比的意义和基本性1.docx
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比的意义和基本性1
比的意义和基本性质
这部分内容是在学生学过分数与除法的关系,分数乘除法的意义和计算方法,以及分数乘除法应用题的基础上进行教学的。
内容包括比的意义和比的基本性质。
比的概念实质是对两个数量进行比较,表示两个数量间的倍比关系。
任何相关的两个数量的比都可以抽象为两个数的比。
在整数中求一个数是另一个数的几倍,在分数中求一个数是另一个数的几分之几。
出现比以后就把这两种数量间关系的表示法统一起来,都叫做一个数和另一个数的比。
求一个数是另一个数的几倍或几分之几都是用除法计算的,所以通常就把两个数相除也叫做两个数的比。
教材中是通过求红旗的长是宽的几倍和求宽是长的几分之几来引入比的概念的。
传统的算术教材讲比的意义,强调同类量相比。
由于实际应用的需要,要用不同类量的比。
事实上,物理、化学等知识中有很多是不同类量的比,如路程和时间的比,质量和体积的比等。
小学数学教材既讲同类量的比,又讲不同类量的比。
这样,小学生进入中学后就便于理解物理等学科中经常出现的不同类量的比。
当然,不同类的量相比,有关联的才行。
这样,比的结果产生了新的量,例如,路程和时间的比就形成速度,质量和体积的比就形成比重。
教材教学比的意义时,通过求红旗的长是宽的几倍和宽是长的几分之几,引出同类量的比。
接着,又通过路程和时间的关系可以用速度来表示,说明也可以用它们的比来表示,从而引出不同类量的比。
在上面的基础上概括出比的意义。
然后说明两个数的比的表示法,引出比号“∶”以及比的读法。
然后介绍每个比中两项的名称和比值的概念,举例说明比值的求法,以及比和除法的联系。
教材着重说明两点:
(1)比值的表示法,通常用分数表示,也可以用小数表示,有的是用整数表示。
(2)比的后项不能是零。
启发学生思考,联系分数和除法的关系正确地答出为什么。
然后通过“做一做”中的练习,
进一步理解比的意义和比值的求法。
在这之后,进一步说明比也可以用分数的形式表示。
接着通过分数和除法的关系,说明了比和分数之间的关系。
在“做一做”中着重练习把比改成分数形式表示。
然后,教学比的基本性质。
教材联系学过的除法中商不变的性质和分数基本性质,通过“想一想”启发学生找出比中有什么相应的性质,然后概括给出比的基本性质,也说明“0除外”。
接着说明应用这个性质可以把比化成最简单的整数比。
通过例1的3道小题,教学把各种情况的比化成最简整数比的方法。
(1)是整数比,一般要把比的前项和后项都除以它们的最大公约数。
虚线框中说明了计算的方法。
(2)是比的前后项是分数的情况,一般先把比的前后项同乘两个分数的分母的最小公倍数,转化成两个整数的比,再化简。
教材着重说明第一步转化的方法,并在右边的“想”中提出为什么要同乘18。
第二步则留给学生自己算出。
(3)是比的前项是小数的情况,第一步也需要先把小数比转化成整数比,教材在右边“想”中提出怎样做,才能化成两个整数比,引导学生自己想出应用小数点向右移动相同位数的方法化成整数比,再化简,并留给学生填写。
虚线框中的计算方法表示可以省略不写。
通过“做一做”,练习把这几种比化成最简单的整数比。
练习十二,先练习写比,重点是不同类量的比,以及求比值。
通过第3题,大小两个齿轮的齿数比和转数比,使学生初步了解两个齿轮的齿数比和转数比正好是相反的,为后面学习反比例增加一些感性认识。
通过第4题的练习说明,同过去求一个数是另一个数几倍或几分之几一样,相比的两个同类量应该化成同单位数相比才有意义。
然后,练习比值的求法。
第5题,先分着练整数比、分数比、小数比的化简,第10题再把几种情况混合起来练习。
第6、7、8题,则联系具体事例,先练习写出比,再练习化简比,既加深比的意义的理解,又初步了解比在日常实际中的广泛应用。
通过第11题可加深理解除法、分数和比的联系。
第13题,通过写比使学生进一步熟悉计算工程问题所需的一些基础知识。
练习中还安排已知条件是用比的形式表示数量关系的应用题,如第14、15等题。
通过这些题既加深了比和分数与除法三者之间的关系的理解,又复习了已学的分数乘除法应用题,还发展了学生灵活运用知识解决实际问题的能力
。
教学建议
1.这部分内容可以用3课时进行教学。
教学比的意义、比的基本性质,完成练习十二。
2.教学比的意义时,先说明在日常的工作和生活中,常常把两个数量进行比较。
然后由复习旧知识引入同类量的比。
可以提问:
要求红旗的长是宽的几倍,应该怎样算?
