导数的全部答案.docx
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导数的全部答案
导数1
1.(2012?
广东)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为2x-y+仁0.
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:
计算题.
分析:
先求出导函数,然后将x=1代入求出切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程,
最后化成一般式即可.
2
解答:
解:
y=3x2-1
令x=1得切线斜率2
所以切线方程为y-3=2(x-1)
即2x-y+1=0
故答案为:
2x-y+仁0
点评:
本题主要考查导数的几何意义:
在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜
式,属于基础题.
2.(2014?
江西)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x-y+仁0,则点P的坐标是(e,e.
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:
导数的综合应用.
分析:
求出函数的导数,根据导数的几何意义,结合直线平行的性质即可得到结论.
解答:
解:
函数的定义域为(0,+a),
函数的导数为f'(x)=lnx+x・=1+lnx,
x
直线2x-y+仁0的斜率k=2,
•••曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x-y+仁0,
/•f'(x)=1+Inx=2,
即Inx=1,解得x=e,此时y=eIne=e,
故点P的坐标是(e,e),
故答案为:
(e,e)
点评:
本题主要考查导数的几何意义,以及直线平行的性质,要求熟练掌握导数的几何意
义.
2
3.(2014?
威海一模)函数f(x)=x-2lnx的单调减区间是(0,1).
考点:
利用导数研究函数的单调性.
专题:
计算题;导数的概念及应用.
分析:
2(k+1)(Y—1)
依题意,可求得f(x)-•■,由f(x)v0即可求得函数f(x)
=x2-2lnx的单调减区间.
解答:
2
解:
Tf(x)=x-2lnx(x>0),
令f(x)v0由图得:
OvXV1.
•••函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是(0,1).
故答案为(0,1).
点评:
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查解不等式的能力,属于中档题.
考点:
利用导数研究函数的单调性;函数的值域;函数单调性的性质.
专题:
计算题;函数的性质及应用.
分析:
可先利用导数判断函数的单调性,再利用单调性求最值.
解答:
解:
y=i-2sinx=O,在区间[0,一]上得x=—
26
故y=x+2cosx-二在区间[0,一]上是增函数,在区间[一,一]上是减函数,
662
•x=一时,函数y=x+2cosx-{]在区间[0,一]上的最大值是——,
626
故答案为:
".
6
点评:
本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等,难度一般.
5、(江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研)10、已知函数f(x),g(x)满
足f⑴=2,f
(1)=1,g⑴=1,g
(1)=1,则函数F(x)=[f(x)-1]g(x)的图象在x=1处
的切线方程为▲.2x-y-1=0
例1.(2014?
广西)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a老).
(I)讨论f(x)的单调性;
(H)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
考点:
利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
专题:
导数的综合应用.
分析:
(I)求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a的范围讨论f
(x)的单调性;
(H)当a>0,x>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当av0时,f(x)在区间(1,
2)是增函数,推出f'
(1)S0且f
(2)◎即可求a的取值范围.
322
解答:
解:
(I)函数f(x)=ax+3x+3x,•f'(x)=3ax+6x+3,
令f(x)=0,即3ax+6x+3=0,则厶=36(1-a)
1
若a>1时,则△v0,f'(x)>0,「.f(x)在R上是增函数;
2因为a用,•当a<1,△>0,f'(x)=0方程有两个根,X1当0vav1时,则当x€(-a,X2)或(X1,+1时,f'(x)>0,故函数在(-a,X2)或(X1,+a)是增函数;在(X2,X1)是减函数;
当av0时,则当X€(-a,x1)或(X2,+a),f(x)V0,故函数在(-a,x1)或(X2,+a)是减函数;在(X1,X2)是增函数;
2
(H)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax+6x+3>0故a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,
当av0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,
当且仅当:
f'
(1)为且f'
(2)为,解得-
a的取值范围[•:
.i.i)U(0,+8).
4
点评:
本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量
的范围,考查分类讨论思想的应用.
例2.(2014?
陕西)设函数f(x)=lnx+£,m€R.
X
(I)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(n)讨论函数g(x)=f'(x)-'零点的个数;
3
(川)若对任意b>a>0,v1恒成立,求m的取值范围.
b_a
考点:
利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数的零点.
专题:
导数的综合应用.
分析:
(I)m=e时,f(x)=lnx+丄,利用f'(x)判定f(x)的增减性并求出f(x)的
x
极小值;
(n)由函数g(x)=f'(x)-丄,令g(x)=0,求出m;设$(x)=m,求出$(x)的
3
值域,讨论m的取值,对应g(x)的零点情况;
(川)由b>a>0,v1恒成立,等价于f(b)-bvf(a)-a恒成立;
b~a
即h(x)=f(x)-x在(0,+a)上单调递减;h'(x)O,求出m的取值范围.
