最新沪科版八年级数学下册教案.docx

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最新沪科版八年级数学下册教案

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第 1 课时二次根式的概念

1．了解二次根式的概念；（重点）

2．理解二次根式有意义的条件；（重点）

3．理解（a≥0）是一个非负数，并会应用（a≥0）的非负性解决实

际问题．（难点）

一、情境导入

1．xx 准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面

积是 8 平方厘米，那么它的边长是多少？

2．已知圆的面积是 6π，你能求出该圆的半径吗？

大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些

问题吧！

二、合作探究

探究点一：

二次根式的概念

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【类型一】 二次根式的识别

（2015·xx 期末）下列各式：

①；②；③；④；⑤ ，其中二次根

式的个数有（）

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

解析：

根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故

选 B.

方法总结：

判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具

备两个特征：

①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一

不可．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2 题

【类型二】 二次根式有意义的条件

代数式有意义，则 x 的取值范围是（）

A．x≥－1 且 x≠1B．x≠1

C．x≥1 且 x≠－1D．x≥－1

解析：

根据题意可知 x＋1≥0 且 x－1≠0，解得 x≥－1 且 x≠1.

故选 A.

方法总结：

（1）要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，

而不是所含字母为非负数；

（2）若式子中含有多个二次根式，则字母

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的取值必须使各个被开方数同时为非负数；（3）若式子中含有分母，

则字母的取值必须使分母不为零．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 4 题

探究点二：

利用二次根式的非负性求值

【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值

（1）已知 a，b 满足＋|b－1|＝0，求－b 的值；

（2）已知实数 a，b 满足 a＝＋＋3，求 a，b 的值．

解析：

根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即

可．

解：

（1）由题意知得＝－8，b＝1，则－b＝－9；

（2）由题意知解得 b＝2.所以 a＝0＋0＋3＝3.

方法总结：

①当几个非负数的和为 0 时，这几个非负数均为 0；

②当题目中，同时出现和时（即二次根式下的被开方数互为相反数 ），

则可得 a＝0.

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题

【类型二】 与二次根式有关的最值问题

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当 x＝________时，＋3 的值最小，最小值为________．

解析：

由二次根式的非负性知≥0，∴当＝0 即 x＝－时，＋3 的

值最小，此时最小值为 3.故答案为－，3.

方法总结：

对于二次根式≥0（a≥0），可知其有最小值 0.

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 8 题

三、板书设计

本节课的内

容是在我们已学过的 xx、算术 xx 知识的基础上，进一步引入二次根

式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结

二次根式在实数范围内有意义的条件

第 2 课时二次根式的性质

1．理解和掌握（）2＝a（a≥0）和＝|a|；（重点）

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2．能正确运用二次根式的性质 1 和性质 2 进行化简和计算．（难

点）

一、情境导入

如果正方形的面积是 3，那么它的边长是多少？

若边长是，则面

积是多少？

如果正方形的面积是 a，那么它的边长是多少？

若边长是，则面

积是多少？

你会计算吗？

二、合作探究

探究点一：

利用二次根式的性质进行计算

【类型一】 利用（）2＝a（a≥0）计算

计算：

（1）（）2;

（2）（－）2；

（3）

（2）2;（4）

（2）2.

解析：

（1）可直接运用（）2＝a（a≥0）计算，

（2）（3）（4）在二次根号

前有一个因数，先利用（ab）2＝a2b2，再利用（）2＝a（a≥0）进行计算．

解：

（1）（）2＝0.3；

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（2）（－）2＝（－1）2×（）2＝13；

（3）

（2）2＝22×（）2＝12；

（4）

（2）2＝22×（）2＝4（x－y）＝4x－4y.

方法总结：

形如（n）2（m≥0）的二次根式的化简，可先利用（ab）2

＝a2b2，化为 n2·（）2（m≥0）后再化简．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 3 题

【类型二】 利用＝|a|计算

计算：

（1）；

（2）；（3）－.

解析：

利用＝|a|进行计算．

解：

（1）＝2；

（2）＝|－|＝；

（3）－＝－|－π |＝－π .

方法总结：

＝|a|的实质是求 a2 的算术 xx，其结果一定是非负

数．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 9 题

【类型三】 利用二次根式的性质化简求值

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先化简，再求值：

a＋，其中 a＝－2 或 3.

解析：

先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．

解：

a＋＝a＋＝a＋|a＋1|，当 a＝－2 时，原式＝－2＋|－2＋

1|＝－2＋1＝－1；当 a＝3 时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.

方法总结：

本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化

简，再求值．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 10 题

探究点二：

利用二次根式的性质进行化简

【类型一】 与数轴的综合

如图所示为 a，b 在数轴上的位置，化简 2－＋.

解析：

由 a，b 在数轴上的位置确定 a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.

再根据＝|a|进行化简．

解：

由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则 a－b＜0，a＋b＜0.

原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－＋a－b－（a＋b）＝－－2b.

