现代控制理论-第1章-控制系统数学模型.ppt
- 文档编号:11910358
- 上传时间:2023-04-15
- 格式:PPT
- 页数:82
- 大小:1.69MB
现代控制理论-第1章-控制系统数学模型.ppt
《现代控制理论-第1章-控制系统数学模型.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《现代控制理论-第1章-控制系统数学模型.ppt(82页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第1章控制系统数学模型,本课程的任务是系统分析和系统设计。
而不论是系统分析还是系统设计,本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。
因此,本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为:
1、状态空间表达式,2、由微分方程求出系统状态空间表达式,3、传递函数矩阵,4、离散系统的数学模型,5、线性变换,6、组合系统的数学描述,7、利用MATLAB进行模型之间的变换,1.1状态空间表达式,1.1.1状态、状态变量和状态空间,状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。
这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间,称为状态空间。
例:
如下图所示电路,为输入量,为输出量。
建立方程:
初始条件:
和可以表征该电路系统的行为,就是该系统的一组状态变量,1.1.2状态空间表达式,前面电路的微分方程组可以改写如下,并且写成矩阵形式:
系统的状态方程和输出方程一起,称为系统状态空间表达式,或称为系统动态方程,或称系统方程。
设:
则可以写成状态空间表达式:
推广到一般形式:
如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时,则称这样的系统为线性定常(LTI,即:
LinearTime-Invariant)系统。
如果这些元素中有些是时间t的函数,则称系统为线性时变系统。
严格地说,一切物理系统都是非线性的。
可以用下面的状态方程和输出方程表示。
如果不显含t,则称为非线性定常系统。
1.1.3状态变量的选取,
(1)状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定,
(2)状态变量选取的非惟一性,(3)系统状态变量的数目是惟一的,在前面的例子中,如果重新选择状态变量则其状态方程为,输出方程为:
1.1.4状态空间表达式建立的举例,例1-1建立右图所示机械系统的状态空间表达式(注:
质量块m的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消),根据牛顿第二定律,即:
选择状态变量,则:
机械系统的系统方程为,该系统的状态图如下,例1-2建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式,电枢回路的电压方程为,系统运动方程式为,(式中,为电动势常数;为转矩常数;为折合到电动机轴上的转动惯量;为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
),可选择电枢电流和角速度为状态变量,电动机的电枢电压为输入量,角速度为输出量。
状态空间表达式,状态图如下:
例1-3建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。
单级倒立摆系统是控制理论应用的一个典型的对象模型。
设小球的重心坐标为:
则,在水平方向,应用牛顿第二定律:
转动方向的力矩平衡方程式:
而有:
线性化:
当和较小时,有,化简后,得,求解得:
选择状态变量,为系统输入,为系统输出,状态图为,1.2由微分方程求状态空间表达式,一个系统,用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。
通过选择合适的状态变量,就可以得到状态空间表达式。
这里分两种情况:
1、微分方程中不含输入信号导数项,(即1.2.1中的内容),2、微分方程中含有输入信号导数项,(即1.2.2中的内容),1.2.1微分方程中不含有输入信号导数项,首先考察三阶系统,其微分方程为,选取状态变量,则有,写成矩阵形式,状态图如下:
一般情况下,n阶微分方程为:
选择状态变量如下:
写成矩阵形式:
系统的状态图如下:
1.2.2微分方程中含有输入信号导数项,首先考察三阶系统,其微分方程为,
(一)待定系数法,选择状态变量:
其中,待定系数为:
于是,写成矩阵形式,系统的状态图,一般情况下,n阶微分方程为:
选择n个状态变量为,系统方程为,系统状态图如下,
(二)辅助变量法,设n阶微分方程为:
Laplace变换,求传递函数,引入辅助变量z,返回到微分方程形式:
以及,写成矩阵形式,注:
