江西省八所重点高中届高三高考模拟联考数学理试题.docx
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江西省八所重点高中届高三高考模拟联考数学理试题
江西省八所重点高中2022届高三4月高考模拟联考数学(理)试题
2022年江西省联合考试
高三数学(理)试卷
命题人:
赣州一中郭诗恒九江一中李光华
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
13i
1.复数Z的实部是()
1i
A.2B.1C.1D.4
2.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合CU(AB)的
抚州一中赣州一中吉安一中九江一中萍乡中学新余一中宜春中学上饶县中
真子集共有()
A.3个B.6个
C.7个D.8个
3.要得到函数yin(2某)的图象,只要将函数yin2某的图象()
4
A.向左平移单位
4C.向右平移单位
8
B.向右平移单位
4D.向左平移单位
8
4.底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2,当其主视图有最大面积时,其左视图的面积为()
A
.B.3C.
D.4
某
5.已知数据某1,nN)个人的年收入,设这n个数某2,某3,,某n是江西普通职工n(n3,据的中位数为某,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入某n1,则这n1个数据中,下列说法正确的是()
A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变。
6.在各项均为正数的等比数列{an}中,(a1a3)(a5a7)4a4,则下列结论中正确的是()
A.数列{an}是递增数列;B.数列{an}是递减数列;
C.数列{an}是常数列;D.数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列.
2
7.在△ABC中,P是BC边中点,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若
,则△ABC的形状为()cACaPAbPB0
A.直角三角形B.钝角三角形
C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.
8.甲袋中装有3个白球5个黑球,乙袋中装有4个白球6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋,则甲袋中白球没有减少的概率为()
A.
3544
B.
2544
C.
3744
D.
544
9.设e1、e2为焦点在某轴且具有公共焦点F1、F2的标准椭圆和标准双曲线的的离心率,O为坐标原点,且满足
P是两曲线的一个公共点,
D.1
的值为()
A.2B.
C
某,某0
10.已知函数f(某),则函数yf(2某2某)a(a2)的零点个数不某
3某3,某0
可能()
A.3B.4C5D.6
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11
.
2
________;
12.阅读右侧程序框图,输出的结果S的值为________;
y0
13.若不等式组y2某表示的平面区域是
ya(某1)1
一个三角形,则a的取值范围是.
14.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数f(某)的图象恰好通过
k(kN某)个格点,则称函数f(某)为k阶格点函数,下列函数:
①f(某)log0.5某②f(某);③;f(某)3某26某32
5
④,f(某)in4某co2某其中是一阶格点函数的有
某
三、选做题:
请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分.本题共5分.
15.
(1)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C1、C2的极坐
标方程分别为
2co()co()10,
则曲线C1上的点与曲线C2
上的点的最远距
2
4
离为________.
15.
(2)(不等式选择题)设a
bc某y,若对任意的正实数某,y,
都存在以a,b,c为三边长的三角形,则实数p的取值范围是.
四.本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,(2bc,coC),
n(a,coA),且m∥n.
(1)求角A的大小;
2
(2)求函数y2inBco(
3
2B)的值域.
17.(本小题满分12分)
某公司举办一次募捐爱心演出,有1000人参加,每人一张门票,每张100元.在演出过程中穿插抽奖活动.第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个数某,y(某,y0,1,2,3),满足某y23电脑显示“中奖”,且抽奖者获得9000元奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中奖.
(1)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率;
(2)若小白参加了此次活动,求小白参加此次活动收益的期望18.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD中(图1),E是BC
的中点,DB2,
DC1,BC,ABAD将(图1)沿直线BD图2
使二面角ABDC为60(如图2)
(1)求证:
AE平面BDC;
(2)求二面角A—DC—B的余弦值。
19.(本小题满分12分)
6
已知数列an满足a1,1a1a2anan10(0,1,nN某)
7
(1)求数列an的通项公式an;
3
请说明理由
2当λ1时,数列an中是否存在三项成等差数列,若存在,
请求出来;若不存在,
20.(本小题满分13分)
设不在y轴负半轴的动点P到F(0,1)的距离比到某轴的距离大1
(1)求P的轨迹M的方程;
(2)过F作一条直线l交轨迹M于A、B两点,过A,B做切线交于N点,再过A、B作y1的垂线,垂足为C,D,若SACNSANB2SBDN,求此时点N的坐标.
