初三1115用.docx
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初三1115用
2015-2016学年度阳光学校圆基础训练
评卷人
得分
一、选择题(题型注释)
1.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于F,若AC=4,则OF的长为().
A.1B.
C.2D.4
2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为,AC=2,则sinB的值是().
A.B.C.D.
3.如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需()个五边形.
A.6B.7C.8D.9
4.如图,已知⊙O的直径AB=12,E、F为AB的三等分点,M、N为弧AB上两点,且∠MEB=∠NFB=60°,则EM+FN=()
A、B、C、D、33
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题(题型注释)
5.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于°.
6.如图,破残的轮子上弓形的弦AB为4cm,高CD为1cm,则这个轮子的直径大小为cm.
7.如图,将半径为3的圆形纸片,按下列顺序折叠.若
和
都经过圆心O,则阴影部分的面积是(结果保留π)
8.如图,菱形ABCD的边长为8cm,∠BAD=120°,半径为cm的⊙O在其内部逆时针连续滚动,且总是保持与菱形ABCD的边相切,当⊙O第一次回到起始位置时,圆心O所走过的路程长度为cm.
9.如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在延长线上点D处,折痕交OA于点C,整个阴影部分的面积.
10.如图,AB是⊙O的弦,AB=4,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是________.
11.如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于E点,BC交⊙O于D点,CD=BD,∠C=70°.现给出以下四个结论:
①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE;④CE•AB=2BD2.其中正确结论的序号是.
12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是.
评卷人
得分
三、计算题(题型注释)
评卷人
得分
四、解答题(题型注释)
13.(本小题8分)如图所示,⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延长线于D点,OC交AB于E点.
(1)求∠D的度数;
(2)若,求线段的长.
14.如图,以AB为直径的⊙O经过AC的中点D,DE⊥BC于点E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)当DE=1,∠C=30°时,求图中阴影部分的面积.
15.如图,在半径为5的扇形
中,
=90°,点
是弧
上的一个动点(不与点
、
重合)
,
,垂足分别为
、
.
(1)当BC=6时,求线段
的长;
(2)在
中是否存在长度保持不变的边?
如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;
16.如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.
(1)弦长AB等于(结果保留根号);
(2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数;
(3)当AC的长度为多少时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似?
请写出解答过程.
17.
(1)如图,正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上,连接BF、DF.求证:
BF=DF;
(2)如图,在▱ABCD中,AD=4,AB=8,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,求阴影部分的面积.(结果保留π)
18.如图,△ABC为等边三角形.O为BC的中垂线AH上的动点,⊙O经过B,C两点,D为弧上一点,D,A两点在BC边异侧,连接AD,BD,CD.
(1)如图1,若⊙O经过点A,求证:
BD+CD=AD;
(2)如图2,圆心O在BD上,若∠BAD=45°;求∠ADB的度数;
(3)如图3,若AH=OH,求证:
BD2+CD2=AD2.
评卷人
得分
五、判断题(题型注释)
参考答案
1.C.
【解析】
试题分析:
根据垂径定理求出AD=CD=2,利用AAS定理证得△ADO≌△OFE,推出OF=AD=2.
故选:
C.
考点:
全等三角形的判定与性质;垂径定理.
2.A.
【解析】
试题分析:
求角的三角函数值,可以转化为求直角三角形边的比,连接DC.根据直径所对的圆周角是直角,得∠ACD=90°.根据同弧所对的圆周角相等,得∠B=∠D.∴sinB=sinD==.
故选:
A.
考点:
锐角三角函数的定义;圆周角定理;三角形的外接圆与外心.
3.B.
【解析】
试题解析:
五边形的内角和为(5-2)•180°=540°,
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,
如图,
延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,
360°÷36°=10,
∵已经有3个五边形,
∴10-3=7,
即完成这一圆环还需7个五边形.
故选B.
考点:
多边形内角与外角.
4.C.
【解析】
试题解析:
如图,过点O作直线CD⊥EM,分别交EM,NF的延长线于点C、点D;
连接OM、ON;
∵OA=OB,AE=BF,
∴OE=OF;
又∵圆O的直径AB=12,E、F为AB的三等分点,
∴OE=OF=2,OM=6;
∵∠MEB=∠NFB=60°,
∴CO=DO=2sin60°=,EC=DF=2cos60°=1;
又∵OC⊥EM,OD⊥DN,
∴CM=DN;
∴EM+FN=CM+1+DN-1=2CM;
由勾股定理得:
CM2=OM2-OC2=36-3=33,
∴CM=,2CM=2
故选C.
考点:
1.垂径定理;2.勾股定理.
5.130
【解析】
试题分析:
∵四边形ABCD内接与⊙O,∴∠A+∠C=180°,∵∠A=115°,∴∠C=65°,∴∠BOD=2∠C=130°;
考点:
1.圆内接四边形的性质;2.圆周角定理.
6.5
【解析】
试题解析:
连接OB,
Rt△OBD中,BD=2cm;
根据勾股定理得:
OD2+BD2=OB2,
即(OB-1)2+22=OB2,
解得OB=2.5cm(负值舍去);
故轮子的直径为5cm.
考点:
1.圆锥的计算;2.勾股定理.
7.3π.