如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同,则有d。
例1-4已知描述系统的微分方程为,试求系统的状态空间表达式。
解,
(1)待定系数法,选择状态变量如下,其中,于是系统的状态空间表达式为,
(2)辅助变量法,引入辅助变量z,选择状态变量,于是系统的状态空间表达式为,1.3传递函数矩阵,传递函数系统初始松弛(即:
初始条件为零)时,输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。
在初始松弛时,求Laplace变换,并且化简,状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数,输出量对输入量(输入到输出)的传递函数(即:
传递函数),例1-5系统状态方程式为,求系统传递函数。
解:
1.3.2传递函数矩阵,状态空间表达式为,进行拉普拉斯变换,如果存在,则,如果,则,状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵:
而,输出对输入向量(输入到输出)的传递函数矩阵:
其结构为,式中,表示只有第j个输入作用时,第i个输出量对第j个输入量的传递函数。
例1-7线性定常系统状态空间表达式为,求系统的传递函数矩阵。
解,1.3.3正则(严格正则)有理传递函数(矩阵),如果当时,是有限常量,则称有理函数是正则的。
若,则称是严格正则的。
非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的,因为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。
例如微分器为非正则系统,假如输入信号带有高频污染经过微分器输出,可见,在微分器输入端,噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一,输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍,信噪比变得很小。
1.3.4闭环系统传递函数矩阵,于是闭环系统的传递矩阵为,或,1.3.5传递函数(矩阵)描述和状态空间描述的比较,1)传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述,非初始松弛系统,不能应用这种描述;状态空间表达式即可以描述初始松弛系统,也可以描述非初始松弛系统。
2)传递函数仅适用于线性定常系统;而状态空间表达式可以在定常系统中应用,也可以在时变系统中应用。
3)对于数学模型不明的线性定常系统,难以建立状态空间表达式;用实验法获得频率特性,进而可以获得传递函数。
4)传递函数仅适用于单入单出系统;状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。
5)传递函数只能给出系统的输出信息;而状态空间表达式不仅给出输出信息,还能够提供系统内部状态信息。
综上所示,传递函数(矩阵)和状态空间表达式这两种描述各有所长,在系统分析和设计中都得到广泛应用。
1.4离散系统的数学描述,1.4.1状态空间表达式,选取状态变量,写成矩阵形式,可以表示为,其中,输出方程,推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统,选取状态变量,,系统状态方程,输出方程,2.差分方程中含有输入量差分项,先考察3阶线性定常差分方程,选择状态变量,待定系数为:
系统状态方程为,即:
输出方程为,即:
多输入-多输出线性时变离散系统状态空间表达式,当、和的诸元素与时刻无关时,即得线性定常离散系统状态空间表达式,如果存在,则,如果初始松弛,则,其中,为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵,系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵,解,对于SISO线性定常离散系统,系统脉冲传递函数为,1.5线性变换,我们知道,状态变量的选取是非唯一的。
选择不同的状态变量,则得到的状态空间表达式也不相同。
由于它们都是同一个系统的状态空间描述,它们之间必然存在某种关系。
这个关系就是矩阵中的线性变换关系。
求线性变换的目的:
将系统矩阵变成为标准形,便于求解状态方程。
1.5.1等价系统方程,1.线性定常系统,
(1),为n维状态向量;为r维输入向量;为m维输出向量;、为相应维数的矩阵。
其中,于是,系统状态方程变为,
(2),方程
(1)与方程
(2)互为等价方程,对上式求导并代入,可以得到,又由,可以得到,1.5.2线性变换的基本性质,1.线性变换不改变系统的特征值,线性定常系统,系统的特征方程为,等价系统的特征方程为,可见线性变换不改变系统的特征值,2.线性变换不改变系统的传递函数矩阵,时的传递函数矩阵,可见,经过线性变换,系统的传递函数矩阵不改变,1.5.3化系数矩阵A为标准形,所谓标准形是指:
