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大学力学专业经典考试题
质点运动学
1.1一质点沿直线运动,运动方程为x(t)=6t2-2t3.试求:
〔1〕第2s的位移和平均速度;
〔2〕1s末及2s末的瞬时速度,第2s的路程;
〔3〕1s末的瞬时加速度和第2s的平均加速度.
1.2一质点作匀加速直线运动,在t=10s走过路程s=30m,而其速度增为n=5倍.试证加速度为
,并由上述数据求出量值.
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳,准确地落在坑的东边.东边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g=10m·s-2.问:
70m
22.5º
图1.3
〔1〕矿坑有多宽?
他飞越的时间多长?
〔2〕他在东边落地时的速度?
速度与水平面的夹角?
1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt=-kv2,k为常数.
〔1〕试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为
;
〔2〕试证在时间t,船行驶的距离为
.
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置〔以弧度表示〕可用公式表示:
θ=2+4t3.求:
〔1〕t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
〔2〕当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值?
〔3〕在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
1.6一飞机在铅直面飞行,某时刻飞机的速度为v=300m·s-1,方向与水平线夹角为30°而斜向下,此后飞机的加速度为a=20
m·s-2,方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又
y
x
O
α
v0
θ
a
ax
ay
v0x
v0y
回到原来的高度?
在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开场匀加速地下降,在Δt=2.0s下降的距离h=0.4m.求
R
A
图1.7
物体开场下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
〔1〕螺帽从天花板落到底面所需的时间;
〔2〕螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
1.10如下图,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为v1,下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ,偏向于汽车前进方向,速度为v2.今在车后放一长方形物体,问车速v1为多大时此物体刚好不会被
v1
h
l
v2
θ
图1.10
雨水淋湿?
运动定律与力学中的守恒定律
(一)牛顿运动定律
2.1一个重量为P的质点,在光滑的固定斜面〔倾角为α〕上以初速度
运动,
的方向与斜面底边的水平约AB平行,如下图,求这质点的运动轨道.
α
A
B
v0
P
图2.1
2.2桌上有一质量M=1kg的平板,板上放一质量m=2kg的另一物体,设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk=0.25,静摩擦因素为μs=0.30.求:
〔1〕今以水平力
拉板,使两者一起以a=1m·s-2的加速度运动,试计算物体与板、与桌面间的相
Nm
fm
NM
fM
a
互作用力;
〔2〕要将板从物体下面抽出,至少需要多大的力?
2.5如下图,质量为m的摆悬于架上,架固定于小车上,在下述各种情况中,求摆线的方向〔即
图2.5
摆线与竖直线的夹角θ〕及线中的力T.
〔1〕小车沿水平线作匀速运动;
〔2〕小车以加速度
沿水平方向运动;
〔3〕小车自由地从倾斜平面上滑下,斜面与水平面成φ角;
〔4〕用与斜面平行的加速度
把小车沿斜面往上推〔设b1=b〕;
〔5〕以同样大小的加速度
〔b2=b〕,将小车从斜面上推下来.
l
m
θ
B
C
O
图2.6
2.6如下图:
质量为m=0.10kg的小球,拴在长度l=0.5m的轻绳子的一端,构成一个摆.摆动时,与竖直线的最大夹角为60°.求:
〔1〕小球通过竖直位置时的速度为多少?
此时绳的力多大?
〔2〕在θ<60°的任一位置时,求小球速度v与θ的关系式.这时小球的加速度为多大?
绳中的力多大?
〔3〕在θ=60°时,小球的加速度多大?
绳的力有多大?
h
θ
m
N
mg
图2.7
2.7小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时,它的速率多大?
〔要求用牛顿第二定律积分求解〕
2.8质量为m的物体,最初静止于x0,在力
(k为常数)作用下沿直线运动.证明物体在x处的速度大小v=[2k(1/x–1/x0)/m]1/2.
2.9一质量为m的小球以速率v0从地面开场竖直向上运动.在运动过程中,小球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系数为k.求:
〔1〕小球速率随时间的变化关系v(t);
〔2〕小球上升到最大高度所花的时间T.
2.10如下图:
光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带,半径为R.一物体帖着环带侧运动,物体与环带间的滑动摩擦因数为μk.设物体在某时刻经A点时速率为v0,求此后时刻t物体的速率以及
A
R
v0
图2.10
从A点开场所经过的路程.
2.11如下图,一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今逐渐增大圆环的转动角速度ω,试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.以珠子所停处的半径与竖直
m
R
ω
θ
r
mg
图2.11
直径的夹角θ表示.
