二次函数与三角形专题训练doc.docx
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二次函数与三角形专题训练
1.(2012?
遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,
其顶点B的坐标为(3,﹣).
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;
(2)在抛物线上求点P,使S△=2S△;
POAAOB
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
2.(2012?
资阳)抛物线的顶点在直线y=x+3上,过点F(﹣2,2)的直线交
该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.
(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;
(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;
(3)若射线NM交x轴于点P,且PA?
PB=,求点M的坐标.
3.(2012?
湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标
轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA
向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个
单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动
的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
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(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形
4.(2012?
云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点
A.抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(﹣1,0),并与直线相交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式(关系式);
(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;
(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形若存在,请求出点M
的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2012?
义乌市)如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),
交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:
线段QM与线段QN
的长度之比是否为定值如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
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(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),
点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:
m在什么范围
时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个
2
6.(2012?
扬州)已知抛物线y=ax+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直
线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形若存在,直接写出所有符合条件的点
M的坐标;若不存在,请说明理由.
2
7.(2012?
陕西)如果一条抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线
的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
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(1)“抛物线三角形”一定是_________三角形;
(2)若抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如图,△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点
O为对称中心的矩形ABCD若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说
明理由.
8.(2012?
南通)如图,经过点A(0,﹣4)的抛物线y=
2
x+bx+c与x轴相交于B(﹣2,0),
C两点,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
2
(2)将抛物线y=x+bx+c向上平移个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到
新抛物线,若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
9.(2012?
临沂)如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的
位置.
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(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
10.(2012?
凉山州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4
与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经
过A、B两点,并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧),点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)若点P在第二象限内,过点P作PD⊥轴于D,交AB
于点E.当点P运动到什么位置时,线段PE最长此时PE等于多少
(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M为OA的中点,
那么是否存在这样的直线l,使得△MON是等腰三角形若存在,请求出点Q的坐标;若不存
在,请说明理由.
11.(2012?
乐山)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,
﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n
(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.
(1)求抛物线的解析式;
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(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标.
12.(2012?
嘉兴)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:
y=x2上的动点(点在第一象
限内).连接OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA
丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1,当m=时,①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;②求证:
四边形ODME是矩形.
13.(2012?
吉林)问题情境
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如图,在x轴上有两点A(m,0),B(n,0)(n>m>0).分别过点A,点B作x轴的垂线,
交抛物线y=x2于点C、点D.直线OC交直线BD于点E,直线OD交直线AC于点F,点E、点
F的纵坐标分别记为yE,yF.
特例探究
填空:
当m=1,n=2时,yE=_________,yF=_________;
当m=3,n=5时,yE=_________,yF=_________.
归纳证明
对任意m,n(n>m>0),猜想yE与yF的大小关系,并证明你的猜想.
拓展应用
(1)若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2(a>0)”,其他条件不变,请直接写出yE
与yF的大小关系;
(2)连接EF,AE.当S四边形OFEA=3S△OFE时,直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状.
14.(2012?
黄冈)如图,已知抛物线的方程C1:
y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴相交
于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在
(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在
(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE
相似若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
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15.(2012?
呼和浩特)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且
抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x
轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距
离的4倍,记抛物线顶点为E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC与△ABE的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍若存在,请求出点
D的坐标;若不存在,请说明理由.
16.(2012?
衡阳)如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在
抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),
点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O)
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,
①求证:
PF=PR;
②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理
由;
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③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断△RSF的形
状.
17.(2012?
河南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1
与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的
纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B
点重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于
点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,直接写出m的值,
使这两个三角形的面积之比为9:
10若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由.
18.(2012?
广元)如图,在矩形ABCD中,AO=3,tan∠ACB=.以
O为坐标原点,OC为x轴,OA为y轴建立平面直角坐标系,设D、
E分别是线段AC、OC上的动点,它们同时出发,点D以每秒3个单
位的速度从点A向点C运动,点E以每秒1个单位的速度从点C向
点O运动.设运动时间为t(秒)
(1)求直线AC的解析式;
(2)用含t的代数式表示点D的坐标;
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(3)在t为何值时,△ODE为直角三角形
(4)在什么条件下,以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线并请选
择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.
19.(2012?
广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、
B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等
于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
20.(2012?
广安)如图,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=,
将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°,
得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1
的中点旋转180°,得到△OA2B1,抛物
线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、
A2.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在第三象限内,抛物线上的点P
在什么位置时,△PBB1的面积最大求出这时点P的坐标.
(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为若存在,求出
点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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