对角形、约当形、模态形,例1-10将矩阵化为对角阵,解,解出,变换矩阵,如果矩阵A具有这样形式,范德蒙特矩阵,变换矩阵,2.化矩阵A为约当形,如果矩阵A有重特征值,并且独立特征向量的个数小于n,这时不能化为对角阵,只能化为约当形。
确定变换矩阵,可以得到:
变换矩阵为,例1-12化矩阵为标准形矩阵,解,得出,求二重特征根对应的特征向量,得到,而由,得到,求特征值对应的特征向量,得到,因此,设特征值为,在此情况下,A的模态形为,设为对应于的特征向量,则,令,则,变换矩阵,例1-13将化为模态形,解,特征值为,解得,因此,1.6组合系统的数学描述,工程中较为复杂的系统,通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。
这样的系统称为组合系统。
组合系统形式很多,在大多数情况下,它们由并联、串联和反馈等3种连接方式构成的。
下面以两个子系统和构成的组合系统进行介绍。
的系统方程为,传递函数矩阵为,的系统方程为,传递函数矩阵为,传递函数矩阵,1.6.2串联连接,串连组合后系统方程,1.6.3反馈连接,组合后系统方程为,传递函数矩阵为,或,(1-125),(1-126),应当指出,在反馈连接的组合系统中,或存在的条件是至关重要的。
否则反馈系统对于某些输入就没有一个满足式(1-125)或式(1-126)的输出。
就这个意义来说,反馈连接就变得无意义了。
1.7利用MATLAB进行模型转换,MATLAB是当今世界上最优秀的科技应用软件之一,它以强大的科学计算能力和可视化功能,简单易用的编程语言以及开放式的编程环境等一些显著的优点,使得它在当今许许多多科学技术领域中成为计算机辅助分析和设计、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。
在本书中,用它作为系统分析和设计的软件平台,更显示出独特的优势。
本节利用MATLAB实现数学模型的转换。
可以用ss命令来建立状态空间模型。
对于连续系统,其格式为sys=ss(A,B,C,D),其中A,B,C,D为描述线性连续系统的矩阵。
当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时,可以用命令sys=ss(sys1),将其转换成为状态空间形式。
也可以用命令sys=ss(sys1,min)计算出系统sys的最小实现。
例1-15控制系统微分方程为,求其状态空间表达式。
解,可以先将其转换成传递函数,输入下列命令,语句执行结果为,这个结果表示,该系统的状态空间表达式为,注意,在输入命令中,sys=ss(G)也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den),在本例中其作用和sys=ss(G)近似,也可以计算出矩阵A、B、C、D。
2.离散系统的状态空间表达式,离散系统的状态空间表达式为,和连续系统状态空间表达式的输入方法相类似,如果要输入离散系统的状态空间表达式,首先需要输入矩阵G、H、C、d,然后输入语句,即可将其输入到MATLAB的workspace中,并且用变量名来表示这个离散系统,其中T为采样时间。
如果Gyu表示一个以脉冲传递函数描述的离散系统,也可以用ss(Gyu)命令,将脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。
解,输入下列语句,语句执行的结果为,再输入语句,绘制出零、极点分布图如下,在执行完上述语句后,Gyu已经存在于MATLAB的workspace中,这时再执行语句,执行结果为,结果表示,离散系统的状态空间表达式为,1.7.2求传递函数矩阵,在已知线性定常系统中的A、B、C和D矩阵之后,则该系统的传递函数矩阵可以按下式求出,例1-17已知系统状态方程为,其中inv()函数是求矩阵的逆矩阵,而simple()函数是对符号运算结果进行简化。
执行结果如下,这表示,1.7.3.线性变换,1.化为对角矩阵,函数eig()可以计算出矩阵A的特征值以及将A阵转换成对角阵的线性变换矩阵。
其语句格式为Q,D=eig(A),则D为对角阵并且对角线上各元素为矩阵A的特征值,满足,因为即:
。
输入以下语句,执行结果如下,由以上计算数据可得系统经过线性变换后的方程为,也可以输入语句,运行结果为,2.化为约当矩阵,在MATLAB中用函数命令jordan()来求矩阵的约当标准形。
其命令格式为:
Q,J=jordan(A)。
输入参量A是系数矩阵,输出参量J是矩阵A的约当标准形矩阵,而就是线性变换矩阵,满足。
例1-19将化为标准形矩阵。
运行结果为,可见,不满秩,即矩阵A的特征值中有重特征值,并且A的独立特征向量的个数小于n。
因此输入语句,语句执行结果为,计算结果表明,矩阵A的约当阵为。
我们验证如下,执行结果为,所计算出的结果表明,满足,补充例题:
系统如图所示,初始状态松弛,其中、为输入,为输出。
、。
请建立系统的状态空间表达式。
第1章结束,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 现代 控制 理论 控制系统 数学模型
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)