g(a)g(x)g(b)
得f(x)g(b)Af(b)g(x),aex
⑵【答案】C
【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有:
性质1设f(x,y,z)在分块光滑曲面S上连续,
S关于yoz平面对称,则
p
JJf(x,y,z)dS=<2)7f(x,y,z)dS
SI;
若f(x,y,z)关于x为奇函数若f(X,y,z)关于X为偶函数
其中S=Sc{x>0}.
性质2:
设f(x,y,z)在分块光滑曲面S上连续,
S关于xoz平面对称,则
P
JJf(x,y,z)dS=(2口f(x,y,z)dS
SI:
若f(x,y,z)关于y为奇函数若f(X,y,z)关于y为偶函数
其中S=SC{y>0}.
JJxdS=0,而JJxS中x>0且
SSi
JJydS=0,而JJxdSAO,所
SS1
性质3:
设f(x,y,z)在分块光滑曲面S上连续,S关于xoy平面对称,则
若f(x,y,z)关于z为奇函数
JJf(X,y,z)dS=«2JJf(x,y,z)dS若f(x,y,z)关于z为偶函数SI
其中S=Sc{z>0}.
【详解】
方法1直接法:
本题中S在xoy平面上方,关于yoz平面和xoz平面均对称,而f(x,y,z)=z对x,y均为偶函数,则
性质1性质2
JJzdS=2JJzdS=4JJzdS
SSrx/}S
又因为在S,上将x换为y,y换为z,z换为x,Si不变(称积分区域Si关于x,y,z
轮换对称),从而将被积函数也作此轮换变换后,其积分的值不变,即有
4JJzdS=4JJxdS=4JJydS.选项(C)正确.
SiSiSi
方法2:
间接法(排除法)
曲面S关于yoz平面对称,x为x的奇函数,所以
仅在yoz面上x=0,从而JJxdS^O,(A)不成立.
Si
曲面S关于zox平面对称,y为y的奇函数,所以
所以(D)不成立.
oC
(3)设级数Sun收敛,则必收敛的级数为
n壬
(B)hUn2
n二1
□C
DdnUn
(A)2(-1j―n±n
【答案】D
【详解】
方法1:
直接法•由艺Un收敛,所以送Un^1也收敛•由收敛级数的性质(如果级数艺Un
n4n4n4
方法2:
间接法•找反例:
(B):
取Un
(C):
取Un
是发散的;(关于上述结束的敛散,有下述结果:
£—1—严敛
心(n+1)lnP(1+n)[发散
=Z1发散;
心n
□c
,级数2Un收敛,但
n心
⑷【答案】(D)
【详解】用排除法•
(A)为充分但非必要条件:
若向量组
%…,%可由向量组氏,…,Pm线性表示,则一定可推导卩仆…,线性无关,因为若吒,…,线性相关,则r(叫,…,am)Vm,于是%,…,
必线性相关,矛盾•但反过来不成立,如当m=1时,S=(1,0)T,叫=(0,1)T均为单个非零
向量是线性相关的,但%并不能用p1线性表示•
(B)为既非充分又非必要条件:
如当m=1时,考虑%=(1,0)T,P1=(0,1)T均线性无关,
但并不能由a1线性表示,必要性不成立;又如旳=(1,0)T,p1=(0,0)T,可由a1线性表示,
但p1并不线性无关,充分性也不成立
(C)为充分但非必要条件:
若向量组8,…,am与向量组Pi,…,Pm等价,由a1,…,dm线
性无关知,pm)am)=m,因此(^,…,Pm线性无关,充分性成立;当m
=1时,考虑6=(1,O)T,P1=(O,1)T均线性无关,但«1与P1并不是等价的,必要性不成立
(D)剩下(D)为正确选项.事实上,矩阵Ap%,…,am卢矩阵B=(P1,…,Pm)等价?
r(A)=r(B)?
r(弭,…,Pm)=r(S…,5)=m,因此是向量组叫,…,Pm线性无关的充要条件.
⑸【答案】B.
【详解】©和n不相关的充分必要条件是它们的相关系数
由协方差的性质:
cov(aX+bY,Z)=acov(X,Z)+bcov(Y,Z)
Cov(r,n)=Cov(X+Y,X-Y)
=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=Cov(X,X)—Cov(Y,Y)=D(X)—D(Y)
可见
Cov(©,n)=OuD(X)-D(Y)=OuD(X)=D(Y)
=E(X2)-E(X)]2=E(Y2)-[E(Y)f(由方差定义DX=EX2-(EX)2)
故正确选项为(B).
1
三【分析】由于极限中含有e;与|x|,故应分别求其左极限与右极限,若左极限与右极限相等,则极限值存在且等于其极限值,否则极限不存在.