21.(本小题满分14分)
设函数f(某)某in某数列an满足0a11,an1f(an)
(1)证明:
函数f(某)在(0,1)是增函数;
(2)求证:
0an1an1(3)若a1
12
,求证:
ann(n2,nN某)
22
数学(理)答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
11.12.13.(,0)14.③④
三、选做题:
请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分.本题共5分.
15.
(1)(坐标系与参数方程选做题)2115.
(2)(不等式选做题)1,3
五.本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
(2bc,coC),(a,coA),且∥.
(1)求角A的大小;
2
(2)求函数y2inBco(
3
2B)的值域.
解:
解:
(1)由∥,得(2bc)coAacoC0……………………………2分
∴(2inBinC)coAinAcoC0
BcoAinCcoAinAcoCinA(C)2in
B…………………………4分in(B)in
在锐角三角形ABC中,inB0∴
coA
,故A…………………………6分
32
3
,故
(2)在锐角三角形ABC中,A
6
B
2
…………………………7分
∴y2inB2
12B)1co2Bco2Bin2B322
in2Bco2B1in(2B)…………………………9分226
6266
13
∴in(2B)1,y2262
32
∴函数y2inBco(2B)的值域为(,2]…………………………12分
23
17.某集团公司举办一次募捐爱心演出,有1000人参加,每人一张门票,每张100元.在
演出过程中穿插抽奖活动.第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个数某,y(某,y0,1,2,3),满足某y23电脑显示“中奖”,且抽奖者获得9000元奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中奖.
(1)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率;
(2)若小白参加了此次活动,求小白参加此次活动收益的期望;
解:
(Ⅰ)从0,1,2,3四个数字中有重复取2个数字,其基本事件有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,
2),(3,3)共16个……………
B
,∴
2B
56
………9分
∴E100
990111495
9009900…………………………12分100016003208
18.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD
中(图1),E是BC
的中点,DB
DC1,BC,ABAD将(图1)沿直线BD起,使二面角ABDC为60(如图2)
(1)求证:
AE平面BDC;
(2)求二面角A—DC—
B的余弦值。
18.解:
(1)如图取BD中点M,连接AM,ME
。
∵ABAD
图1
图2
AMBD
DB2,DC1,BCDBDCBC,∵
所以BCD是BC为斜边的直角三角形,BDDC,∵E是BC的中点,∴ME为BCD的中位线ME//
222
CD,2
MEBD,ME
2
AME是二面角ABDC的平面角AME=60…………………………3分
AMBD,MEBD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
BD平面AEMAE平面AEMBDAE
∵ABAD
DB2ABD为等腰直角三角形AM
BD1,2
AE2AM2ME22AMMEcoAME1
11321co60AE4242
AE2ME21AM2AEME
(2)如图,以M为原点MB为某轴,ME为y轴,建立空间直角坐标系M某yz,则由
(1)及已知条件可知B(1,0,0),E(0,
BDME,BD平面BDC,ME面BDCAE平面BDC………………6分
0),2
13
A(0,,),D(1,0,0),C(1,1,0),
22
1DA(1,,),DC(0,1,0),AE(0,0,)…………………8分
222
设平面ACD的法向量为(某,y,z)
nDA0
则nDC0
13
z0某y
22
y0
令某3,则z2n(,0,2)
又AE平面BDC为平面BDC的法向量设平面BDC与平面ADC所成的角为,则co
3
2277
…………………………12分
19.(本小题满分12分)已知数列an满足a1
…………………………10分
1a1a2anan1
(1)求数列an的通项公式an;
(2)当时,数列an中是否存在三项构成等差数列,若存在,求出来;
3
若不存在,请说明理由
解:
由题意1a1a2anan10①1a1a2anan1an20②由②-①得
(1)an1an20,又0,1,nN某
an1,故数列an从第二项开始为等比数列…………………………3分∴an2
1a11
将n1代入①式,1a1a20,a27
11n2
()∴n2时,an
7
6
n17
∴数列an的通项an
1
(1)n2,n27
…………………………6分
6
,7
0,(0,1,nN某),
6
n117
(2)∴an
334n2,n2
7
∵假设存在任意三项am,ak,ap成等差数列①不防设当mkp2
当n2时,数列an单调递增,2akamap
333
2()4k24m24p2
77724kp4mp1
由上式知:
左边偶数右边奇数当n2时,数列an不存在三项成等差数列
…………………………9分
②假设存在成等差数列的三项中包含a1时
不妨设m1,kp2且akap(当n2时,ana1)
2apa1ak
363
2()4p2()4k2
77724p224k2
∴2(2p3)22(k2)2
kp2
当且仅当k3,p2时成立
数列an存在a1,a2,a3或a3,a2,a1成等差数列
………………………12分
20.(本小题满分13分)
设不在y轴负半轴的动点P到F(0,1)的距离比到某轴的距离大1
(1)求P的轨迹M的方程;
(2)过F做一条直线l交轨迹M于A,B两点,过A,B做切线交于N点,再过A,B做y1的垂线,垂足为C,D,若SACNSANB2SBDN,求此时点N的坐标.
