勾股定理经典例题详细讲解A.docx
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勾股定理经典例题详细讲解A
勾股定理经典例题详解
熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的:
①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41.
类型二:
勾股定理的构造应用
1、如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
2.如图,已知:
,,于P.求证:
.
3.已知:
如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
类型三:
勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
4、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
5、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
(二)用勾股定理求最短问题
6、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
7.如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
类型四:
利用勾股定理作长为的线段
8、作长为、、’的线段。
9、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
10.四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
11.已知:
△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
12.如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且
。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
13、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
14、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值。
15.如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
16、矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF,展开后再沿BG折叠,使A落在EF上的A1,求第二次折痕BG的长。
17、在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按图所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求
(1)DE的长;
(2)EF的长。
18.如图
,
分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积
19.如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,
把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.
20、一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?
21、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
22、如图所示,已知在
ABC中,AB=AC,
BAC=
,D是BC上任一点,求证:
BD
。
答案:
1. 思路点拨:
由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有
,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.
解析:
作于D,则因,
∴(的两个锐角互余)
∴(在中,如果一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理,在中,
.
根据勾股定理,在中,
.
∴.
总结升华:
利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
2. 思路点拨:
图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形.因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样,实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.
解析:
连结BM,根据勾股定理,在中,
.
而在中,则根据勾股定理有
.
∴
又∵(已知),
∴.
在中,根据勾股定理有
,
∴.
3. 分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析:
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
4.思路点拨:
把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解。
解析:
(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:
BC=500m,AB=
由勾股定理可得:
所以
(2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华:
本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
5.思路点拨:
(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。
(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。
解析:
作AB⊥MN,垂足为B。
在RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,
∴AB=AP=80。
(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),
由勾股定理得:
BC2=1002-802=3600,∴BC=60。
同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。
答:
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。
6.思路点拨:
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.
解析:
设正方形的边长为1,则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3
图(3)中,在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH
由∠FBH= 及勾股定理得:
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
总结升华:
在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计.本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质.
7. 解:
如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm, 根据勾股定理得
(提问:
勾股定理)
∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).
答:
最短路程约为10.77cm.
8. 思路点拨:
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。
作法:
如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。
斜边为;
(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是
、、、。
总结升华:
(1)以上作法根据勾股定理均可证明是正确的;
(2)取单位长时可自定。
一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析:
可以把看作是直角三角形的斜边,,
为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
作法:
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
9.思路点拨:
要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。
解析:
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。
总结升华:
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
10.【答案】:
连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
11.分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明:
a2+b2=c2即可
证明:
所以△ABC是直角三角形.
12【答案】答:
DE⊥EF。
证明:
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
13思路点拨:
现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.
解:
连接AD.
因为∠BAC=90°,AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线,
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.
所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理:
AF=BE=12.
在Rt△AEF中,根据勾股定理得:
,所以EF=13。
总结升华:
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题,我们可以了解:
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
14 思路点拨:
由,再找出、的关系即可求出和的值。
解:
在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,
则,由勾股定理,得。
因为,所以,
,,。
总结升华:
在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
15. 解:
因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,
在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,
所以。
所以。
设,则。
在Rt△ECF中,,即,解得。
即EF的长为5cm。
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