【详解】
=帚-丄f2^xyf1^43f22-—g-当g"
yyxx
五【详解】
方法1:
(复连通条件下的封闭曲线积分)
(2)在Li与L2所包
设:
(1)Li与L2是两条分段光滑的简单封闭曲线,具有相同的走向,
围的有界闭区域D1与D2的内部除一些点外,P(x,y)与Q(x,y)连续并具有连续的一阶偏导
数,且.则
&dy
』P(x,y)dx+Q(x,y)dy=』P(x,y)dx+Q(x,y)dy
解:
以点(1,0)为中心,R为半径的圆周的参数方程是:
x=1+Rcos9,y=Rsi,逆
(X,y)H(0,0)•作足够小的椭圆:
L1:
Jx=2COSt(t-00],C取逆时针方向),
I
[y=ssint
于是
于是L与Li及函数P(x,y)与Q(x,y)满足分析”中所述定理的一切条件,
而后一积分可用参数法计算
椭圆4x2+y2=孑的顺时针方向,则
xdy-ydxxdy-ydx【七4x2+y2J4x2+y2
11222
fxd^yd^—ff2dxdy(D1:
4x+y兰s)
Di
sJ名八
2£
=——JI=兀
S22
六【详解】由题设条件,可以用高斯公式:
0=血xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy
4
=±jjj[xf'(x)+f(X)-xf(x)—e2xilv
Q一
其中Q为S所围成的有界闭区域,当S的法向量指向O外时,’士”中取环”;当S的法向量指
向C内时,’士”中取’「•由S的任意性,知被积函数应为恒等于零的函数
2x
xf'(x)+f(x)-xf(x)—e=0,(xa0)
这是一阶线性非齐次微分方程,
利用一阶线性非齐次微分方程■dy+p(x)y=Q(x)的通解公式:
_p(x)dxf\
y=e」^Q(x)e」
dx
P(x)dx\
Jdx+C
J
其通解为
Ee2xe3dx+C[曲1e2x&dx+C卜e>C)
限值为1),即C+1=0,从而C=-1.
ex
因此f(X)=—(ex-1)
x
比a
七【定义概念】幕级数无anxn,若lim加=P,其中a
nT
两项的系数,则该幕级数的收敛半径
Pho
+oC
开区间(-R,R)叫做幕级数的收敛区间.
【详解】
所以收敛半径为R=3,相应的收敛区间为(-3,3).
当X=3时,因为
11
n—(-27
1+丄
l3丿
当x=-3时,
由于
((3+2"2n'
-(3n+(—2)n一3n+(—2)n/
分别考虑两个级数,级数
比n
送(一1)
n£
1
-是收敛的.又因
n
liml+r自
In=处,从而
2n
◎n
13丿
再由收敛,
n七丿
根据比较审敛法知
收敛,所以原级数在点x=-3处收敛.
3+(-2)n
fn
(-3)
0n+(-2)n
所以收敛域为[-3,3).
八【详解】本题为一物理应用题,由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的,因此本题的关
Po作为坐标原点,相应的有
键是建立适当的坐标系,一般来说,可考虑选取球心或固定点
两种求解方法.
(x,y,z),由对称性,得y=0,z=0,设卩为。
上点(x,y,z)处的密度,按题设
卩=k[(X—Rj+y2+Z2],贝y
=kJJJ(x2+y2+z2)dV+kJJJR2dV-0(利用奇函数的对称性
=8k上psi
4k兀R
(牛-莱公式)
2'0
4k兀R
32k兀R5
15
川kxC(x-R)2+y2
Q
=kUJx(x2+y2
Q
其中第一个积分的被积函数为
+zdV
又由于O关于X,y,z轮换对称,
+z2+R2)—2kR川x2dV
Q
z的奇函数,O对称于xOy平面,所以该积分值为零,
所以JJJz2dV二JJJx2dV二JJJy2dV
QQQ
从而
雷2dVuw+y2+z2)dV=3Qd呻叮r22気看r5
于是
—R)+yrz[dV—kR存R5一软R6
方法2:
「222川叶X.i•
Q
rr
角坐标系,则球面的方程为
F0O为正Z轴建立直
222_——一
X2+y2+z2=2Rz,设Q的重心位置为(X,y,z),由对称
-.因此,球体Q的重心位置为(—一,0,0)
44
性,得
=0,y=0,设卩为O上点(x,y,z)处的密度,按题设卩=k[x2+y2+z2]
所以
JJJz4dV川kz(X2+y2+z2)dV
z=-Q
JJJPdVfffk(x2+y2+z2)dV
因为
„„„--2RcosWCC32u
川(x2+y2+z2)dv=4『d9『dhor2T2sin④dr-32兀R5
Q00015
川z(x2+y2+z2)dV=4.孑d8fd④广COS;5sin®cos^dr
号春。
sJW号r6
55R
故Z=—R.因此,球体Q的重心位置为(0,0,——).
