江苏专版版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案理.docx
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江苏专版版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案理
第七节对数与对数函数
1.对数
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化:
ax=N⇔x=logaN
loga1=0,logaa=1,alogaN=
运算法则
loga(M·N)=logaM+logaN
a>0,且a≠1,M>0,N>0
loga=logaM-logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
换底公式
换底公式:
logab=(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
2.对数函数的图象与性质
y=logax
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为(0,+∞)
值域为R
过定点(1,0),即x=时,y=
当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y>0
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0;
在区间(0,+∞)上是函数
在区间(0,+∞)上是函数
3.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
[小题体验]
1.已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是______(填序号).
答案:
②
2.函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象必过定点________.
答案:
(-1,-2)
3.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
答案:
4.
(1)2log3-log3-31+log32=________;
(2)4-(lg2+lg5)=________.
答案:
(1)-5
(2)1
1.在运算性质logaMα=αlogaM中,要特别注意条件,在没有M>0的条件下应为logaMα=αloga|M|(α∈N*,且α为偶数).
2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:
(1)务必先研究函数的定义域;
(2)注意对数底数的取值范围.
[小题纠偏]
1.函数y=的定义域为______.
答案:
2.函数f(x)=log(x+1)(2x-1)的单调递增区间是______.
答案:
3.已知函数y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上为减函数,则a的取值范围为________.
解析:
因为a>0,所以g(x)=2-ax为减函数,即任取x1,x2∈[0,1],且x1<x2,有g(x1)>g(x2),又logag(x1)>logag(x2),所以a>1.而又因为g(x)=2-ax在[0,1]恒大于0,所以2-a>0,所以a<2,综上,1<a<2.
答案:
(1,2)
[题组练透]
1.计算:
(1)4log23=________.
(2)log225·log34·log59=________.
解析:
(1)4log23=22log23=2log29=9
(2)原式=··
=··=8.
答案:
(1)9
(2)8
2.计算÷100
=______.
解析:
原式=(lg2-2-lg52)×100
=lg×10=lg10-2×10
=-2×10=-20.
答案:
-20
3.lg-lg+lg=________.
解析:
lg-lg+lg
=(5lg2-2lg7)-··3lg2+(lg5+2lg7)
=(lg2+lg5)=.
答案:
[谨记通法]
对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简;
(2)将同底对数的和、差、倍合并;
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
[典例引领]
1.(2018·苏北三市三模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为________.
解析:
设C(x0,logax0),则2logaxB=logax0,
即x=x0,解得xB=,
故xC-xB=x0-=2,解得x0=4,
即B(2,2loga2),A(2,3loga2),
由AB=2,可得3loga2-2loga2=2,解得a=.
答案:
2.若不等式logax>(x-1)2恰有三个整数解,则a的取值范围为________.
解析:
由不等式logax>(x-1)2恰有三个整数解,得a>1.在同一直角坐标系中画出y=logax(a>1)与y=(x-1)2的图象,可知不等式的整数解集为{2,3,4},则应满足解得≤a<.
答案:
[,)
[由题悟法]
研究对数型函数图象的思路
(1)研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
[即时应用]
(2018·常州一中模拟)设f(x)=|lgx|,a,b为实数,且0<a<b.
(1)若a,b满足f(a)=f(b),求证:
ab=1;
(2)在
(1)的条件下,求证:
由关系式f(b)=2f所得到的关于b的方程g(b)=0,存在b0∈(3,4),使g(b0)=0.
证明:
(1)结合函数图象,由f(a)=f(b)可判断a∈(0,1),b∈(1,+∞),
从而-lga=lgb,即lgab=0.
故ab=1.
(2)因为0<a<b,
所以>=1.
由已知可得b=2,即4b=a2+b2+2ab,得+b2+2-4b=0,g(b)=+b2+2-4b,因为g(3)<0,g(4)>0,根据零点存在性定理可知,函数g(b)在(3,4)内一定存在零点,即存在b0∈(3,4),使g(b0)=0.
[锁定考向]
高考对对数函数的性质及其应用的考查,多以填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.
常见的命题角度有:
(1)比较对数值的大小;
(2)简单的对数不等式;
(3)对数函数性质的综合问题.
[题点全练]
角度一:
比较对数值的大小
1.已知a=log29-log2,b=1+log2,c=+log2,则a,b,c的大小关系为________(用“>”表示).
解析:
a=log29-log2=log23,
b=1+log2=log22,c=+log2=log2,
因为函数y=log2x是增函数,且2>3>,
所以b>a>c.