解答:
解:
(I)当m=e时,f(x)=lnx+—,
•••当x€(0,e)时,f'(x)v0,f(乂)在(0,e)上是减函数;
当x€(e,+a)时,f'(x)>0,f(乂)在(e,+上是增函数;
•x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+—=2;e
(n)v函数g(x)=f(x)-'=—-1-J(x>0),
3x3
I3
令g(x)=0,得m=--x+x(x>0);
•丿
(X为),
2
1)上是增函数,
•••$'(x)=-x+1=-(x-1)(x+1);当x€(0,1)时,$'(x)>0,$(x)在(0,
+g)上是减函数;
当x€(1,+©时,『(x)v0,0(幻在(1,x=1是0(X)的极值点,且是极大值点,
•••x=1是0(x)的最大值点,
•••0(x)的最大值为0
(1)=';
3
又0(0)=0,结合y=0(x)的图象,如图;可知:
1当m>时,函数g(x)无零点;
3
2当m=W时,函数g(x)有且只有一个零点;
2
3当0vmv-2时,函数g(x)有两个零点;
■丿
4当m切时,函数g(x)有且只有一个零点;
综上,当m>时,函数g(x)无零点;
3
当m=—或m<0时,函数g(x)有且只有一个零点;
3
当Ovmv—时,函数g(x)有两个零点;
3
(川)对任意b>a>0,——一v1恒成立,
b-a
等价于f(b)-bvf(a)-a恒成立;设h(x)=f(x)-x=lnx+—-x(x>0),
x
•h(x)在(0,+上单调递减;
x)=-—-1切在(0,+g)上恒成立,
2I?
〕
•mAx+x=——+(x>0),
24
•m》;
4
对于m=」,h'(x)=0仅在x=」时成立;
42
•m的取值范围是[,+g).
4
点评:
本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及
求函数的极值和最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题,是难题.
1一x
例3、已知函数f(x)=lnx+,其中a为大于零的常数.
ax
(1)若函数f(x)在区间[1,+g)内不是单调函数,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值.
ax—1
⑴由已知,得和W在乩+E上有解,即尸丄在乩+«)±<解,
X
冥丫当jtE⑴+°°)时*-<1j所UAa
x
(2)①£爭朮因为f3>0衽6眄上H成立,这时衽简韵上曲増函飙
所以当尸*时,fix)fM=1+^—^-■…8分
J
②当0<因为f(jt)<0在(创N)上恒威立,这时fGr)在[创J]上为减函数,
所以,当尸/时‘/U)_=/V)=2+L^—二^L^l;iQ分
WWVWWWiAAAr
QC'
③当令f(x)=o得,(&je")i
eea
乂因为对于xG(e・丄)有f(x)<0i
a
对于jc€(丄‘J)有/,Cr)X)i
a
所以当Ax)aj-—Z'C^)~ln-+1—i-■*14分
&&宜s
综上,f(r)在4刃上的最小值为
(1-e1
1+=^,嚼乞时.
me
/=ln~*1——,爭Zvovl时*..164'
]一41
2.40<<—a4-
vae-l
导数1作业
1、曲线y=2lnx在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为(0,0)
2、(2013?
广东)若曲线y=kx+Inx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=-1.考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:
导数的综合应用.
分析:
先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值.
,]
解答:
解:
由题意得,y=k+=
x
•••在点(1,k)处的切线平行于x轴,
/•k+1=0,得k=-1,
故答案为:
-1.
点评:
本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.
b
3、(2014年江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y二ax2(a,b为常数)过点
P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x2y^0平行,则ab的值是_▲
【提示】根据P点在曲线上,曲线在点P处的导函数值等于切线斜率,y=2ax,
x
4、过坐标原点作函数y=lnx图像的切线,则切线斜率为•-
e
一一一1
5、(江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试)函数y2lnx的单调减
x
1
区间为(0,丄)
2
32
6.(2011?
广东)函数f(x)=x-3x+1在x=2处取得极小值.
考点:
利用导数研究函数的极值.
专题:
计算题.
分析:
首先求导可得f'(x)=3x2-6x,解3x2-6x=0可得其根,再判断导函数的符号即
可.
2
解答:
解:
f'(x)=3x-6x
令f(x)=3x2-6x=0得X1=0,X2=2
且x€(—0)时,f'(x)>0;x€(0,2)时,f'(x)v0;x€(2,+时,f'(x)>
0
故f(x)在x=2出取得极小值.
故答案为2.
点评:
本题考查函数的极值问题,属基础知识的考查.
xx
7.(2013?
江西)设函数f(x)在(0,+s)内可导,且f(e)=x+e,则f
(1)=2.
考点:
导数的运算;函数的值.
专题:
计算题;压轴题;函数的性质及应用;导数的概念及应用.