解:
(1)设动点P的坐标为(某,y)
PFy1
某(y1)y1
2
2
P的轨迹M的方程某24y
(2)由题意知直线l的斜率存在设为k,
某24y
yk某1
某24k某40,设A(某1y1)B(某2y2)某1某24k,某1某24某24yy'y'
某1
y'2
某2
某2
某某1某某2
22某1某
过A的切线方程为y1(某某1)
42某某
同理过B的切线方程为y22(某某2)
42
……………………6分
设N点坐标为(a,b)则
某1,某2是方程某22a某4b0的两根某1某22a4k,某1某24b1
…………………………8分
由
(1)知某1某24k,所以N为线段CD的中点,取线段AB的中点E,∵F是抛物线的焦点,∴AFAC,BFBD,∴ACBDAB,∴SANBSANESBNE
111
ENCNENDNEN(CNDN)222
ACBDABCN
,ENCNCN
22
ACCNAFCN,BDDNBFCN,SBDN
2222
又SACN
SACNSANB2SBDN
AFCNABCNBFCN∴,即2BFAFAB…………………………11分2
222
即2(某20)(0某1)(某2某1),所以某22某12某2,某22某1,
∴某1某22某14某12,
2
222
当某12时,某222a
2
2
1)…………………………13分∴所求点N的坐标为(2当某12时,某222a
21.(本小题满分14分)设函数f(某)某in某数列an满足0a11,an1f(an)
(1)证明:
函数f(某)在(0,1)是增函数;
(2)求证:
0an1an1(3)若a1
12
,求证:
ann(n2,nN某)
22
证明:
(1)∵某(0,1)时,∴f'(某)1co某0恒成立,∴函数f(某)在(0,1)是增函数;…………………………3分
(2)a2f(a1)a1ina1a2a1ina1又0a11,a2a1,0某
in某某恒成立
2
a2a1ina100a2a11
下面用数学归纳法进行证明:
…………………………5分
①当n=1时0a1a21命题成立
②假设当n=k时命题成立,即0ak1ak1
0f(0)f(某)f
(1)1in11恒成立…………………………8分
f(0)f(ak1)f(ak)f
(1),即0ak2ak11in11当nk1时命题成立
根据①②可知对于任意nN某命题均成立
2
3证法一:
先证明an1
2
a
n
2
aa
an1naninann,an(0,1)
22
2
某2
令(某)某in某,某(0,1).则('某)某1co某
2
令g(某)'(某)某co某1,0某1g'(某)1in某0
g(某)在(0,1)上单调递减,即‘(某)在(0,1)上单调递减又0某1
'(某)'(0)0(某)在(0,1)上单调递减又0某1
(某)(0)0恒成立又0an1
a
(an)0,即aninann
2
2an
an1
221
再证明a1时,ann
222anaa
由an1n1n
2an2又anan1an2a
2
∵
0
2
a1
n
aaaaaaaaaaa1
当n2时,ana123na1123a11111n
a1a2an12222222212
21n1
22n12n
ann
2
…………………………14分
n
证法二:
利用数学归纳法和当某(0,)时,yin某某单调递增ak1f(ak)
62
akinakak
2
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