人教A版高中数学必修五同步检测第2章22第2课时等差数列的性质.docx
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人教A版高中数学必修五同步检测第2章22第2课时等差数列的性质
第二章数列
2.2等差数列
第2课时等差数列的性质
高效演练知能提升
A级基础巩固
一、选择题
1设数列{an},{bn}都是等差数列,且ai=25,4=75,a?
+b?
=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项值为()
A.0B.37C.100D.-37
解析:
设c„=an+bi,贝卩c1=a1+b1=25+75=100,9=a2+d=100,故d=c2-c1=0,故Cn=100(n€N*),从而q7=100.
答案:
C
2.如果数列{an}是等差数列,则下列式子一定成立的有()
A.a“+a8 C.a“+a8>a4+a5D.a“a8=da5 解析: 由等差数列的性质有a“+a8=a4+a5・ 答案: B 3.由公差0的等差数列a1,a: …,an组成一个新的数列 a1+a3,az+a4,83+a5,…下列说法正确的是() A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析: 因为(an+1+an+3)—(an+an+2)=(a“+1+an)+(a“+3—an+2)= 2d, 所以数列a“+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.答案: C 4.在数列{an}中,a3=2,a7=1,如果数列*玄+1j是等差数列,那么a-n等于() 112 A.gb.qC・3d.1 1+1=2」, a3+1an+1a7+1 2__1__2 1+1_2+1=3, 1 所以an=2 答案: B 5.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正 数,第七项起为负数,则它的公差是() A.—2B.—3C.—4D.—5 解析: 设该数列的公差为d,则由题设条件知: a6=aq+5d>0,a7=a1+6d<0. 又因为a1=23, 又因为d是整数,所以d=_4. 答案: C 、填空题 6.在等差数列{an}中,a3,a10是方程x2-3x—5=0的根,贝S +a8=. 解析: 由已知得a3+a10=3. 又数列{an}为等差数列, 所以a5+比=a3+a“o=3. 答案: 3 7.数列{an}满足递推关系Oi=3a*-1+3n—1(n€N,n>2),aq =5,则使得数列彳勾+巴? 为等差数列的实数m的值为. 解析: a1=5,a2=3x5+32—1=23, a3=3x23+33—1=95, 上,贝yan=. =n2. 答案: n2 三、解答题 9.在等差数列{a*}中,若ai+a? +…+a5=30,a6+a? +…+ai0=80,求an+ai2+…+ai5. 解: 法一: 因为1+11=6+6,2+12=7+7,…,5+15= 10+10, 所以a“+an=2a6,a2+a“2=2a7,…,a5+a“5=2a1°. 所以但1+a? +…+a5)+(a^+a^+…+a^)=2(a6+a? +…+a10). 所以an+a12+…+a15=2(a§+命+…+a^)—(a“+a? +…+a5)=2X80—30=130. 法二: 因为数列{an}是等差数列,所以a1+a2+…+,a6+a? +…+a10,an+a“2+…+a“5也成等差数列,即30,80,an+a“2+…+a15成等差数列. 所以30+(a^+a12+…+a15)=2X80, 所以an+a12+…+a15=130. 10.已知无穷等差数列{a*},首项a1=3,公差d=—5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项? 解: (1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3+(n—1)(—5)=8—5n, 设数列{0}的第n项是数列{an}的第m项,则需满足m=4n—1, * n€N, 所以b1=Oj=8—5X3=—7, b>2=a7=8—5X7=—27. (2)由 (1)知bn+1—b=a4(n+1)-1—a4n-1=4d=—20, 所以新数列{bn}也为等差数列, 且首项为b1=—7,公差为d'=—20, 所以bn=b1+(n—1)d'=—7+(n—1)x(—20)=13—20n. (3)因为m=4n—1,n€N*,所以当n=110时,m=4X110-1=439, 所以数列何}中的第110项是数列{an}中的第439项. B级能力提升 1 1.若方程(x2—2x+m)(x2—2x+m=0的四个根组成一个首项为玄的等差数列,则|m—n|=() 3_8 ■D 4-2 ■ C 3_4 B 1 ・ A 解析: 设方程的四个根ai,a2,a3,a4依次成等差数列,贝Sai +a4=a2+a3=2, 再设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2, 1i 因为a1=4,所以d=2, 113 所以a2=4+2=4, 1.5 a3=4+=4, 解析: 法: 因为ap-aq+(p—q)d, 所以q=p+(p—q)d,即卩q—p=(p—q)d, 因为pzq,所以d=—1. 所以ap+q=ap+(p+q—p)d=q+qx(—1)=0. 法二: 因为数列{an}为等差数列,所以点(n,an)在一条直线上. 不妨设pvq,记点A(p,q),B(q,p),则直线AB的斜率 “q—卜-1,如图所示'由图知P+q,即点C的坐标为 (p+q,0)故ap+q=0. 1Gn k p 0 P? Cn 答案: 0 * 3.在数列{an}中,ai=1,3anan-1+an—an-1=0(n>2,n€N). (1)求证: 数列~是等差数列; an# ⑵求数列{an}的通项公式. (1)证明: 由3anan-1+an—an-1=0, 得右—~~=3(n>2). anan—1 又因为a1=1, 所以数列‘右! 是以1为首项,3为公差的等差数列. L_an」 (2)解: 由 (1)可得1=1+3(n—1)=3n—2, 所以an= 1 3n-2. 又当n=1时,站=1,符合上式, 1 所以数列{an}的通项公式是an=二2
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