答案:
b>a>c
角度二:
简单的对数不等式
2.(2018·启东联考)已知一元二次不等式f(x)>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),则f(lgx)<0的解集为________.
解析:
因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),所以一元二次不等式f(x)<0的解集为(1,2),由f(lgx)<0可得1<lgx<2,从而解得10<x<100,所以不等式的解集为(10,100).
答案:
(10,100)
角度三:
对数函数性质的综合问题
3.(2019·盐城中学第一次检测)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)记函数g(x)=10f(x)+3x,求函数g(x)的值域;
(3)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.
解:
(1)∵函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x),
∴解得-2<x<2.
∴函数f(x)的定义域为(-2,2).
∵f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)∵f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),
∴g(x)=10f(x)+3x=-x2+3x+4
=-2+(-2<x<2),
∴g(x)max=g=,g(x)min=g(-2)=-6.
∴函数g(x)的值域是.
(3)∵不等式f(x)>m有解,∴m<f(x)max,
令t=4-x2,由于-2<x<2,∴0<t≤4,
∴m<lg4.
∴实数m的取值范围为(-∞,lg4).
[通法在握]
1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
2.比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.
(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.
(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
[演练冲关]
1.(2019·苏州模拟)已知函数f(x)=logax2+a|x|(a>0,且a≠1),若f(-3)<f(4),则不等式f(x2-3x)<f(4)的解集为________.
解析:
易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
∵f(-x)=logax2+a|x|=f(x),∴f(x)在定义域上为偶函数,∴f(-3)=f(3).
∵f(-3)<f(4),∴f(3)<f(4),∴a>1,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
故不等式f(x2-3x)<f(4)满足解得-1<x<4,且x≠0,x≠3.
故不等式f(x2-3x)<f(4)的解集为(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).
答案:
(-1,0)∪(0,3)∪(3,4)
2.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f
(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?
若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:
(1)因为f
(1)=1,所以log4(a+5)=1,
因此a+5=4,a=-1,
这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,
函数f(x)的定义域为(-1,3).
令g(x)=-x2+2x+3,
则g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减.
又y=log4x在(0,+∞)上递增,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,
则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有解得a=.
故存在实数a=,使f(x)的最小值为0.
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1.(2018·淮安调研)函数f(x)=log2(3x-1)的定义域为________.
解析:
由3x-1>0,解得x>,所以函数f(x)的定义域为.
答案:
2.函数f(x)=log3(x2-2x+10)的值域为________.
解析:
令t=x2-2x+10=(x-1)2+9≥9,故函数f(x)可化为y=log3t,t≥9,此函数是一个增函数,其最小值为log39=2,故f(x)的值域为[2,+∞).
答案:
[2,+∞)
3.计算log23log34+()
log34=________.
解析:
log23log34+()
=·+3
=2+3log32=2+2=4.
答案:
4
4.(2019·长沙调研)已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则f(log32)=________.
解析:
∵函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),将x=-2,y=-1代入f(x)=3x+b,得3-2+b=-1,∴b=-,∴f(x)=3x-,
则f(log32)=3log32-=2-=.
答案:
5.若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是________.
解析:
当x≤2时,y=-x+6≥4.
因为f(x)的值域为[4,+∞),
所以当a>1时,3+logax>3+loga2≥4,所以loga2≥1,
所以1<a≤2;当0<a<1时,3+logax<3+loga2,不合题意.故a∈(1,2].
答案:
(1,2]
6.(2018·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-log2x,则不等式f(x)<0的解集是________.
解析:
当x<0时,f(x)=-f(-x)=log2(-x)-1,f(x)<0,即log2(-x)-1<0,解得-2<x<0;当x>0时,f(x)=1-log2x,f(x)<0,即1-log2x<0,解得x>2,综上,不等式f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).
答案:
(-2,0)∪(2,+∞)
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1.(2019·镇江中学调研)函数y=log2x+log2(4-x)的值域为________.
解析:
由题意知,x>0且4-x>0,∴f(x)的定义域是(0,4).
∵函数f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)],
∴0<x(4-x)≤2=4,当且仅当x=2时等号成立.
∴log2[x(4-x)]≤2,∴函数y=log2x+log2(4-x)的值域为(-∞,2].
答案:
(-∞,2]
2.(2018·镇江中学学情调研)已知函数f(x)=lg的定义域是,则实数a的值为________.
解析:
因为函数f(x)=lg的定义域是,所以当x>时,1->0,即<1,所以a<2x,所以x>log2a.令log2a=,得a=2=,所以实数a的值为.
答案:
3.若函数f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为________.