学生列式计算3÷2=
后,说明比较的结果是:
长是宽的
倍。
进一步提问:
还可以怎样表示长和宽之间的关系?
引导学生说出求宽是长的几分之几后提问:
怎样做?
学生列式计算2÷3=
后,说明这样比较的结果是:
宽是长的
。
并说明在比较时都是用除法计算的。
在此基础上说明比较两个数量之间的关系还有一种表示方法,即说成是长和宽的比是3比2,或宽和长的比是2比3。
这里还可以说明,不论长和宽的比,或是宽和长的比,都是两个长度的比,相比的两个量是同类类的两个数量的比。
可以举出书上的例子,说明比较路程和时间的关系可以用速度来表示,然后提问:
怎样能求出速度呢?
引导学生用除法来计算出得数后,教师说明它表示汽车每小时行50千米。
然后说明还有一种表示路程和时间关系的方法,就是路程和时间的比是100比2。
然后提问:
在这里路程和时间相比,它们是不是同类的量呢?
使学生初步知道两个不同类的数量之间的关系也可以用比表示。
在上面两个例子的基础上概括出比的意义。
着重说明上面都通过两个数相除来表示两个数量间的关系,都可以用比来表示,所以两个数相除又叫做两个数的比。
3.接着教学比的写法、比号、比的前、后项和比值。
可举书上的例子来说明3∶2。
教学时要使学生弄清以下几点:
(1)比与除法的联系和区别。
比和除法的联系就是比的前项相当于除法中的被除数,比的后项相当于除法中的除数,比值相当于除法的商。
为了使学生明确比和除法、分数的关系可以边教学边填出下面的表:
除法
被除数
÷(除号)
除数
商
分数
分子
──(分数线)
分母
分数值
比
前项
∶(比号)
后项
比值
但比和除法又是有区别的,不能完全混同起来。
除法是一种运算,而比表示两个数的关系。
(2)比值和比的联系和区别。
比值是一个数,是比的前后项相除所得的商,它通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也是整数。
而比必须是表示所比较的两个数,如3∶2,也可以写成分数的形式(但不是分数)。
(3)比的后项不能是零。
可以通过提问书上的“想一想”,启发学生联系比和除法的关系来说明为什么比的后项不能是0。
然后让学生试做“做一做”中的练习题。
学生做完后可以结合“做一做”第1题提出问题:
所写的两个比表示的意义一样不一样?
能不能把比的前项和后项颠倒?
可以结合上面的例子说明,求长是宽的几倍,用长÷宽;求宽是长的几分之几,用宽÷长,所以交换了比的前、后项位置,比的具体含义就变了(实际上得到了一个新的比,叫原来的比的反比,这个概念不必教给学生)。
之后可以说明比也可以写成分数形式。
进一步再引导学生弄清比和分数的联系,让学生说说比的前后项和比值相当于分数的什么。
然后使学生弄清比和分数的区别,明确分数是一种数,而比表示两个数相除的关系。
至于看到3/5、5/3,它们是分数还是比,要看文字叙述的具体情况才能确定。
最后让学生试做“做一做”中的练习题。
4.教学比的基本性质时,可以从复习除法中商不变的规律及分数的基本性质入手,启发学生类推出比的基本性质。
或者在复习以后,给出“2∶4”和“4∶8”,让学生判断这两个比的比值是否相等,并说明理由。
再启发学生依据除法中商不变的规律说明它们是相等的。
即
2∶4=(2×2)∶(4×2)=4∶8,
或反过来4∶8=(4÷2)∶(8÷2)=2∶4。
然后引导学生概括出比的基本性质。
也要强调同时乘上或除以相同的数,必须把0除外。
5.教学应用比的基本性质可以化简比时,可以先复习约分,如14/21=2/3。
再给出实例,如:
“一年级有学生45人,二年级有学生40人。
一年级和二年级学生的人数比是多少?
