《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套).doc

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《初等数论》试卷

一、单项选择题：

（1分/题×20题=20分）

１．设为实数，为的整数部分，则（　　）

Ａ．；　　Ｂ．；

Ｃ．；　　Ｄ．．

２．下列命题中不正确的是（　　）

Ａ．整数的公因数中最大的称为最大公因数；

Ｂ．整数的公倍数中最小的称为最小公倍数

Ｃ．整数与它的绝对值有相同的倍数

Ｄ．整数与它的绝对值有相同的约数

３．设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表为（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

４．下列各组数中不构成勾股数的是（　　）

Ａ．５，１２，１３；　　Ｂ．７，２４，２５；

Ｃ．３，４，５；　　　　Ｄ．８，１６，１７

５．下列推导中不正确的是（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

６．模１０的一个简化剩余系是（　　）

Ａ．　　　　　　　　Ｂ．

Ｃ．　　Ｄ．

７．的充分必要条件是（　　）

Ａ．　　　Ｂ．

Ｃ．　　　Ｄ．

８．设，同余式的所有解为（　　）

Ａ．或　　　　　Ｂ．或

Ｃ．或　　Ｄ．无解．

9、设f（x）=其中为f（x）的一个解，则:

（）

A．

B．

C．

D．

10．则同余式

：

（）

A．有时大于p但不大于n;B．可超过p

C．等于pD．等于n

11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的:

（）

A．3B．11C．13D．23

12．若雅可比符号，则（）

A．

B．;

C．;

D．．

13．（）

A．4B．3C．2D．1

14．模12的所有可能的指数为;（）

A．1，2，4B．1，2，4，6，12C．1，2，3，4，6，12D．无法确定

15．若模m的单根存在，下列数中，m可能等于:

（）

A．2B．3C．4D．12

16．对于模5，下列式子成立的是:

（）

A．B．

C．D．

17．下列函数中不是可乘函数的是:

（）

A．茂陛鸟斯（mobius）函数w（a）;

B．欧拉函数；

C．不超过x的质数的个数；

D．除数函数；

18．若对模的指数是，>0，>0，则对模的指数是（）

A．B．C．D．无法确定

19．，均为可乘函数，则（）

A．为可乘函数；B．为可乘函数

C．为可乘函数；D．为可乘函数

20．设为茂陛乌斯函数，则有（）不成立

A．B．C．D．

二．填空题：

（每小题1分，共10分）

21．3在45中的最高次n＝____________________；

22．多元一次不定方程：

，其中，，…，，N均为整数，，有整数解的充分必要条件是___________________；

23．有理数，，，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；

24．设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为_________________________；

25．威尔生（wilson）定理：

________________________________________；

26．勒让德符号=________________________________________；

27．若，则是模的平方剩余的充分必要条件是_____________（欧拉判别条件）；

28．在模的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；

29．设，为模的一个原根，则模的一个原根为_____________；

30．_________________________________。

三．简答题：

（5分／题×4题＝20分）

31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？

说明理由。

32．“若，通过模的简化剩余系，则也通过模的简化剩余系”这命题是否正确？

正确请证明，不正确请举反例。

33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34．设为的标准分解式，记为的正因数的和，为的正因数的个数，则＝？