(二)力学中的守恒定律
2.13一个质量m=50g,以速率的v=20m·s-1作匀速圆周运动的小球,在1/4周期向心力给予小
m
R
p1
p2
Δp
p1
球的冲量等于多少?
2.14用棒打击质量0.3kg,速率等于20m·s-1的水平飞来的球,球飞到竖直上方10m的高度.求棒
vx
Δv
vy
给予球的冲量多大?
设球与棒的接触时间为0.02s,求球受到的平均冲力?
2.15如下图,三个物体A、B、C,每个质量都为M,B和C靠在一起,放在光滑水平桌面上,两者连有一段长度为0.4m的细绳,首先放松.B的另一侧那么连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连.滑轮轴上的摩擦也可忽略,绳子长度一定.问A和B起动后,经多长时间C也开场运动?
C开场运动时的速度是多少?
〔取g=10m·s-2〕
C
B
A
图2.15
2.16一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后,在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块,一块沿此45°仰角上飞,一块沿45°俯角下冲,求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少?
v0
θ
v
v`
v`
45°
2.17如下图,一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动,这圆弧路面的半径为R.设马对雪橇的拉力总是平行于路面.雪橇的质量为m,它与路面的滑动摩擦因数为μk.当把雪橇由底端拉上45°圆弧时,马对雪橇做了多少功?
重力和摩擦力各做了多少功?
R
45°
mg
N
θ
F
f
ds
图2.17
2.18一质量为m的质点拴在细绳的一端,绳的另一端固定,此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动.设质点最初的速率是v0,当它运动1周时,其速率变为v0/2,求:
〔1〕摩擦力所做的功;
〔2〕滑动摩擦因数;
〔3〕在静止以前质点运动了多少圈?
θ=45°
A
B
s=3m
图2.19
2.19如下图,物体A的质量m=0.5kg,静止于光滑斜面上.它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s=3m.弹簧的倔强系数k=400N·m-1.斜面倾角为45°.求当物体A由静止下滑时,能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大?
2.20一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞.如果碰撞不是对心的,试证明:
碰撞后
p1
p2
θ
p0
两小球的运动方向彼此垂直.
2.21如下图,质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端,绳的另一端O固定.把绳拉到水平位置后,再把它由静止释放,球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞,求碰撞后钢球继续运动能到达的最大高度.
l=0.8m
m2
m1
O
图2.21
2.22一质量为m的物体,从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下,设圆弧形槽的半径为R,角为π/2,如下图,所有摩擦都忽略,求:
m
M
A
B
R
v
V
图2.22
〔1〕物体刚离开槽底端时,物体和槽的速度各是多少?
〔2〕在物体从A滑到B的过程中,物体对槽所做的功W;
〔3〕物体到达B时对槽的压力.
[
2.23在实验室观察到相距很远的一个质子〔质量为mp〕和一个氦核〔质量为4mp〕沿一直线相向运动;速率都是v0,求两者能到达的最近距
l
θ
m
图2.24
离。
2.24如下图,有一个在竖直平面上摆动的单摆.问:
〔1〕摆球对悬挂点的角动量守恒吗?
〔2〕求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向,对于不同的时刻,角动量的方向会改变吗?
〔3〕计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率.
2.25证明行星在轨道上运动的总能量为
.式中M和m分别为太阳和行星的质量,r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离.
r1
r2
v1
v2
〔三〕刚体定轴转动
2.26质量为M的空心圆柱体,质量均匀分布,其外半径为R1和R2,求对通过其中心轴的转动惯量.
R1
R2
O
O`
H
图2.26
2.28一半圆形细杆,半径为R,质量为M,求对过细杆二端AA`轴的转动惯量.
θ
A
A`
R
图2.28
半圆绕AA`轴的转动惯量为
2.29如下图,在质量为M,半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔.圆孔中心在圆盘半径的中点.求剩余局部对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.
O
r
R
r
图2.29
[
2.30飞轮质量m=60kg,半径R=0.25m,绕水平中心轴O转动,转速为900r·min-1.现利用一制动用的轻质闸瓦,在剖杆一端加竖直方向的制动力
,可使飞轮减速.闸杆尺寸如下图,闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.
〔1〕设F=100N,问可使飞轮在多长时间停顿转动?
这段时间飞轮转了多少转?
〔2〕假设要在2s使飞轮转速减为一半,需加多大的制动力F?
O
0.50
F
0.75
图2.30
2.31一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘,以恒力F=98N拉绳,如图〔a〕所示.飞轮的转动惯量I=0.5kg·m2,轴承无摩擦.求
F=98N
P=98N
m
(a)
(b)
图2.31
〔1〕飞轮的角加速度.
〔2〕绳子拉下5m时,飞轮的角速度和动能.
