湖北省各市中考数学真题汇编压轴题《圆》.docx
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湖北省各市中考数学真题汇编压轴题《圆》
2019年湖北省各市中考数学真题汇编压轴题:
《圆》
1.(2019•孝感)如图,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D,与AC交于点E,延长CD、BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G.
(1)求证:
DG∥CA;
(2)求证:
AD=ID;
(3)若DE=4,BE=5,求BI的长.
2.(2019•襄阳)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D,过D作直线DG∥BC.
(1)求证:
DG是⊙O的切线;
(2)若DE=6,BC=6,求优弧的长.
3.(2019•黄石)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,C、E是⊙O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)求证:
CE=CF;
(3)若BD=1,CD=,求弦AC的长.
4.(2019•荆门)已知锐角△ABC的外接圆圆心为O,半径为R.
(1)求证:
=2R;
(2)若△ABC中∠A=45°,∠B=60°,AC=,求BC的长及sinC的值.
5.(2019•荆州)如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,点P是半径OB上一动点(不与O,B重合),过点P作射线l⊥AB,分别交弦BC,于D,E两点,在射线l上取点F,使FC=FD.
(1)求证:
FC是⊙O的切线;
(2)当点E是的中点时,
①若∠BAC=60°,判断以O,B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由;
②若tan∠ABC=,且AB=20,求DE的长.
6.(2019•咸宁)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,以CD为直径的⊙O分别交AC,BC于点E,F两点,过点F作FG⊥AB于点G.
(1)试判断FG与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的长.
7.(2019•宜昌)已知:
在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,AD上的点,过点F作EF的垂线交DC于点H,以EF为直径作半圆O.
(1)填空:
点A (填“在”或“不在”)⊙O上;当=时,tan∠AEF的值是 ;
(2)如图1,在△EFH中,当FE=FH时,求证:
AD=AE+DH;
(3)如图2,当△EFH的顶点F是边AD的中点时,求证:
EH=AE+DH;
(4)如图3,点M在线段FH的延长线上,若FM=FE,连接EM交DC于点N,连接FN,当AE=AD时,FN=4,HN=3,求tan∠AEF的值.
8.(2019•十堰)如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为AC延长线上一点,且∠CDE=∠BAC.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若AB=3BD,CE=2,求⊙O的半径.
9.(2019•随州)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.
(1)求证:
BF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的直径为3,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
10.(2019•湖北)已知△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接DB,DC.
(1)如图①,当∠BAC=120°时,请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关系式:
;
(2)如图②,当∠BAC=90°时,试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系,并证明你的结论;
(3)如图③,若BC=5,BD=4,求的值.
11.(2019•宜昌)如图,点O是线段AH上一点,AH=3,以点O为圆心,OA的长为半径作⊙O,过点H作AH的垂线交⊙O于C,N两点,点B在线段CN的延长线上,连接AB交⊙O于点M,以AB,BC为边作▱ABCD.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)若OH=AH,求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积;
(3)若NH=AH,BN=,连接MN,求OH和MN的长.
12.(2019•咸宁)定义:
有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
理解:
(1)如图1,点A,B,C在⊙O上,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接AD,CD.
求证:
四边形ABCD是等补四边形;
探究:
(2)如图2,在等补四边形ABCD中,AB=AD,连接AC,AC是否平分∠BCD?
请说明理由.
运用:
(3)如图3,在等补四边形ABCD中,AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F,CD=10,AF=5,求DF的长.
13.(2019•鄂州)如图,PA是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于B,连接BC,PB.
(1)求证:
PB是⊙O的切线;
(2)求证:
E为△PAB的内心;
(3)若cos∠PAB=,BC=1,求PO的长.
参考答案
1.
(1)证明:
∵点I是△ABC的内心,
∴∠2=∠7,
∵DG平分∠ADF,
∴∠1=∠ADF,
∵∠ADF=∠ABC,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∴DG∥AC;
(2)证明:
∵点I是△ABC的内心,
∴∠5=∠6,
∵∠4=∠7+∠5=∠3+∠6,
即∠4=∠DAI,
∴DA=DI;
(3)解:
∵∠3=∠7,∠ADE=∠BDA,
∴△DAE∽△DBA,
∴AD:
DB=DE:
DA,即AD:
9=4:
AD,
∴AD=6,
∴DI=6,
∴BI=BD﹣DI=9﹣6=3.
2.
(1)证明:
连接OD交BC于H,连接OB、OC,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∴∠BOD=∠COD,
∴=,
∴OD⊥BC,BH=CH,
∵DG∥BC,
∴OD⊥DG,
∴DG是⊙O的切线;
(2)解:
连接BD、OB,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,
∵∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,
∴DB=DE=6,
∵BH=BC=3,
在Rt△BDH中,sin∠BDH===,
∴∠BDH=60°,
而OB=OD,
∴△OBD为等边三角形,
∴∠BOD=60°,OB=BD=6,
∴∠BOC=120°,
∴优弧的长==8π.