方法总结：

利用＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的

正负性，计算时应包括两个步骤：

①把被开方数的底数移到绝对值符

号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．

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变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 7 题

【类型二】 与三角形 xx 关系的综合

已知 a、b、c 是△ABC 的 xx 长，化简－＋.

解析：

根据三角形的 xx 关系得出 b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次

根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．

解：

∵a、b、c 是△ABC 的 xx 长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式

＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－（b＋c－a）＋（b＋

a－c）＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝＋b－c.

方法总结：

解答本题的关键是根据三角形的 xx 关系（三角形中任

意两边之和大于第 xx），得出不等关系，再结合二次根式的性质进行

化简．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 9 题

三、板书设计

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二次根式的

性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算

打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自

己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习

惯．性质 1 和性质 2 容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它

们的区别，以便更好地灵活运用

第 1 课时

二次根式的乘法

1．掌握二次根式的乘法运算法则；（重点）

2．会进行二次根式的乘法运算．（重点、难点）

一、情境导入

xx 有一块 xx 方形菜地，xxm，宽 m，那么这个 xx 方形菜地的面

积是多少？

二、合作探究

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探究点一：

二次根式的乘法法则成立的条件

式子·＝成立的条件是（）

A．x≤2B．x≥－1

C．－1≤x≤2D．－1＜x＜2

解析：

根据题意得解得－1≤x≤2.故选 C.

方法总结：

运用二次根式的乘法法则：

·＝（a≥0，b≥0），必须

注意被开方数是非负数这一条件．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2 题

探究点二：

二次根式的乘法

【类型一】 二次根式的乘法运算

计算：

（1）×；

（2）9×（－）；

（3）·2·（－）；

（4）·（－）·（a≥0，b≥0）．

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解析：

第

（1）小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第 

（2），

（3），（4）小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数

相乘．

解：

（1）原式＝＝；

（2）原式＝－（9×）＝－＝－27；

（3）原式＝－（2×）＝－＝－；

（4）原式＝－×＝－3b.

方法总结：

二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式

相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化

为最简二次根式，计算时要注意积的符号．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 4 题

【类型二】 逆用性质 3（即＝·，a≥0，b≥0）进行化简

化简：

（1）；

（2）；

（3）（a≥0，b≥0）．

解析：

利用积的算术 xx 的性质，把它们化为几个二次根式的积，

（2）小题中先确定符号．

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解：

（1）＝×＝14×0.5＝7；

（2）＝＝×＝×＝；

（3）＝··＝3b.

方法总结：

利用积的算术 xx 的性质进行计算或化简，其实质就

是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，

如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如

（2）小题．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题

【类型三】 二次根式的乘法的应用

xx 的爸爸做了一个长为 cm，宽为 cm 的矩形木板，还想做一个与

它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径（结果保留

根号）．

解析：

根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π ×半径的平

方”进行计算．

解：

设圆的半径为 rcm.

因为矩形木板的面积为×＝168π （cm）2，

所以 π r2＝168π ，r＝2（r＝－2 舍去）．

答：

这个圆的半径为.

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方法总结：

把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计

算，体现了转化思想．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 9 题

三、板书设计

本节课学习

了二次根式的乘法和积的算术 xx 的性质，两者是可逆的，它们成立

的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学

习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进

行二次根式的乘法运算

第 2 课时

二次根式的除法

1．会利用商的算术 xx 的性质化简二次根式；（重点，难点）

2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算； （重点、

难点）

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3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．（重点）

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律？

（1）＝________；＝________．

（2）＝________；＝________．

________；________.

二、合作探究

探究点一：

二次根式的除法

计算：

（1）；

（2）；（3）；

（4）÷（－）（a＞0，b>0）．

解析：

（1）直接把被开方数相除；

（2）把系数与系数相除，被开方

数与被开方数相除；（3）被开方数相除时，注意约分；（4）系数相除时，

把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术 xx 的形式，再

化简．

解：

（1）＝＝＝；

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（2）＝＝＝；

（3）＝＝＝；

（4）÷（－）

＝×（－）＝－＝－.

方法总结：

①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，

当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，

根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；

③二次根式的除法运算还可以与商的算术 xx 的性质结合起来，灵活

选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题

探究点二：

最简二次根式

下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.B.

C.D.

解析：

A 选项中含能开得尽方的因数 4，不是最简二次根式；B

选项是最简二次根式；C 选项中含有分母，不是最简二次根式；D 选

项中被开方数用提公因式法因式分解后得 a2＋a2b＝a2（1＋b）含能开

得尽方的因数 a2，不是最简二次根式．故选 B.

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方法总结：

最简二次根式必须同时满足下列两个条件：

①被开方

数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个

二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的

两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题

探究点三：

商的算术 xx 的性质

【类型一】 利用商的算术 xx 的性质确定字母的取值

若＝，则 a 的取值范围是（）

A．a＜2B．a≤2

C．0≤a＜2D．a≥0

解析：

根据题意得解得 0≤a＜2.故选 C.

