历年初中数学竞赛试题精选.doc
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初中数学竞赛专项训练
(1)
1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。
A.111 B.1000 C.1001 D.1111
解:
依题意设六位数为,则=a×105+b×104+c×103+a×102+b×10+c=a×102(103+1)+b×10(103+1)+c(103+1)=(a×103+b×10+c)(103+1)=1001(a×103+b×10+c),而a×103+b×10+c是整数,所以能被1001整除。
故选C
方法二:
代入法
2、若,则S的整数部分是____________________
解:
因1981、1982……2001均大于1980,所以,又1980、1981……2000均小于2001,所以,从而知S的整数部分为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n个(n≤100)学生进来,凡号码是n的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。
解:
首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( )
A.m(1+a%)(1-b%)元 B.m·a%(1-b%)元
C.m(1+a%)b%元 D.m(1+a%b%)元
解:
根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1+a%)元,因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1+a%)b%元。
应选C
5、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么的所有可能的值为( )
A.0 B.1或-1 C.2或-2 D.0或-2
解:
由已知,a,b,c为两正一负或两负一正。
①当a,b,c为两正一负时:
;
②当a,b,c为两负一正时:
由①②知所有可能的值为0。
应选A
c
A
B
C
a
b
6、在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若∠B=60°,则的值为 ( )
A. B.
C.1 D.
解:
过A点作AD⊥CD于D,在Rt△BDA中,由于∠B=60°,所以DB=,AD=。
在Rt△ADC中,DC2=AC2-AD2,所以有(a-)2=b2-C2,整理得a2+c2=b2+ac,从而有
应选C
7、设a<b<0,a2+b2=4ab,则的值为 ( )
A. B. C.2 D.3
解:
因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a
应选A
8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9、已知abc≠0,且a+b+c=0,则代数式的值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
10、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为_____
解:
设该商品的成本为a,则有a(1+p%)(1-d%)=a,解得
11、已知实数x、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______________
解:
由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1)·y=z2+9,所以x+1,y是t2-6t+z2+9=0的两个实根,方程有实数解,则△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0,从而知z=0,解方程得x+1=3,y=3。
所以x+2y+3z=8
12.气象爱好者孔宗明同学在x(x为正整数)天中观察到:
①有7个是雨天;②有5个下午是晴天;③有6个上午是晴天;④当下午下雨时上午是晴天。
则x等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解:
选C。
设全天下雨a天,上午晴下午雨b天,上午雨下午晴c天,全天晴d天。
由题可得关系式a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得2d-a=4,即d=2,故b=4,c=3,于是x=a+b+c+d=9。
13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇,其速度依次为每小时、、、千米,且满足>>>>0,其中,为水流速度(千米/小时),它们在河流中进行追逐赛。
规则如下:
(1)四条艇在同一起跑线上,同时出发,①、②、③是逆流而上,④号艇顺流而下。
(2)经过1小时,①、②、③同时掉头,追赶④号艇,谁先追上④号艇谁为冠军,问冠军为几号?
解:
出发1小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为
各艇追上④号艇的时间为
对>>>有,即①号艇追上④号艇用的时间最小,①号是冠军。
14.有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用12台水泵需5小时,用10台水泵需7小时,若要在2小时内抽干,至少需水泵几台?
解:
设开始抽水时满池水的量为,泉水每小时涌出的水量为,水泵每小时抽水量为,2小时抽干满池水需n台水泵,则
由①②得,代入③得:
∴,故n的最小整数值为23。
答:
要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台
15.某宾馆一层客房比二层客房少5间,某旅游团48人,若全安排在第一层,每间4人,房间不够,每间5人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每3人,房间不够,每间住4人,则有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间?
解:
设第一层有客房间,则第二层有间,由题可得
由①得:
,即
由②得:
,即
∴原不等式组的解集为
∴整数的值为。
答:
一层有客房10间。
16、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做10个零件,这样8个人一天做的零件超过200个,后来改进技术,每人一天又多做27个零件,这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件,问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍?
解:
设劳动竞赛前每人一天做个零件
由题意
解得
∵是整数 ∴=16
(16+37)÷16≈3.3
故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。
初中数学竞赛专项训练
(2)
(方程应用)
一、选择题:
1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B,若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A之后35分钟到达B,甲乙的速度之比为( )
A.3∶5 B.4∶3 C.4∶5 D.3∶4
答:
D。
解:
设甲的速度为千米/时,乙的速度为千米/时,根据题意知,从出发地点到A的路程为千米,到B的路程为千米,从而有方程:
,化简得,解得不合题意舍去)。
应选D。
2、某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件,如果获利润最大的产品是第R档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么R等于 ( )
A.5 B.7 C.9 D.10
答:
C。
解:
第k档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为
所以,生产第9档次产品获利润最大,每天获利864元。
3、某商店出售某种商品每件可获利m元,利润为20%(利润=),若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元,则提价后的利润率为 ( )
A.25% B.20% C.16% D.12.5%
答:
C。
解:
若这商品原来进价为每件a元,提价后的利润率为,
则解这个方程组,得,即提价后的利润率为16%。
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