3.解:
(1)连接OC,如右图所示,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ABC=90°,
∵CE=CB,
∴∠CAE=∠CAB,
∵∠BCD=∠CAE,
∴∠CAB=∠BCD,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB+∠BCD=90°,
∴∠OCD=90°,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵∠BAC=∠CAE,∠ACB=∠ACF=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△AFC(ASA),
∴CB=CF,
又∵CB=CE,
∴CE=CF;
(3)∵∠BCD=∠CAD,∠ADC=∠CDB,
∴△DCB∽△DAC,
∴,
∴,
∴DA=2,
∴AB=AD﹣BD=2﹣1=1,
设BC=a,AC=a,由勾股定理可得:
,
解得:
a=,
∴.
4.解:
(1)如图1,连接AO并延长交⊙O于D,连接CD,
则∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,
∵sin∠ABC=sin∠ADC=,
∴=2R;
(2)∵=2R,
同理可得:
==2R,
∴2R==2,
∴BC=2R•sinA=2sin45°=,
如图2,过C作CE⊥AB于E,
∴BE=BC•cosB=cos60°=,AE=AC•cos45°=,
∴AB=AE+BE=,
∵AB=2R•sinC,
∴sinC==.
5.解:
(1)证明:
连接OC,∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵PF⊥AB,
∴∠BPD=90°,
∴∠OBC+∠BDP=90°,
∵FC=FD
∴∠FCD=∠FDC
∵∠FDC=∠BDP
∴∠OCB+∠FCD=90°
∴OC⊥FC
∴FC是⊙O的切线.
(2)如图2,连接OC,OE,BE,CE,
①以O,B,E,C为顶点的四边形是菱形.理由如下:
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,
∵点E是的中点,
∴∠BOE=∠COE=60°,
∵OB=OE=OC
∴△BOE,△OCE均为等边三角形,
∴OB=BE=CE=OC
∴四边形BOCE是菱形;
②若tan∠ABC=,且AB=20,求DE的长.
∵=tan∠ABC=,设AC=3k,BC=4k(k>0),
由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即(3k)2+(4k)2=202,解得k=4,
∴AC=12,BC=16,
∵点E是的中点,
∴OE⊥BC,BH=CH=8,
∴OE×BH=OB×PE,即10×8=10PE,解得:
PE=8,
由勾股定理得OP===6,
∴BP=OB﹣OP=10﹣6=4,
∵=tan∠ABC=,即DP=BP==3
∴DE=PE﹣DP=8﹣3=5.
6.解:
(1)FG与⊙O相切,
理由:
如图,连接OF,
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠DBC=∠DCB,
∵OF=OC,
∴∠OFC=∠OCF,
∴∠OFC=∠DBC,
∴OF∥DB,
∴∠OFG+∠DGF=180°,
∵FG⊥AB,
∴∠DGF=90°,
∴∠OFG=90°,
∴FG与⊙O相切;
(2)连接DF,
∵CD=2.5,
∴AB=2CD=5,
∴BC==4,
∵CD为⊙O的直径,
∴∠DFC=90°,
∴FD⊥BC,
∵DB=DC,
∴BF=BC=2,
∵sin∠ABC=,
即=,
∴FG=.
7.解:
(1)连接AO,
∵∠EAF=90°,O为EF中点,
∴AO=EF,
∴点A在⊙O上,
当=时,∠AEF=45°,
∴tan∠AEF=tan45°=1,
故答案为:
在,1;
(2)∵EF⊥FH,
∴∠EFH=90°,
在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
∠AFE+∠DFH=90°,
∴∠AEF=∠DFH,
又FE=FH,
∴△AEF≌△DFH(AAS),
∴AF=DH,AE=DF,
∴AD=AF+DF=AE+DH;
(3)延长EF交HD的延长线于点G,
∵F分别是边AD上的中点,
∴AF=DF,
∵∠A=∠FDG=90°,∠AFE=∠DFG,
∴△AEF≌△DGF(ASA),
∴AE=DG,EF=FG,
∵EF⊥FH,
∴EH=GH,
∴GH=DH+DG=DH+AE,
∴EH=AE+DH;
(4)过点M作MQ⊥AD于点Q.
设AF=x,AE=a,
∵FM=FEEF⊥FH,
∴△EFM为等腰直角三角形,
∴∠FEM=∠FMN=45°,
∵FM=FE,
∠A=∠MQF=90°,
∠AEF=∠MFQ,
∴△AEF≌△QFM(ASA),
∴AE=FQ=a,AF=QM,
∵AE=AD,
∴AF=DQ=QM=x,
∵DC∥QM,
∴,
∵DC∥AB∥QM,
∴,
∴,
∵FE=FM,
∴,
∠FEM=∠FMN=45°,
∴△FEN~△HMN,
∴,
∴.
8.解:
(1)如图,连接OD,AD,
∵AC是直径,
∴∠ADC=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC,
∵∠CDE=∠BAC.
∴∠CDE=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵∠
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