数学分析数列极限的概念.ppt
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数学分析数列极限的概念.ppt
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数列极限是整个数学分析最重要的基础,1数列极限的概念,一、数列的定义,五、再论“-N”说法,四、按定义验证极限,三、收敛数列的定义,备知识.,为今后学习级数理论提供了极为丰富的准,之一,它不仅与函数极限密切相关,而且,返回,二、一个经典的例子,六、一些例子,为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,或简记为an.这里an,所以我们也将数列写成,称为数列an的通项.,一、数列的定义,二、一个经典的例子,样的过程可以无限制地进行下去.,我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出:
这样就得到一个数列:
古代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用了,一句话:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.它的,意思是:
一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这,大而无限趋于0.,三、收敛数列的定义,下面给出严格的数学定义.,任意的正数,总存在正整数N,使当nN时,能无限地接近某个常数a,则称收敛于a.,记作,若不收敛,则称为发散数列.,注定义1这种陈述方式,俗称为“-N”说法.,四、按定义验证极限,以说明,希望大家对“-N”说法能有正确的认识.,所以,为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加,例2用定义验证,这就证明了,证,只要即可.,例3用定义验证,分析,证对于任意的正数,取,即得,注意解这个不等式是在的条件下进行的.,所以,因此证得,故对于任意正数,五、再论“-N”说法,从定义及上面的例题我们可以看出:
此外,又因是任意正数,所以,项与定数a的接近程度.显然正数愈小,表示an,与a接近的程度愈高;是任意的,这就表示an,与a可以任意接近.要注意,一旦给出,在接下,来计算N的过程中,它暂时看作是确定不变的.,定义1,那么对1自然也可以验证成立.,均可看作任意正数,故定义1中的不等式,2.N的相对性:
从定义1中又可看出,随着的取值,不同,N当然也会不同.但这并不意味着N是由,再有,我们还可以限定小于某一个正数(比如,1).事实上,对01若能验证an满足,则当nN1=2N时,对于同样的,更应有,惟一确定.例如,当nN时,有,求N的“最佳性”.,也就是说,在这里只是强调N的存在性,而不追,3.极限的几何意义,示当nN时,所有下标大于N的an全都落在邻域之内,,而在之外,an至多只有有限项(N项).,反过来,如果对于任意正数,落在之外至,多只有有限项,设这些项的最大下标为N,这就表,an的有限多项,则称数列an收敛于a.这样,an不以a为极限的定义也可陈述为:
存在,之外含有an中的无限多,不以任何实数a为极限.,以上是定义1的等价说法,写成定义就是:
项.,注an无极限(即发散)的等价定义为:
an,以下定理显然成立,请读者自证.,4.无穷小数列和无穷大数列,六、一些例子,证对于任意实数a,取,之外有无限多,例6证明,从而,证我们用两种方法来证明.,例7证明,1)任给正数,有项都能使不等式成立即可.,注这里我们将N取为正数,而非正整数.实际上,N只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所,没有定义.,可知只需取,注这里假定01是必要的,否则arcsin便,复习思考题,1.极限定义中的“”是否可以写成“,”?
为什么?
请依据极限定义证明:
一、惟一性,2收敛数列的性质,本节首先考察收敛数列这个新概念有哪,七、一些例子,六、极限的四则运算,五、迫敛性(夹逼原理),四、保不等式性,三、保号性,二、有界性,些优良性质?
然后学习怎样运用这些性质.,返回,一、惟一性,定数,若a,b都是an的极限,则对于任何正数0,当nN时
(1),
(2)同时成立,从而有,二、有界性,即存在,若令,定理2.3若数列,件.,明有界只是数列收敛的必要条件,而不是充分条,三、保号性,证,这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.,则存在N,当nN时,例1证明,这就证明了,定理2.4,四、保不等式性,证,所以,是严格不等式.,注若将定理2.5中的条件改为,这就是说,即使条件是严格不等式,结论却不一定,也只能得到,五、迫敛性(夹逼原理),这就证得,所以由迫敛性,求得,又因,六、四则运算法则,
(1),(3),也都是收敛数列,且有,所以,的任意性,得到,证明
(2),对于任意,证明
(1),的任意性,证得,据保号性,于是,又因为,即,七、一些例子,例3用四则运算法则计算,
(1)当m=k时,有,
(2)当mk时,有,所以,例4,是可得:
例5,N,当nN时,有,敛性,证得,例6,运算法则,得,故得,以及极限的迫敛性,可得,定义1,注,定理2.8,证,注,例8,证(必要性),例9,解,因此,1.极限的保号性与保不等式性有什么不同?
2.仿效例题5的证法,证明:
复习思考题,
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