解析:
令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上递减,则有即解得1≤a<2,即a∈[1,2).
答案:
[1,2)
4.(2019·连云港模拟)已知函数f(x)=lg,若f(a)=,则f(-a)=________.
解析:
因为f(x)=lg的定义域为-1<x<1,
所以f(-x)=lg=-lg=-f(x),
所以f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-.
答案:
-
5.函数f(x)=+lg的定义域为__________.
解析:
由得故函数定义域为(2,3)∪(3,4].
答案:
(2,3)∪(3,4]
6.(2018·苏州调研)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是________.
解析:
当x≤2时,f(x)∈[6,+∞),所以当x>2时,f(x)的取值集合A⊆[6,+∞).当0<a<1时,A=,不符合题意;当a>1时,A=(loga2+5,+∞),若A⊆[6,+∞),则有loga2+5≥6,解得1<a≤2.
答案:
(1,2]
7.函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为______.
解析:
依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=2-≥-,
当且仅当log2x=-,即x=时等号成立,
因此函数f(x)的最小值为-.
答案:
-
8.设函数f(x)=
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是________________.
解析:
由f(a)>f(-a)得
或
即或
解得a>1或-1<a<0.
答案:
(-1,0)∪(1,+∞)
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0,当x>0时,f(x)=log
x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
解:
(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=log
(-x).
因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).
所以函数f(x)的解析式为
f(x)=
(2)因为f(4)=log
4=-2,f(x)是偶函数,
所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以|x2-1|<4,解得-<x<,
即不等式的解集为(-,).
10.(2019·如东上学期第一次阶段检测)已知函数f(x)=loga(x+1)+loga(3-x)(a>0且a≠1),且f
(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)若不等式f(x)≤c恒成立,求实数c的取值范围.
解:
(1)因为f
(1)=2,所以2loga2=2,
故a=2,
所以f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),
要使函数f(x)有意义,需有
解得-1<x<3,
所以f(x)的定义域为(-1,3).
(2)由
(1)知,f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)
=log2[(1+x)(3-x)]=log2(-x2+2x+3)
=log2[-(x-1)2+4],
故当x=1时,f(x)有最大值2,
所以c的取值范围是[2,+∞).
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.(2019·南京五校联考)已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a),若函数f(x)图象上存在点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称,则a的取值范围是________.
解析:
设点P(x0,y0)(x0<0),则点P关于y轴的对称点Q(-x0,y0)在函数g(x)的图象上,
所以
消去y0,可得x+ex0-=(-x0)2+ln(-x0+a),
所以ex0-=ln(-x0+a)(x0<0).
令m(x)=ex-(x<0),n(x)=ln(a-x)(x<0),问题转化为函数m(x)与函数n(x)的图象在x<0时有交点.
在平面直角坐标系中分别作出函数m(x)与函数n(x)的图象如图所示.
当n(x)=ln(a-x)的图象过点时,a=.
由图可知,当a<时,函数m(x)与函数n(x)的图象在x<0时有交点.
故a的取值范围为(-∞,).
答案:
(-∞,)
2.(2018·昆山测试)已知函数f(x)=lg(k∈R).
(1)当k=0时,求函数f(x)的值域;
(2)当k>0时,求函数f(x)的定义域;
(3)若函数f(x)在区间[10,+∞)上是单调增函数,求实数k的取值范围.
解:
(1)当k=0时,f(x)=lg,定义域为(-∞,1).
因为函数y=(x<1)的值域为(0,+∞),
所以f(x)=lg的值域为R.
(2)因为k>0,所以关于x的不等式>0⇔(x-1)(kx-1)>0⇔(x-1)>0.(*)
①若0<k<1,则>1,不等式(*)的解为x<1或x>;
②若k=1,则不等式(*)即(x-1)2>0,其解为x≠1;
③若k>1,则<1,不等式(*)的解为x<或x>1.
综上,当0<k≤1时,函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪;
当k>1时,函数f(x)的定义域为∪(1,+∞).
(3)令g(x)=,则f(x)=lgg(x).
因为函数f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,且对数的底数10>1,
所以当x∈[10,+∞)时,g(x)>0,且函数g(x)在[10,+∞)上是单调增函数.
而g(x)===k+,
若k-1≥0,则函数g(x)在[10,+∞)上不是单调增函数;
若k-1<0,则函数g(x)在[10,+∞)上是单调增函数.
所以k<1.①
因为函数g(x)在[10,+∞)上是单调增函数,
所以要使当x∈[10,+∞)时,g(x)>0,必须g(10)>0,
即>0,解得k>.②
综合①②知,实数k的取值范围是.
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