八年级菱形与正方形的性质与判定.docx
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八年级菱形与正方形的性质与判定
菱形、正方形的性质与判定
1、过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F,点G为AE的中点,3OG=DC,求∠AOG的度数。
知识点一(菱形的性质与判定)
【知识梳理】
1、菱形形的定义:
有一组相等的平行四边形是菱形形。
2、菱形形的性质:
(1)菱形形的四条边都,菱形的对角线互相。
(2)菱形的面积等于两条乘积的一半。
(3)对称性:
菱形是中心对称图形,也是轴对称图形.
(4)菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半.
点评:
其实只要四边形的对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积的一半。
3、菱形的判定:
(1)有一组领边的是菱形;
(2)对角线的是菱形;
(3)四条边的是菱形。
【例题精讲一】菱形的性质
1、已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:
∠AFD=∠CBE.
2、如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F,连接EF,则△AEF的面积是。
(第2题)(第3题)
3、菱形的一个内角为120°,且平分这个内角的对角线长为8cm,则这个菱形的面积。
4、如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E为AB中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值为。
【课堂练习】
1、如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,DB=6cm,DH⊥AB于点H,则DH的长为。
(第1题)(第2题图)(第3题图)
2、如图,菱形ABCD的边长为4,∠DAB=60°,E为BC的中点,在对角线AC上存在一点P,使△PBE的周长最小,则△PBE的周长的最小值为。
3、如图,菱形ABCD的边长为4cm,且∠ABC=120°,E是BC的中点,在BD上求点P,使PC+PE取最小值,并求这个最小值。
4、如图,菱形ABCD的边长为2,且∠ABC=120°,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小
(1)求∠ADE的度数
(2)在BD上画出点P的位置,并写出作法(3)求△PCE周长的最小值。
5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为AB上一点,以CD,CB为边作菱形CDEB,求AD的长。
6、如图,四边形ABCD与四边形AECF都是菱形,点E、F在BD上,已知∠BAD=120°,∠EAF=30°,求
的值。
【例题精讲二】菱形的判定
1、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD,求证ABCD为菱形。
2、如图,四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC平分∠BAD.点E在AB边上,且CE∥AD.
(1)求证:
四边形AECD是菱形;
(2)如果点E是AB的中点,AC=8,EC=5,求四边形ABCD的面积。
3、如图,矩形ABCD,E,F分别在BC,AD上,且EF垂直平分AC于O,
(1)求证:
四边形AECF为菱形:
(2)若AD=8,AB=6,求AE的长。
4、如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上,BG=10.
(1)当折痕的另一端点F在AB边上时,如图①,求△EFG的面积;
(2)当折痕的另一端点F在AD边上时,且B,F及A的对应点H三点共线,如图②,证明:
四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长。
【课堂练习】
1、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,
(1)求证:
∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在
(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由。
2、如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点O,与BC相交于N,连接BM、DN。
(1)求证:
四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长。
3、如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G在对角线AC上,四边形EGFH是菱
形;
(1)求证:
CF=AE;
(2)求AE的长。
4、如图,四边形ABCD和四边形AECF都是菱形,点E、F在BD上,已知∠BAD=110°,∠EAF=50°,求:
(1)∠ABD的度数;
(2)∠BAE的度数。
知识点二、正方形的性质与判定
【知识梳理】
1、定义:
有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。
2、性质:
①正方形的四个角都是,四条边都。
②正方形的两条对角线,并且互相,每条对角线。
3、判定:
①的矩形是正方形。
②的菱形是正方形。
③两条对角线,且互相垂直平分的四边形是正方形。
④两条对角线相等,且互相垂直的平行四边形是正方形。
4.面积:
①正方形面积=边长的平方S=a×a(S表示正方形的面积,a表示正方形的边长)
②对角线乘积的一半
5.周长:
正方形周长=边长×4用“a”表示正方形的边长,“C”表示正方形的周长,则C=4a
【例题精讲一】正方形的性质
1、如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
2、如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,正方形ABCD的边长为3,则△ECF的周长为。
3、如图,正方形ABCD的边长为7,点E、F分别在AB、BC上,AE=3,CF=1,P是对角线AC上的个动点,则PE+PF的最小值。
4、如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为
【课堂练习】
1、如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:
EC=2:
1,则线段CH的长是。
2、如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠BCP度数是。
(第1题)
(第2题)
(第3题)
3、如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为。
【例题精讲二】正方形的判定
1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上的一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:
CE=AD;
(2)当D在AB中点时.①四边形BECD是形;②则当∠A等于度时,四边形BECD是正方形。
2、如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.
(1)求证:
四边形AFHG为正方形;
(2)若BD=6,CD=4,求AB的长。
3、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,D为BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:
四边形DFAE为正方形。
1、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C的坐标是(6,0)点A的纵坐标是1,则点B的坐标是。
(第1题)(第2题)(第3题)
2、如图,四边形ABCD为菱形,已知A(0,6),D(-8,0),菱形ABCD对角线AC、BD相交于点E,连OE,则OE的长度是。
3、如图,正方形ABCD的边长为4,E、F分别为BC和AB的中点,P为AC上一个动点,则PE+PF的最小值为.
4、如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD,DE∥AC.
(1)求证:
四边形 OCED 为菱形;
(2)若AD=7,AB=4,求四边形 OCED的面积。
5、如图,已知四边形ABFC为菱形,点D、A、E在直线l上,∠BDA=∠BAC=∠CEA。
(1)求证:
△ABD≌△CAE;
(2)若∠FBA=60°,连接DF、EF,判断△DEF的形状,并说明理由。
5、如图,长方形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,折痕的一端G点在边BC上.
(1)如图1,当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时,求AF的长;
(2)如图2,当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,①求证:
EF=EG.②求AF的长;
6、如图,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,连AE交对角线BD于F,过F作FG⊥AE交BC于G.
(1)求证:
AF=FC;
(2)求证:
∠FAG=45°。
7、如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD边上的点,CE=DF,AE与BF交于点M求证:
AE⊥BF。
8、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,F是AB边上的一点,连接FE并延长与CD的延长线相交于点G,作EH⊥FG交BC的延长线于点H;
(1)若BC=8,BF=5,求线段FG的长;
(2)求证:
EH=2EG。
9、如图.在正方形ABCD中,点E是BC边上的中点,EF⊥AC于点F.连接DF并延长交BC于G.过F作FM⊥DG交CD于N,交BC的延长线于点M.
(1)求证:
△FEG≌△FCN;
(2)猜想CG与EG的数量关系.并说明理由;(3)若AB=6.求△FCM的面积。
10、已知:
如图正方形ABCD中,AE与BD交于F,过点F作MN∥AB,交AD于M,交BC于点N,FH⊥AE,HG⊥BD.
(1)求证:
AF=FH;
(2)求证:
BD=2GF。
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- 年级 菱形 正方形 性质 判定
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