分析:
由题设知,可先用换元法求出f(x)的解析式,再求出它的导数,从而求出f'
(1)
解答:
解:
函数f(x)在(0,+s)内可导,且f(ex)=x+ex,
令e=t,则x=lnt,故有f(t)=lnt+t,即f(x)=lnx+x
f'(x)=—+1,故f'
(1)=1+仁2
x
故答案为2
点评:
本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式,属于基本题型,运算型
&(江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考)已知R上的可导函数f(x)的导函数
1
f(x)满足:
f(x)•f(x)0,且f
(1)=1则不等式f(X)•R的解
e
是.(1「:
)
9.(2013?
畐建)已知函数f(x)=x-alnx(a€R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
专题:
导数的综合应用.
分析:
(1)把a=2代入原函数解析式中,求出函数在x=1时的导数值,直接利用直线方
程的点斜式写直线方程;
(2)求出函数的导函数,由导函数可知,当aO时,f'(x)>0,函数在定义域(0,+%)
上单调递增,函数无极值,当a>0时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,利用原函数的单调性得到函数的极值.
解答:
解:
函数f(x)的定义域为(0,+R),;・-_.
x
(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,-,
x
因而f
(1)=1,f'
(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f
(1))处的切线方程为y-仁-(x-1),
即x+y-2=0
(2)由•'|.,=1,x>0知:
1当a切时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+呵上的增函数,函数f(x)无极值;
2当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.
又当x€(0,a)时,f'(x)v0,当x€(a,+①时,f'(x)>0.
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
综上,当aO时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.
点评:
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的极
值,考查了分类讨论得数学思想,属中档题.
V-V
10、(2014年江苏高考)已知函数f(X)=+「.,其中e是自然对数的底数。
(1)证明:
f(X)是R上的偶函数;
围;
(3)已知正数a满足:
存在X。
卜[1,+川),使得f(Xo)〈g(X。
3+3X0)成立,试比较
(2)
•/f(X)二护+
(f(x)一」_1,「m_=「:
1-e_/w-r+e1令g(x)=^7,g(x)=「「’x「」・'时g(x)•'
g(x)单调减,xE([]】2y+C0)时g"(x)g(x)单调增,
g(x)min=g(ln2)=——,若关于x的不等式mf(x)g(2独+m1在(0,+册)上恒成
J11
立,则只要g(x)min恒成立,•••m_。
二m-(一':
工'•]。
(3)
小。
令y=a-1-(e-1)Ina,
由题正数a满足:
存在Xo1[1,+爪),使得f(Xo)〈0(Xo3+3xo)成立。
即
e:
yy
当a=1时,y=0,二当a=—+—时,目0,当a=e时,y=0。
二a=e-1时,y0。
22e\、
1、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研
(二))直线y=kx与曲线y=2ex相切,则实数k=
▲2e
2、(2013年江苏高考)抛物线y=x2在X=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包
•••x-2y的取值范围是|-2,1
IL2
3、曲线f(x)=±d
x12
e—f(0)x』一x在点(1,f
(1))处的切线方程为e2
2
4.(2009?
福建)若曲线f(x)=ax+|nx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是{a|av0}.
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先求出函数的定义域,然后求出导函数,根据存在垂直于y轴的切线,得到此时斜率为0,问题转化为x>0范围内导函数-■'I..I-I存在零点,再将之转化为g(x)
x
=-2ax与■-:
—存在交点,讨论a的正负进行判定即可.
x
解答:
解:
由题意该函数的定义域x>0,由1,11.
X
因为存在垂直于y轴的切线,
故此时斜率为0,问题转化为x>0范围内导函数--「;•)-.1;—存在零点.
x
再将之转化为g(x)=-2ax与h:
-存在交点.当a=0不符合题意,
x
当a>0时,如图1,数形结合可得显然没有交点,
当av0如图2,此时正好有一个交点,故有av0.
故答案为:
{a|av0}
点评:
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点等有关基础知识,考
查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于基础题.
322
例1、(2010?
崇文区一模)已知f(x)=x-6ax+9ax(a€R).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(n)当a>0时,若对?
x€[0,3]有f(x)詔恒成立,求实数a的取值范围.
考点:
利用导数研究函数的单调性.
专题:
压轴题.
分析:
(1)先对函数f(x)进行求导,然后对a进行分析讨论求f(x)v0的x的范围.
(2)先根据导函数的解析式确定函数f(x)的单调性,然后根据a的不同范围进行讨论进而确定其答案.
解答:
解:
(I)f'(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)v0
2
(1)当a=3a,即a=0时,f(x)=3x>0,不成立.
(2)当a>3a,即av0时,单调减区间为(3a,a).
(3)当av3a,即a>0时,单调减区间为(a,3a).
22
(n)f(x)=3x-12ax+9a=3(x-a)(x-3a),
f(x)在(0,a)上递增,在(a,3a)上递减,在(3a,+上递增.
(1)当a為时,函数f(x)在[0,3]上递增,
所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3),
若对?
x€[0,3]有f(x)詔恒成立,需要有7®©解得a€g
U>3
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