〔3〕将重力P=98N的物体挂在绳端,如图〔b〕所示,再求上面的结果.
2.32质量为m,半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动,如下图.盘与水平面的摩擦因数为μ,圆盘从初角速度为ω0到停顿转动,共转了多
R
ω0
O
图2.32
少圈?
2.33一个轻质弹簧的倔强系数为k=2.0N·m-1.它的一端固定,另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1=80g的物体相连,如下图.定滑轮可看作均匀圆盘,它的半径为r=0.05m,质量为m=100g.先用手托住物体m1,使弹簧处于其自然长度,然后松手.求物体m1下降h=0.5m时的速度多大?
忽略滑轮轴上的摩擦,并认为绳在滑轮边上不打滑.
m1
m1
m
h
r
图2.33
2.34均质圆轮A的质量为M1,半径为R1,以角速度ω绕OA杆的A端转动,此时,将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上,B轮的半径为R2.B轮原来静止,但可绕其几何中心轴自由转动.放置后,A轮的重量由B轮支持.略去轴承的摩擦与杆OA的重量,并设两轮间的摩擦因素
为
O
A
R1
R2
B
μ,问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止,需要经过多长时间?
2.35均质矩形薄板绕竖直边转动,初始角速度为ω0,转动时受到空气的阻力.阻力垂直于板面,每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比,比例常数为k.试计算经过多少时间,薄板角速度减为原来的一半.设薄板竖直边长为b,宽为a,薄板质量为m.
a
r
b
dS
r
O
图2.35
2.36一个质量为M,半径为R并以角速度ω旋转的飞轮〔可看作匀质圆盘〕,在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出,如下图.假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.
〔1〕问它能上升多高?
〔2〕求余下局部的角速度、角动量和转动动能.
ω
R
图2.36
2.37两滑冰运发动,在相距1.5m的两平行线上相向而行,两人质量分别为mA=60kg,mB=70kg,它们速率分别为vA=7m·s-1,vB=6m·s-1,当两者最接近时,便函拉起手来,开场绕质心作圆周运动,并保持二者的距离为1.5m.求该瞬时:
vB
r
vA
mA
mB
rA
rB
〔1〕系统对通过质心的竖直轴的总角动量;
〔2〕系统的角速度;
〔3〕两人拉手前、后的总动能.这一过程中能量是否守恒?
机械振动
4.1一物体沿x轴做简谐振动,振幅A=0.12m,周期T=2s.当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运动.求:
〔1〕此简谐振动的表达式;
〔2〕t=T/4时物体的位置、速度和加速度;
〔3〕物体从x=-0.06m,向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间.
4.2一简谐振子的振动曲线如下图,试由图求:
〔1〕a,b,c,d,e各点的位相,及到达这些状态的时刻t各是多
O
t
x
a
b
c
d
e
A/2
A
图4.2
少?
周期为T;
〔2〕振动表达式;
〔3〕画出旋转矢量图.
4.3有一弹簧,当其下端挂一质量为M的物体时,伸长量为9.8×10-2m.假设使物体上下振动,且规定向下为正方向.
〔1〕t=0时,物体在平衡位置上方8.0×10-2m处,由静止开场向下运动,求运动方程;
〔2〕t=0时,物体在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上运动,求运动方程.
4.4质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统,按
的规律作振动,式中t以秒(s)计,x以米(m)计.求:
〔1〕振动的圆频率、周期、振幅、初位相;
〔2〕振动的速度、加速度的最大值;
〔3〕最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能;
〔4〕画出这振动的旋转矢量图,并在图上指明t为1,2,10s等各时刻的矢量位置.
4.5两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动.在振动过程中,每当它们经过振幅一半的地方时相遇,而运动方向相反.求它们的位相差,并作旋转矢量图表示.
4.6一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动.氢原子质量m=1.68×10-27kg,振动频率v=1.0×1014Hz,振幅A=1.0×10-11m.试计算:
〔1〕此氢原子的最大速度;
〔2〕与此振动相联系的能量.
4.7如下图,在一平板下装有弹簧,平板上放一质量为1.0kg的重物,假设使
图4.7
平板在竖直方向上作上下简谐振动,周期为0.50s,振幅为2.0×10-2m,求:
〔1〕平板到最低点时,重物对平板的作用力;
〔2〕假设频率不变,那么平板以多大的振幅振动时,重物跳离平板?
〔3〕假设振幅不变,那么平板以多大的频率振动时,重物跳离平板?
k
M
m
v
图4.9
4.9如下图,质量为10g的子弹以速度v=103m·s-1水平射入木块,并陷入木块中,使弹簧压缩而作简谐振动.设弹簧的倔强系数
k=8×103N·m-1,木块的质量为4.99kg,不计桌面摩擦,试求:
〔1〕振动的振幅;
〔2〕振动方程.