44
九【证明】
方法1令F(x)=0f(t)dt,0 又由题设(f(x)cosxdx=0,用分部积分,有 JIJI ■ryjIjI 0+LF(x)sinxdx=J。 F(x)sinxdx 0=0f(x)cosxdx=0cosxdF(x) =F(x)cosx 由积分中值定理知,存在©亡(0,兀)使 0=fF(x)sinxdx=F(®sin匕〈兀-0) 因为匕迂(0,兀),sintHO,所以推知存在t迂(0,兀),使得F化)=0.再在区间 [0,匕]与[©兀]上对F(x)用罗尔定理,推知存在©迂(0,匕),◎€(©兀)使 F徑1)=0F(q)=0,即f(©)=0,f(q)=0 ■rr 方法2: 由[f(x)d<£及积分中值定理知,存在迂(0,兀),使f(©)=0.若在区间(0,兀) 内f(x)仅有一个零点q,则在区间(0,^)与(: ;! )内f(x)异号.不妨设在(0,匕)内 f(X)aO,在(©,兀)内f(X)<0.于是由10f(x)dx=0,J0f(x)cosxdx=0,有 jTjTjT袪 0=[f(x)cosxdx-[f(x)cosqdx=[f(x)(cosx-cosq)dx =ff(x)(cosx-cos匸1)dx+ftf(x)(cosx-cos匸1)dx 当0 f(x) cosxVco哮,仍有f(X)(COSX-cos匕1)>0,得到: OaO.矛盾,此矛盾证明了 在(0,兀)仅有1个零点的假设不正确,故在(0,兀)内f(x)至少有2个不同的零点. 十【分析】本题为解矩阵方程问题,相当于是未知矩阵,其一般原则是先简化,再计算,根 据题设等式,可先右乘A,再左乘A*,尽量不去计算A 于是A=2,所以A*A=2 等式ABA^mBA'+BE两边先右乘A,得ABA,A=BA~A+3EA 再左乘A*,得A*ABA1AAbA+a3*aEA 化简 IA|BE=A*BE+3AA=2B=A*B+3|A|E 2B=AB+6E =(2E-A*)B=6E, 于是 *-1 =(2E—A) 「1 0 0 0「 「6 0 0 0「 0 1 0 0 0 1 0 0 0 6 0 0 =6 1 0 1 0 = -1 0 1 0 6 0 6 0 L0 3 0 -6. [ 0 1 2 0 1 ~6. [ 0 3 0 -1. 得 (由初等变换法求得) 方法2: lA=2(同解1),由aA*=AA= AE, 0 1 0 0 0 2 0 0 -1 0 1 0 = -2 0 2 0 3 1 3 1 0 0 0 0 L 8 8」[ 4 4」 「1 01 「2 01 0 0 0 0 J *」*4 A=A(A)=2(A)=2 (由初等变换法求得),可见A-E为逆矩阵 1 于是,由(A-E)BA=3E, 有B=3(A-E) A,而 因此 -4 (A—E) B=3 「1 「1 0 —2 of 0 「1 0 -2 3 4」L 方法3: 由题设条件ABA^ =BA"1+3E, 知: A-E,B均是可逆矩阵,且 3 4」 0「 0 「6 0 0 1 4」 L0 -1 得(A-E[BA,=3E. B=3(A-E)'a=3la4(A-E)「=3(E-A, A A J *\^ =3iE- 其中 所以 卜一【详解】 …2E一A 「1 0 0 0■ 0 1 0 0 1 *-J ,(2E-A)= -1 0 1 0 L0 3 0 -6” l' 1 1 0 「1 「6 0 0 2E-A= 1 2 B=6(2E-A )=6 0 0 0 0 6」 -1 L0 -6 1 (1)由题意,一Xn+yn是非熟练工人数, 6 L0 -1 li6Xn +yn 〕是年终由非熟练工人 5 变成的熟练工人数,6Xn是年初支援其他部门后的熟练工人数,根据年终熟练工的人数列 出等式 (1),根据年终非熟练工人人数列出等式 ⑵得 可见 5,2 "6Xn+- 3f1+ yn 5〔6Xn+yn (1) —: : 5,1,2 Xn+=-Xn+—Xn+—丫. 6155 1,3 FX+-yn 105 [9 iXn+=10Xn 1 iyn厂一Xn +2 5 +3 5 yn yn ,即 /fXn+ \yn卅丿 0 10 1 <9 10 A= I丄 110 作为列向量写成矩阵的形式 (3〕2),因为其行列式 4-1 (5 — 11 =5工0 ⑵把3,n2 "9 2、 r1、 10 5 I(- ‘4、 八,A2= 2 1 3 1 50 5丿 .2丿 2 2, 由特征值、特征向量的定义, 得n1为A的属于特征值打=1的特征向量,n2为A的属于特征 1 值'卜2=—特征向量. 22 (3)因为 因此只要计算A即可.令 -n 1丿 f、则由P^AP=[心
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