秋浙教版九年级数学复习讲义:专题12 三角形.docx
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专题12三角形
知识讲解
1、三角形的初步认识
(1)锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,
(2)三角形的性质:
a)三角形三个内角的和等于180°
b)三角形任何两边的和大于第三边
c)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(3)三角形的角平分线;三角形的中线;三角形的高线
(4)全等三角形的定义及其判定:
a)三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”)
b)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)
c)两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)
d)两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)
e)角平分线上的点到角两边的距离相等
2、特殊三角形
(1)等腰三角形的性质及其判定:
a)等腰三角形的两个底角相等(在同一个三角形中,等边对等角)
b)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合(等腰三角形三线合一)
c)在同一个三角形中,等角对等边
(2)等边三角形的性质及其判定:
a)等边三角形的各个内角都是60°
b)三个角都相等的三角形是等边三角形
c)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
(3)直角三角形的性质及其判定:
a)直角三角形的两个锐角互余
b)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
c)有两个角互余的三角形是直角三角形
(4)勾股定理:
a)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
b)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形对应相等(“斜边、直角边”或“HL”)
(5)相似三角形
a)比例线段;两条线段的比;比例中项()
b)黄金分割,黄金比
c)两条线段被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例
(6)解直角三角形:
a)三角函数:
正弦(sinA)、余弦(cosA)、正切(tanA)
b)
α
30°
45°
60°
sinα
1/2
3/2
3/2
cosα
3/2
1/2
1/2
tanα
3/3
3
3
c)sin2α+cos2α=1;tanθ=sinθcosθ
练习
一、选择题
1.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长是()
A.12 B.15 C.12或15 D.15或18
2.下列长度的三条线段,能组成三角形的是()
A.1,2,4 B.4,5,9
C.4,6,8 D.5,5,11
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是()
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条直角边和它所对的锐角对应相等
D.一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为()
A.60° B.120°
C.60°或150° D.60°或120°
5.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是()
A.4.8 B.4.8或3.8
C.3.8 D.5
二、填空题
1.如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是:
.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB边的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,△BEC的周长是14cm,BC=5cm,则AB的长是
3.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是
4.如图,△ABC,△ADE中,C,D两点分别在AE,AB上,BC与DE相交于点F.若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=104°,则∠DFC的度数为
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=5,如果△DAB的面积为10,那么DC的长是
三、解答题
1.如图所示,在△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,求∠CDF的度数;
(2)在
(1)中,若∠A=α,∠B=β(α≠β),其他条件不变,求∠CDF的度数.(用含α和β的代数式表示)
2.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,点D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE,DE,DC.
(1)求证:
△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
4.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:
DM=DN.
5.如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求C点的坐标;
(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点沿y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP-DE的值.
专题12三角形
知识讲解
3、三角形的初步认识
(3)锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,
(4)三角形的性质:
d)三角形三个内角的和等于180°
e)三角形任何两边的和大于第三边
f)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(3)三角形的角平分线;三角形的中线;三角形的高线
(4)全等三角形的定义及其判定:
f)三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”)
g)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)
h)两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)
i)两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)
j)角平分线上的点到角两边的距离相等
4、特殊三角形
(7)等腰三角形的性质及其判定:
d)等腰三角形的两个底角相等(在同一个三角形中,等边对等角)
e)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合(等腰三角形三线合一)
f)在同一个三角形中,等角对等边
(8)等边三角形的性质及其判定:
d)等边三角形的各个内角都是60°
e)三个角都相等的三角形是等边三角形
f)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
(9)直角三角形的性质及其判定:
d)直角三角形的两个锐角互余
e)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
f)有两个角互余的三角形是直角三角形
(10)勾股定理:
c)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
d)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形对应相等(“斜边、直角边”或“HL”)
(11)相似三角形
d)比例线段;两条线段的比;比例中项()
e)黄金分割,黄金比
f)两条线段被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例
(12)解直角三角形:
d)三角函数:
正弦(sinA)、余弦(cosA)、正切(tanA)
e)
α
30°
45°
60°
sinα
1/2
3/2
3/2
cosα
3/2
1/2
1/2
tanα
3/3
3
3
f)sin2α+cos2α=1;tanθ=sinθcosθ
练习
一、选择题
1.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长是(B)
A.12 B.15 C.12或15 D.15或18
2.下列长度的三条线段,能组成三角形的是(C)
A.1,2,4 B.4,5,9
C.4,6,8 D.5,5,11
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是(B)
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条直角边和它所对的锐角对应相等
D.一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为(D)
A.60° B.120°
C.60°或150° D.60°或120°
5.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是(A)
A.4.8 B.4.8或3.8
C.3.8 D.5
二、填空题
1.如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是:
AE=AF或∠EDA=∠FDA或∠AED=∠AFD.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB边的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,△BEC的周长是14cm,BC=5cm,则AB的长是9cm
3.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是3
4.如图,△ABC,△ADE中,C,D两点分别在AE,AB上,BC与DE相交于点F.若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=104°,则∠DFC的度数为128°
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,且DA=DB=5,如果△DAB的面积为10,那么DC的长是3
三、解答题
1.如图所示,在△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,求∠CDF的度数;
(2)在
(1)中,若∠A=α,∠B=β(α≠β),其他条件不变,求∠CDF的度数.(用含α和β的代数式表示)
解:
(1)根据题意,在△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,
所以∠ACB=68°.
因为CE平分∠ACB,所以∠ACE=34°.
所以∠CED=∠A+∠ACE=74°.
因为CD⊥AB,DF⊥CE,且∠ECD为公共角,
所以∠CDF=∠CED=74°.
(2)由
(1)可知,∠CDF=∠CED=∠A+∠ACE,∠ACE=.
所以∠CDF=.
2.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,点D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE,DE,DC.
(1)求证:
△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
(1)证明:
∵∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,
∴∠ABE=∠CBD=90°,
在△ABE和△CBD中,
,
∴△ABE≌△CBD(SAS);
(2)解:
∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
又∵∠CAE=30°,
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°.
∵△ABE≌△CBD,
∴∠BCD=∠BAE=15°.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5
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