高考理科数学试题与答案全国卷2.docx
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高考理科数学试题与答案全国卷2
2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()
A.3B.6C.8D.10
2.将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个
小组由一名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()
A.12种B.10种C.9种D.8种
3.
下面是关于复数
2
的四个命题中,真命题为(
)
z
i
1
P1:
|z|=2,
2
,
P3:
z的共轭复数为1+i,
P4:
z的虚部为-1.
P2:
z=2i
A.P2,P3
B.P1,P2
C.P2,P4
D.P3,P4
4.
设F1,F2是椭圆E:
x2
y21(ab
0)的左右焦点,
P为直线
x
3a上的一点,
a2
b2
2
△F2PF1是底角为30o的等腰三角形,则E的离心率为(
)
1
2
3
4
A.
B.
C.
D.
2
3
4
5
5.
已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=8,则a1+a10=(
)
A.7
B.5
C.-5
D.-7
6.如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,
a2,⋯,aN,输入A、B,则()
A.A+B为a1,a2,⋯,aN的和
B.AB为a1,a2,⋯,aN的算术平均数
2
C.A和B分别是a1,a2,⋯,aN中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1,a2,⋯,aN中最小的数和最大的数
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的
三视图,则此几何体的体积为()
A.6B.9C.12D.18
2012年高考数学试题(理)第1页【共10页】
8.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两
点,|AB|=4
3,则C的实轴长为(
)
A.
2
B.
2
2
C.4
D.8
9.
已知
0
,函数f(x)
sin(x
)在(
)单调递减,则的取值范围是(
)
4
2
A.[1,5]
B.[1,3]
C.(0,1]
D.
(0,2]
2
4
2
4
2
10.
已知函数f(x)
1
,则y
f(x)的图像大致为(
)
1)
x
ln(x
y
y
y
y
1
1
1
1
o1
x
o1
x
o1
x
o1
x
A.
B.
C.
D.
11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球
O的球面上,△ABC是边长为
1的正三角形,SC
为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(
)
A.
2
B.
3
2
D.
2
6
C.
2
6
3
12.设点P在曲线y
1ex上,点Q在曲线y
ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(
)
2
A.1
ln2
B.
2(1
ln2)
C.1
ln2
D.
2(1
ln2)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分
.第13题~第
21题为必考题,每个试题考生必须做
答.第22
题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:
(本大题共
4小题,每小题
5分,共20分.)
13.
已知向量a,b夹角为
45o,且|a|1,|2a
b|
10,则|b|
.
x
y
1
14.设x,y满足约束条件
x
y
3,则zx
2y的取值范围为
.
x
0
y
0
2012年高考数学试题(理)第2页【共10页】
15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元
件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部
元件1
元件3
件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:
小
元件2
时)服从正态分布
N(1000,502),且各元件能否正
常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过
1000小时的概率为
.
16.数列{an}满足an1
(1)nan2n1,则{an}的前60项和为
.
三、解答题:
(解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤
.)
17.(本小题
12分)已知a,b,c分别为△ABC
三个内角
A,B,C
的对边,
acosC
3asinC
bc0.
(Ⅰ)求
A;
(Ⅱ)若
a=2,△ABC的面积为3,求b,c.
18.(本小题12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝
10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理
.
(Ⅰ)若花店某天购进
16
枝玫瑰花,求当天的利润
y(单位:
元)关于当天需求量n
(单位:
枝,n∈N)的函数解析式;
(Ⅱ)花店记录了
100天玫瑰花的日需求量(单位:
枝)
,整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频
数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进
16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:
元),求X的分布列、
数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进
16枝或17
枝玫瑰花,你认为应购进
16枝还是17枝?
请说
明理由.
C1
B1
19.(本小题12
分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1
中,
A1
ACBC
1AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
D
2
(Ⅰ)证明:
DC1⊥BC;
C
B
(Ⅱ)求二面角
A1-BD-C1的大小.
A
20.(本小题满分12
分)设抛物线C:
x2
2py(p
0)的焦点为F,准线为l,A为C上
的一点,已知以
F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(Ⅰ)若∠BFD=90o,△ABD面积为
42,求p的值及圆F的方程;
(Ⅱ)若A、B、F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共
点,求坐标原点到
m,n的距离的比值.
2012年高考数学试题(理)第3页【共10页】
21.(本小题
12分)已知函数f(x)f
(1)ex1
f(0)x
1x2
.
2
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间;
(Ⅱ)若f(x)
1x2
axb,求(a1)b的最大值.
2
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,
做答时请用
2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.
22.(本小题
10分)【选修
4-1:
几何证明选讲】
A
如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线
DE交
于△ABC的外接圆于F,G两点,若CF//AB,证明:
E
G
(Ⅰ)CD=BC;
D
F
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
B
C
23.(本小题10分)【选修4-4:
坐标系与参数方程】
x
2cos
x轴的
已知曲线C1的参数方程是
(
为参数),以坐标原点为极点,
y
3sin
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是
ρ=2.正方形ABCD的顶点都在
C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点
A的极坐标为(2,).
3
(Ⅰ)点A,B,C,D的直角坐标;
2
2
2
2
的取值范围.
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|
+|PB|+|PC|
+|PD|
24.(本小题10分)【选修4-5:
不等式选讲】已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
2012年高考数学试题(理)第4页【共10页】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
理科数学【参考答案】
一、选择题:
1.【答案:
D】
解析:
要在1,2,3,4,5中选出两个,大的是
x,小的是y,共C52
10种选法.