”说明为什么要化简比,什么叫做最简单的整数比。
使学生明白把45∶40化简成9∶8能使数量间的关系更加简明,并使计算简便;然后联系最简分数的概念使学生明确最简单的整数比就是比的前后项是互质的整数。
然后出示例1的
(1),让学生根据比的基本性质化简比。
在学生把14∶21化简成2∶3后,可以引导小结化简整数比的方法:
用比的前、后项分别除以它们的最大公约数,直到前、后项是互质数。
接着给出
(2),可以启发学生想:
这个比的前、后项都是什么数?
怎样把它们转化成整数比?
根据比的基本性质,可以怎样做?
使学生想到,只要比的前、后项都乘以它们的分母的公倍数18,就可以把分数比转化成整数比,进而化简成最简单的整数比。
然后给出例1的(3),启发学生想,怎样做才能把小数比转化成整数比,再化简成最简单的整数比。
最后可以小结一下化成最简单的整数比的方法。
使学生明确,第一步先要把不是整数比的化成整数比,再利用比的基本性质把比的前、后项同除以它们的最大公约数。
最后让学生试算“做一做”中的练习题。
6.关于练习十二中一些习题的教学建议。
可能有的学生会把体育比赛中的“几比几”误会成数学中的比。
对此,可以指出,体育比赛中使用“:
”号,只表示哪一队对哪一队比赛,各得多少分,不表示两队所得分数的倍比关系,与数学中的比的意义不同。
数学中比的后项不能为零,而比赛时常出现0∶0、2∶0等。
另外,比赛中的几比几不能化简。
第4题中,小强和爸爸身高的比属于同类量相比,可以联系除法来说明相比的同类量的单位大小不一致时,比就失去了它的意义。
如说苹果的重量是梨的2倍,需要先统一它们的单位,不然就不能确定苹果的重量到底是不是比梨重。
因此,要先把两个数量化成同单位的数后才能求出它们的比值。
所以小强和爸爸的身高比应是100∶173。
在让学生写出一些不同类量的数值比后,可以适当引导学生联系已学的数量关系,搞清这些比和比值的具体含义。
例如第1题
(1)的比值实际上是小红走路的速度,
(2)实际上是平均每人做的模型数。
这样做,对学生以后学习正、反比例概念时正确判断比例关系是有益的。
在化简比时,有的学生可能用求比值的方法,也是可以的。
例如
,可以这样化简:
。
但要注意最后结果必须写成最简单的整数比的形式。
例如化简
,要这样算:
。
由于化简比的方法与求比值的方法可以通用,再加上两种计算的结果在形式上有时是一致的,如“8∶12”,化简比和求比值的结果都可以写成“
”,学生就容易混淆。
可以结合第9题,着重说明求比值和化简比的区别:
求比值也就是求“商”,得到的是一个数,可以写成分数、小数,有时能写成整数;而化简比则是为了得到一个最简单的整数比,可以写成真分数或假分数的形式,但是不能写成带分数、小数或整数。
第11题做完后,可以引导学生观察一个数是另一个数的几分之几(或几倍)与比和比值的联系和区别。
使学生看到,从篮球的个数是排球的
,就能知道篮球的个数和排球的比是2∶3,也可写成
;比值是
。
从排球的个数是篮球的
倍,就能知道排球和篮球个数的比是
∶1,可以化简成3∶2,也可以写成
;而比值就是
。
通过第13、14题使学生进一步理解比和比值虽然都表示两个数量间的关系,但比表示出相比的是哪两个数,而比值表示比得的结果。
第14题,解答时要使学生明确,题目中已知条件“去年彩色电视机产量与电视机总产量的比是
,”就表示“彩色电视机的产量占电视机总产量的
”,只是说法不同。
解答时就要求出250000的
是多少。
第15题中,给出的比的形式不是分数,解答时可以引导学生把它改变成分数形式,即5∶4=
。
也就是说,十月份生产鞋的双数相当于九月份生产的
。
第16*题,实际是一道求连比题。
教材中不讲解连比的概念,只在练习中推想出连比的形式,使学有余力的学生初步知道三个数量间的关系也可以用比的形式表示。
从题目条件可以得出,工人和技术人员人数占全厂职工总数的
+
=
,所以干部人数占全厂职工总数的1-
=
。
那么这个厂的工人、技术人员和干部人数的比就是
∶
∶
,化成最简单的整数比是6∶2∶1。
这里要使学生知道三个数的比,比号不表示除。
6∶2∶1≠6÷2÷1。
第17*题,这个班有44人,男生20人,女生24人。
第18*题,三角形与平行四边形的面积的比是:
(
×12×25)∶(16×25)。
化简后得3∶8。
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