方法总结：

运用商的算术 xx 的性质：

＝（a＞0，b≥0），必须注

意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．

【类型二】 利用商的算术 xx 的性质化简二次根式

化简：

（1）；

（2）（a＞0，b＞0，c＞0）．

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解析：

按商的算术 xx 的性质，用分子的算术 xx 除以分母的算术

xx．

解：

（1）＝＝＝；

（2）＝＝.

方法总结：

被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分

母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 8 题

探究点四：

二次根式除法的应用

已知某长方体的体积为 30cm3，长为 cm，宽为 cm，求长方体的

高．

解析：

因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体

的体积÷（长×宽）”，代入计算即可．

解：

长方体的高为

30÷（×）＝30＝30＝（cm）．

方法总结：

本题也可以设高为 x，根据长方体体积公式建立方程

求解．

三、板书设计

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二次根式的

除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学

生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习

难度，提高学习效率

第 1 课时

二次根式的加减

1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次

根式的加减法则；

2．掌握二次根式的加减运算．（重点、难点）

一、情境导入

计算：

（1）2x－5x；

（2）3a2－a2＋2a2.

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上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的 x 换成，a2 换

成，这时上述两小题就成为如下题目：

计算：

（1）2－5；

（2）3－＋2.

这时怎样计算呢？

二、合作探究

探究点一：

同类二次根式

下列二次根式中与是同类二次根式的是（）

A.B.

C.D.

解析：

选项 Axx，＝2 与被开方数不同，故与不是同类二次根式；

选项 Bxx，＝与被开方数不同，故与不是同类二次根式；选项 Cxx，

＝与被开方数不同，故与不是同类二次根式；选项 Dxx，＝3 与被开

方数相同，故与是同类二次根式．故选 D.

方法总结：

要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次

根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，

这样的二次根式就是同类二次根式．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 1 题

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探究点二：

二次根式的加减

【类型一】 二次根式的加法或减法

（1）＋；

（2）＋；

（3）4－3；（4）18－.

解析：

先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式

合并．

解：

（1）原式＝2＋4＝（2＋4）＝6；

（2）原式＝＋＝（＋）＝；

（3）原式＝16－15＝（16－15）＝；

（4）原式＝3－6＝（3－6）＝－3.

方法总结：

二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同

类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题

【类型二】 二次根式的加减混合运算

计算：

（1）－－；

（2）－3＋3x；

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（3）3－＋2－；

（4）－2－（－）．

解析：

先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式

合并．

解：

（1）原式＝2－－＝0；

（2）原式＝3－＋3＝5；

（3）原式＝－3＋4－＝；

（4）原式＝－－＋5＝＋.

方法总结：

二次根式的加减混合运算步骤：

①把每个二次根式化

为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一

起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题

【类型三】 二次根式加减法的应用

一个三角形的周长是（2＋3）cm，其中两边长分别是（＋）cm，（3

－2）cm，求第三边长．

解析：

第三边长等于（2＋3）－（＋）－（3－2），再去括号，合并同

类二次根式．

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解：

第三边长是（2＋3）－（＋）－（3－2）＝2＋3－－－3＋2＝4－

2（cm）．

方法总结：

由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两

边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二

次根式的加减混合运算．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 4 题

三、板书设计

通过合并同

类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出

二次根式加减运算的两个关键步骤：

①把每个二次根式化为最简二次

根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的

（

良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透 类比），培养学生

良好的思维品质

第 2 课时

二次根式的混合运算

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1．了解二次根式的混合运算顺序；

2．会进行二次根式的混合运算．（重点、难点）

一、情境导入

如果梯形的上、下底边长分别为 2cm，4cm，高为 cm，那么它的

面积是多少？

xx 是这样算的：

梯形的面积：

（2＋4）×＝（＋2）×＝×＋2×＝＋ 2＝2＋6（cm2） ．

他的做法正确的吗？

二、合作探究

探究点一：

二次根式的混合运算

【类型一】 二次根式的混合运算

计算：

（1）÷－×＋；

（2）÷×－.

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解析：

（1）先算乘除，再算加减；

（2）先计算第一部分，把除法转

化为乘法，再化简．

解：

（1）原式＝－＋＝4－＋2＝4＋；

（2）原式＝×－5＝×－5＝×－5＝－5＝－.

方法总结：

二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘

方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 8 题

【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算

计算：

（1）（＋）（－）；

（2）（3－2）2－（3＋2）2.

解析：

（1）用平方差公式计算；

（2）逆用平方差公式计算．

解：

（1）（＋）（－）＝（）2－（）2＝5－3＝2；

（2）（3－2）2－（3＋2）2＝（3－2＋3＋2）（3－2－3－2）＝－24.

方法总结：

多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，

计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．

变式训练：

见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 7 题

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【类型三】 二次根式的化简求值

先化简，再求值：

＋（x>0，y>0），其中 x＝＋1，y＝－1.

解析：

首先根据约分的方法