2.【答案:
A】
解析:
只需选定安排到甲地的
1名教师
2名学生即可,共有C21C42种安排方案.
3.【答案:
C】
解析:
经计算z
2
1i,|z|
2,z2
(1i)2=2i,复数z的共轭复数为
1i
1i,z的虚部为1,综上可知P2,P4正确.4.【答案:
C】
解析:
由题意可得,△F2PF1是底角为30o的等腰三角形可得PF2F1F2,即
2(3a
c)2c,所以e
c
3.
2
a
4
5.【答案:
D】
解析:
∵a4
a72,a5a6a4a7
8,
a4
4,a7
2或a4
2,a74,
∵a1,a4,a7,a10成等比数列,
a1
a10
7.
6.【答案:
C】
解析:
由程序框图判断
x>A得A应为a1,a2,⋯,aN中最大的数,由x
a2,⋯,aN中最小的数.
7.【答案:
B】
解析:
由三视图可知,此几何体为底面是斜边为
6的等腰直角三角形(俯视图),高为
3的三棱锥,故其体积为
V
1
13
23
2
3
9.
3
2
8.【答案:
C】
解析:
抛物线的准线方程是
x=4,所以点A(4,2
3)在x2
y2
a2上,将点A代入得
a2
4,所以实轴长为2a
4.
9.【答案:
A】
解析:
由
2k
3
2k
k
1
4k
5
4
4
2
Z得,
2k,kZ,
2
2
2
4
∵
,∴1
5.
0
4
2
2012年高考数学试题(理)第5页【共10页】
10.【答案:
B】
解析:
易知yln(x1)x0对x(1,0)U(0,)恒成立,当且仅当x0时,取等
号,故的值域是(-∞,0).所以其图像为B.
11.【答案:
A】
解析:
易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱
长为1的正四面体,其高为
6,故VOABC
1
3
6
2,VSABC2VOABC
2.
3
3
4
3
12
6
12.【答案:
B】
解析:
因为y
1ex与y
ln(2x)互为反函数,所以曲线
y
1ex与曲线y
ln(2x)关于
2
2
直线y=x对称,故要求|PQ|的最小值转化为求与直线
y=x平行且与曲线相切的直线间的
距离,设切点为
A,则A点到直线
y=x
距离的最小值的
2
倍就是|PQ|的最小值.则
y
(1ex)
1ex
1,
ex
2,即x
ln2,故切点A的坐标为(ln
2,1),因此,
2
2
切点A点到直线y=x距离为d
|ln21|
1
ln2
,所以|PQ|
2d
2(1
ln2).
2
2
二、填空题:
13.【答案:
32】
r2
r2
rr
r
r
r
r
r
r
2
2
r2
r
o
2
解析:
由已知得|2a
b|
(2a
b)
4a
4a
b
b
4|a|
4|a||b|cos45
|b|
4
r
r
r
3
2.
22|b|
|b|2
10,解得|b|
14.【答案:
[3,3]】
解析:
画出可行域,易知当直线Zx
2y经过点(1,2)时,
Z取最小值-3;当直线Z
x2y经过点(3,0)时,Z取最
大值3.故Zx2y的取值范围为[
3,3].
A
C
OB
15.【答案:
3】
8
解析:
由已知可得,三个电子元件使用寿命超过
1000小时的概率均为
1,所以该部件
2
的使用寿命超过
1000小时的概率为[1(1
1
)2]
1
3
.
2
2
8
16.【答案:
1830】
解析:
由an1
(1)nan
2n
a2k
a2k1
4k
3L
①
①得,
1得
a2k
4k
1L
,由②
a2k
1
②
a2k1a2k12③由①得,
S偶
S奇(a2
a1)(a4
a3)(a6a5)L
(a60a59)
2012年高考数学试题(理)第6页【共10页】
1
5
9
L117
(1
117)
30
1770
.由③得,
S奇
(a3
a1)
(a7
a5)
(a11
a9)
2
L
(a59
a57)
2
15
30,所以S60
S偶
S奇(S偶
S奇)
2S奇
1770
2
301830.
三、解答题:
17.解析:
(Ⅰ)由acosC
3asinCb
c
0及正弦定理可得
sinAcosC
3sinAsinC
sinB
sinC0
,sinAcosC
3sinAsinCsin(AC)
sinC
0,3sinAsinC
cosAsinC
sinC
0,QsinC
0
,
3sinA
cosA
1
0,
2sin(A
)1
0,
6
sin(A
1
A
,
A
5
,
A
,
A.
6
)
,Q0
6
6
6
6
2
6
3
(Ⅱ)QSVABC
3,
1bcsinA
3bc
3,
bc4
,Qa
2,A
,
2
4
3
a2
b2
c2
2bccosA
b2
c2
bc
4,
b2
c2
8,解得b
c
2.
18.解析:
(Ⅰ)当n≥16时,y=16×(10-5)=80,当n≤15
时,y=5n-5×(16-n)=10n-80,得
y
10n
80,(n
15)
80,
(n
(nN).
16)
(Ⅱ)(ⅰ)X可能取60,70,80.P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7,
X的分布列为:
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,
X的方差D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
(ⅱ)若花店计划一天购进
17枝玫瑰花,X的分布列为
X
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
X的数学期望E(X)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,因为76.476,所以应购进17枝玫瑰花.
19.解析:
(Ⅰ)
证明:
设AC
BC
1AA1
a,
直三棱
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