数学理卷届山西省吕梁市高三第一次模拟考试01.docx
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数学理卷届山西省吕梁市高三第一次模拟考试01
吕梁市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,,则()
A.B.C.D.
2.已知复数,则()
A.B.C.D.
3.若,,则的值为()
A.B.C.D.
4.如图,在矩形区域的两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常),若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号地概率是()
A.B.C.D.
5.已知一几何体地三视图如图所示,则该几何体地体积为()
A.B.C.D.
6.世界数学名题“问题”:
任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2,如果它是奇数,我们就把它乘3再加上1,在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数,如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,猜想:
反复进行上述运算后,最后结果为1,现根据此问题设计一个程序框图如下图,执行该程序框图,若输入的,则输出()
A.3B.5C.6D.7
7.已知函数的部分图像如图所示,则函数图像的一个对称中心可能为()
A.B.C.D.
8.函数的大致图像为()
A.B.
C.D.
9.已知点在同一个球的球面上,,,若四面体的体积为,球心恰好在棱上,则这个球的表面积为()
A.B.C.D.
10.为双曲线右焦点,为双曲线上的点,四边形为平行四边形,且四边形的面积为,则双曲线的离心率为()
A.2B.C.D.
11.已知不等式组表示的平面区域恰好被圆所覆盖,则实数的值是()
A.3B.4C.5D.6
12.已知是方程的实根,则关于实数的判断正确的是()
A.B.C.D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.展开式中含项的系数为.(用数字表示)
14.已知,,若向量与共线,则在方向上的投影为.
15.在中,角的对边分别为,,且,的面积为,则的值为.
16.如图所示,点是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设为数列的前项和,且,,.
(1)证明:
数列为等比数列;
(2)求.
18.如图所示的几何体中,底面为菱形,,,与相交于点,四边形为直角梯形,,,,平面底面.
(1)证明:
平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
19.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与,志愿者的工作内容有两项:
①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物,每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作,相关统计数据如下表所示:
(1)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量的分布列及其数学期望.
20.已知椭圆的长轴长为6,且椭圆与圆的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点,试判断在轴上是否存在点,使得为以为底边的等腰三角形,若存在,求出点的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.已知函数.
(1)当时,试求的单调区间;
(2)若在内有极值,试求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线:
,直线(为参数,).
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线交于两点(在第一象限),当时,求的值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若函数的最小值记为,设,且有,试证明:
.
试卷答案
一、选择题:
本题共12个小题,每小题5分
1---5CCAAC6---10CCDDB11-12DC
1.C.
【解析】:
选C.
2.C.
【解析】:
故选C.
3.A.
【解析】:
故选A.
4.A几何概型
5C.【解析】:
由三视图可知:
该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的组成的,故选C.
6.【答案】C.
7.答案C.
【解析】:
由题知A=2,,,再把点代入可得可得,
故选C.
8.D
【解析】:
由函数不是偶函数,排除A、C,当时,为单调递增函数,而外层函数也是增函数,所以在上为增函数。
故选D.
9.D
【解析】:
根据条件可知球心O在侧棱DA中点,从而有AC垂直CD,AD=4,所以球的半径为2,故球的表面积为.
10.B
【解析】:
设,∵四边形为平行四边形,∴,∵四边形的面积为,∴,即,∴,代入双曲线方程得,∵,∴.选B.
11.D
【解析】:
由于圆心在直线上,又由于直线与直线互相垂直其交点为,直线与的交点为.由于可行域恰好被圆所覆盖,及三角形为圆的内接三角形圆的半径为,解得或(舍去).故选D.
12C
【解析】:
方程即为即
令f(x)=xex,则f'(x)=ex(x+1)>0,函数f(x)在定义域内单调递增,结合函数的单调性有:
故选C
第Ⅱ卷
13.0
【解析】:
展开式中含项的系数为,含项的系数为,所以
展开式中含项的系数为10-10=0.
14答案【解析】:
由题知,所以投影为
15答案4【解析】:
,由正弦定理cosA=,A=
a=8,由余弦定理可得:
64=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,又因为ABC面积=bcsinA=
=bc,bc=16,b+c=4
16.
【解析】:
易知圆的圆心为(2,0),正好是抛物线的焦点,圆与抛物线在第一象限交于点C(2,4),过点A作抛物线准线的垂线,垂足为点D,则AF=AD,则AF+AB=AD+AB=BD,当点B位于圆与x轴的交点(6,0)时,BD取最大值8,由于点B在实线上运动,因此当点B与点C重合时,BD取最小值4,此时A与B重合,由于F、A、B构成三角形,因此4 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.【解析】: (Ⅰ)因为, 所以, 即,则, 所以, 又, 故数列是首项为2,公比为2的等比数列. (Ⅱ)由 (1)知, 所以, 故. 设, 则, 所以, 所以, 所以. 18.【解析】: (Ⅰ)因为底面为菱形,所以, 又平面底面,平面平面, 因此平面,从而. 又,所以平面, 由,,, 可知,, ,, 从而,故. 又,所以平面. 又平面,所以平面平面. (Ⅱ)取中点,由题可知,所以平面,又在菱形中,,所以分别以,,的方向为,,轴正方向建立空间直角坐标系(如图示), 则,,,,, 所以,,. 由 (1)可知平面,所以平面的法向量可取为. 设平面的法向量为, 则即即令,得, 所以. 从而. 故所求的二面角的余弦值为. 19.【解析】: (Ⅰ)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以,参与到班级宣传的志愿者被抽中的有人, 参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有人, 故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是 (Ⅱ)女生志愿者人数 则 ∴的分布列为 0 1 2 ∴的数学期望为 20.【解析】: (Ⅰ)由题意可得,所以. 由椭圆与圆: 的公共弦长为,恰为圆的直径, 可得椭圆经过点,所以,解得. 所以椭圆的方程为. (Ⅱ)直线的解析式为,设,的中点为.假设存在点, 使得为以为底边的等腰三角形,则.由得, 故, 所以,. 因为,所以, 即,所以. 当时,,所以. 综上所述,在轴上存在满足题目条件的点,且点的横坐标的取值范围为. 21.【解析】: (Ⅰ) , . 当时,对于,恒成立, 所以⇒;⇒0. 所以单调增区间为,单调减区间为. (Ⅱ)若在内有极值,则在内有解. 令⇒⇒. 设, 所以,当时,恒成立, 所以单调递减. 又因为,又当时,, 即在上的值域为, 所以当时,有解. 设,则, 所以在单调递减. 因为,, 所以在有唯一解. 所以有: 0 0 极小值 所以当时,在内有极值且唯一. 当时,当时,恒成立,单调递增,不成立. 综上,的取值范围为. 22.选修4—4: 坐标系与参数方程 【解析】: (Ⅰ)由,得, 所以曲线C的直角坐标方程为; 【方法二】: 设,则,,, ,∴. 23.选修4-5: 不等式选讲.(本小题满分10分) 【解析】: (1)因为 从图可知满足不等式的解集为. (2)证明: 由图可知函数的最小值为,即. 所以,从而, 从而. 当且仅当时,等号成立, 即,时,有最小值, 所以得证.
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