＝？

为什么？

四．计算题。

（7分／题×4题＝28分）

35．求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

36．解同余方程组

37．解同余式≡11（mod125）

38．求模13的所有原根。

五、证明题：

（7分/题×2题=14分）

39、试证：

，（x，y）=1y是偶数的整数解可写成：

这里，，并且一为奇数，一为偶数。

40、设a为正整数，试证：

其中表示展布在a的一切正因数上的和式。

六、应用题：

（8分）

41、求30！

中末尾0的个数。

参考答案：

一．单项选择：

ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。

二．填空题：

21．21；22．；23．；24．；25．！

+1为素数；26．1；

27．；28．；29．与中的单数；30．16

三．简答题：

31．答：

命题正确。

而必为2的倍数。

86页

32．正确．证明见教材。

33．在摸的简化剩余系中与同余的数是数的平方剩余，，，

故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。

34．

证明：

若为可乘函数，则．

分别令，它们为可乘函数，即得出。

四．计算题

35．解：

因为，故原不定方程有解。

又原方程即，而易见方程有解

。

所以原方程的一个解是

所以，原方程的一切整数解是：

（）

t是整数

36．解：

因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模

5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：

，，，得

，，

因此所给同余方程组的解是：

即：

37．解：

从同余方程，

，

，

是

得

即是所给方程的一个解，于是所解为：

解毕。

38．解：

为其质因数

，故g为模13的原根的主要条件是：

，

用g=1，2，……12逐一验证，得：

2，6，7，11为模13的原根，

因为，故模13原根只有4个，即为所求。

五、证明题：

39．证明：

易验证所给的解为原方程的解，因y为偶数，原方程可化为：

但

而，所以（，）=1

由书中引理，我们可假设

=，=b

显然>b，（，b）=1，于是

X=－b，z=+，y=2

因子为奇数，所以，b一定是一为奇，一为偶，证毕

40．证明：

假定，---，为的所有正约数，那末

，---，也是的所有正约数，于是

=

再因为在的完全剩余系中任一数的最大公约数

必定是，---，中某一个数，而完全剩余系中与的最

大公约数为的数有，所以：

=m证毕

六．应用题：

41．解：

5在30！

中的最高次幂=++

=6+1+0=7

2在30！

的最高次幂=++++

=15+7+3+1+0=26

10=2×5，故30！

的末尾有7个零。

20XX年4月广东省高等教教育育自学考试

初等数论试卷

一、单项选择题。

（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

1．-36，420，48三个数的公因数是（）

A．±1，±3，±4，±5，±6，±12B.±1,±2,±3,±4,±6,±,12

C.±2,±3,±4,±6D1,2,3,4,5,6,12

2.设a,b（整数集），p是素数，且。

则（）

Aa,b中恰有一个是p的倍数B.a,b中没有p的倍数

C.a,b中必有一个是p的倍数D.a,b都是p的倍数

3.设a,b是非零整数,d=（a,b）,则下列成立的是（）

AB.

C.D.

4.则对于任意（正整数集）（）

A.B.

C.D.

5.对任意实数,必有（）

A.B.

C.D.

6.下列不定方程中,有整数解的是（）

A.B.

C.D.

7.设a,b则（）

A.（a,b）=（a,m）B.（a,b）=（b,m）

C.（a,m）=（m,b）D.（a-b,m）=（a,m）

8.下列集合中,是模15的简化剩余系的是（）

A.B.

C.D.

9.下列同余式中成立的是（）

A.B.

C.D.

10.设同余式有解,则下述断语中正确的是（）

A.该同余式有模m的m-1个解

B.在模m的一组完全剩余系中,有（b,m）个数满足该同余式

C.在模m的一组完全剩余系中,有（a,m）个数满足该同余式

D.在模m的一组完全剩余系中,有（ab,m）个数满足该同余式

11.设素数p>2,a,b分别是模p的平方剩余和平方非剩余,则下列成的是（）

A.ab是模p的平方非剩余B.是模p的平方非剩余

C是模p的平方剩余D.是模p的平方非剩余

12.设对模m的指数为k.,则（）

A.B.

C.D,

13.若模m的原根存在,则m可能是（）

A.15的倍数B.16的倍数

B.81的2倍D.42的倍数

14.若x对模m的指数是ab,a>0,b>0,则对模m的指数是（）

A.B.b

C.D.a

15.设g是模m的一个原根,.K是模c的一个非负完全剩余系,则L=是（）

A.模m的一个完全剩余系B模m的一个简化全剩余系

C模c的一个完全剩余系D模c的一个简化全剩余系

二.填空题（本大题共10，每小题2分，共2分）

16.设,=

17.若a,b,是两个整数,b>0,设,则用m,r表达的b除a的带余式是

.

18.的标准分解中7的指数为.

19.有理数能表示成纯循环小数的充分必要条件是

.

20.设,是m的互不相同的素数,则

.

21.设a,b,c,m都是整数,,则当时,.

22.设,为互异的奇素数（i=1,2….,k）,,则同余式有解时,解数为.

23.设m是偶数,则模m有原根的充分必要条件是.

24.设a对模m的指数为t,则成立的充分必要条件是.

25．若是与m互素的t个整数，则

三、计算题。

（本大题共4题，第26，27小题各5分，第28，29小题各7分，共24分）

26．解不定方程

27.求3对模52的指数.

28.解同余方程组

29．对哪些奇素p,3是模p的二次剩余?

四、应用题（本题10分）

30．今天是星期三，试求经过天后是星期几？

五、证明题（本大题共2题，每小题8分，共30分）

31．求证3是模17的原根.

32.已知383是素数，求证。

20XX年4月广东省高等教教育育自学考试

初等数论试题答案及评分参考

一、单项选择题

1—5BCDAB6—10ACDBC

11—15ADCDB

二、填空题

16.

17.

18.12

19.使得。

20．或

21（a,m）=1

22.

23.m=2,4或，其中为正整数，p为素数

24．

25．

三、计算题

26．解：

（123，57）=，所以方程有整数解。

化简方程得.（1分）

解得

于是

故

知方程有特解（3分）

一般解为（）（5分）

27、解：

，24的正因数为

1，2，3，4，6，8，12，24（2分）

依次检验：

（4分）

故3对模52的指数是6（5分）

28、解：

而（3分）

故此同余组的解为

（7分）

29、解：

显然，由二次互反律，有

（1分）

由于

（3分）

所以

或（5分）

所以只有当时，3是模p的二次剩余（7分）

四、应用题

30、解：

要求模7的余数

由欧拉定理（2分）

于是（5分）

（7分）

于是（9分）

于是再过天就是星期日（10分）

五证明题

31、证：

求得，其不同素因数只有2（2分）

（4分）

而（6分）

所以3是模17的一个原根（8分）

32、证：

，于是

（1分）

由二次互转律

（4分）

（7分）

所以故同余方程有解（8分）