4.11装置如下图,轻弹簧一端固定,另一端与物体m间用细绳
M
k
T1
T2
R
m
mg
X
O
图4.11
相连,细绳跨于桌边定滑轮M上,m悬于细绳下端.弹簧的倔强系数为k=50N·m-1,滑轮的转动惯量J=0.02kg·m2,半径R=0.2m,物体质量为m=1.5kg,取g=10m·s-2.
〔1〕试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的力;
〔2〕将物体m用手托起0.15m,再突然放手,任物体m下落而整个系统进入振动状态.设绳子长度一定,绳子与滑轮间不打滑,滑轮轴承无摩擦,试证物体m是做简谐振动;
〔3〕确定物体m的振动周期;
〔4〕取物体m的平衡位置为原点,OX轴竖直向下,设振物体m相对于平衡位置的位移为x,写出振动方程.
4.12一匀质细圆环质量为m,半径为R,绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面
C
R
mg
θ
O
作小幅度摆动,求摆动的周期.
4.13重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂,如下图,各弹簧的倔强系数标明在图上.试求在图
k1
k2
k
k
(a)
(b)
图4.13
示两种情况下,系统沿竖直方向振动的固有频率.
4.14质量为0.25kg的物体,在弹性力作用下作简谐振动,倔强系数k=25N·m-1,如果开场振动时具有势能0.6J,和动能0.2J,求:
〔1〕振幅;〔2〕位移多大时,动能恰等于势能?
〔3〕经过平衡位置时的速度.
4.15两个频率和振幅都一样的简谐振动的x-t曲线如下图,求:
〔1〕两个简谐振动的位相差;
t/s
x/cm
5
0
1
2
3
4
-5
x1
x2
图4.15
〔2〕两个简谐振动的合成振动的振动方程.
4.16两个同方向简谐振动如下:
,
.
〔1〕求它们的合成振动的振幅和初位相;
〔2〕另有一同方向简谐振动x3=0.07cos(10t+φ),问φ为何值时,x1+x3的振幅为最大?
φ为何值时,x2+x3的振幅为最小?
〔3〕用旋转矢量图示法表示〔1〕和〔2〕两种情况下的结果.x以米计,t以秒计.
4.17质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动:
,
.式中x和y以米(m)计,t以秒(s)计.
〔1〕求运动的轨道方程;
〔2〕画出合成振动的轨迹;
〔3〕求质点在任一位置所受的力.
4.18将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成,测得拍频为3.0Hz,在待测
ν
ν0
ν1
ν2
ν`1
ν`2
Δν
Δν
音叉的一端加上一小块物体,那么拍频将减小,求待测音叉的固有频率.
4.20三个同方向、同频率的简谐振动为
,
,
.
求:
〔1〕合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式;
〔2〕合振动由初始位置运动到
所需最短时间〔A为合振动振幅〕.
机械波
5.1一波的波动方程为y=5×10-2sin(10πt–0.6x)(m).
〔1〕求波长、频率、波速及传播方向;
〔2〕说明x=0时波动方程的意义,并作图表示.
t/s
y/cm
5
0
0.1
0.2
0.3
5.2一平面简谐波在媒质中以速度为u=0.2m·s-1沿x轴正向传播,波线上A点〔xA=0.05m〕的振动方程为
(m).试求:
〔1〕简谐波的波动方程;〔2〕x=-0.05m处质点P处的振动方程.
5.3平面波波源的振动表达式为
(m).求距波源5m处质点的振动方程和该质点与波源的位相差.设波速为2m·s-1.
5.4有一沿x轴正向传播的平面波,其波速为u=1m·s-1,波长λ=0.04m,振幅A=0.03m.假设以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开场时刻,试求:
〔1〕此平面波的波动方程;
〔2〕与波源相距x=0.01m处质点的振动方程,该点初相是多少?
5.5一列简谐波沿x轴正向传播,在t1=0s,t2=0.25s时刻的波形如下图.试求:
x/m
y/m
0.2
O
t1=0
0.45
t2=0.25
P
图5.5
〔1〕P点的振动表达式;
〔2〕波动方程;
〔3〕画出O点的振动曲线.
5.6如下图为一列沿x负向传播的平面谐波在t=T/4时的波形图,振幅A、波长λ以及周期T均.
x
y
A
O
b
a
u
图5.6
〔1〕写出该波的波动方程;
〔2〕画出x=λ/2处质点的振动曲线;
〔3〕图中波线上a和b两点的位相差φa–φb为多少?
5.7波的波动方程为y=Acosπ(4t
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