【解析】
试题分析:
作OD⊥AB于点D,连接AO,BO,CO,则由题意可知,阴影部分的面积等于扇形AOC的面积,
∵弧AB和弧BC都经过圆心,∴OD=
AO,∴∠OAD=30°,∴∠AOD=60°∴∠AOB=2∠AOD=120°,同理∠BOC=120°,∴∠AOC=360°-120°-120°=120°,∴阴影部分的面积=S扇形AOC=
=
=3π.
考点:
翻折变换(折叠问题).
8.16.
【解析】
试题分析:
当圆在⊙O的位置是,连接OB,连接O和切点E.∵菱形ABCD中,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∴∠OBE=30°,∴BE===3(cm);当⊙O在⊙O'时,∠O'CF=60°,则CF===1(cm),则EF=8﹣3﹣1=4(cm),则当⊙O第一次回到起始位置时,圆心O所走过的路程长度为4×4=16(cm).
故答案是:
16.
考点:
轨迹.
9.9π﹣12.
【解析】
试题分析:
连接OD交BC于点E,扇形的面积==9π,由翻折的性质可知:
OE=DE=3,在Rt△OBE中,根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°,然后在Rt△COB中,可求得CO=2,从而可求得△COB的面积=6,最后根据阴影部分的面积=扇形面积﹣2倍的△COB的面积得,阴影部分的面积为=9π﹣12.
故答案为:
9π﹣12.
考点:
翻折变换(折叠问题);扇形面积的计算.
10.
【解析】
试题解析:
∵点M,N分别是AB,BC的中点,
∴MN=AC
∴当AC取得最大值时,MN就取得最大值,
当AC时直径时,最大,
如图,
∵∠ACB=∠D=45°,AB=6,
∴AD=6,
∴MN=AD=3.
考点:
1.三角形中位线定理;2.等腰直角三角形;3.圆周角定理.
11.②④
【解析】
试题解析:
连接AD、BE,
∵AB为⊙O的直径,
∴AD⊥BD,AE⊥BE,
∵CD=BD,
∴AC=AB,所以②对.
∴∠C=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=40°≠45°,所以①错.
∵∠ABE=90°-∠BAC=50°≠40°,
∴AE=BE,所以③错.
∵∠C=∠ABC,∠CEB=∠ADB=90°,
∴△CEB∽△BDA,
∴,
∴CE•AB=CB•BD=2BD2,所以④对.
考点:
1.相似三角形的判定与性质;2.等腰三角形的判定与性质;3.圆周角定理.
12.4.8
【解析】
试题分析:
设EF的中点为P,⊙P与AB的切点为D,连接PD,连接CP,CD,则有PD⊥AB;由勾股定理的逆定理知,△ABC是直角三角形PC+PD=EF,由三角形的三边关系知,PC+PD>CD;只有当点P在CD上时,PC+PD=EF有最小值为CD的长,即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时,EF=CD有最小值,由直角三角形的面积公式知,此时CD=BC·AC÷AB=4.8.
考点:
切线的性质;垂线段最短;勾股定理的逆定理
13.
(1)∠D=45°;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)连接OA,由圆周角定理,可得∠AOC=2∠ABC=30°,再由OA=OC,根据根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ACO的度数,再由∠BAC及∠ABC的度数,求出∠ACB的度数,由∠ACB-∠ACO求出∠BCE的度数,由AD∥OC,根据两直线平行同位角相等可得∠D=∠BCE,可得出∠D的度数;
(2)由∠ACB的度数,利用邻补角定义求出∠ACD的度数,再由∠AEC为三角形BEC的外角,利用外角性质得到∠AEC=∠ABC+∠BCE,可得出∠AEC的度数,进而得到∠AEC=∠ACD,在三角形ACD中,由∠ACD及∠D的度数,求出∠CAD的度数,可得∠CAD=∠ACE,利用两对对应角相等的三角形相似可得△ACE∽△DAC,,根据相似三角形的对应边成比例可得
,代入数据求得AC即可..
试题解析:
解:
(1)连接OA,如图所示:
∵∠AOC=2∠ABC,又∠ABC=15°,
∴∠AOC=30°,
又OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=
=75°,
又∠BAC=45°,∠ABC=15°,
∴∠ACB=120°,
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-75°=45°,
又OC∥AD,
∴∠D=∠OCB=45°;
∵∠ABC=15°,∠OCB=45°,
∴∠AEC=60°,
又∠ACB=120°∴∠ACD=60°,
∴∠AEC=∠ACD=60°,
∵∠D=45°,∠ACD=60°,
∴∠CAD=75°,又∠OCA=75°,
∴∠CAD=∠OCA=75°,
∴△ACE∽△DAC,
∴
,
∵,
∴
.
解得AC=2
.
考点:
相似三角形的判定与性质;圆周角定理;等腰三角形的性质;三角形的外角性质;三角形的内角和定理.
14.
(1)证明详见解析;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)连接OD,利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°,从而判断DE是圆的切线;
(2)由∠C=30°,DE=1,∠DEC=90°,求得DC=2,由于OD∥BC,于是得到∠ODA=30°,根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°,于是得到OA=,阴影部分面积即可求得.
试题解析:
解:
(1)连接OD,
∵AB是⊙O的直径,D是AC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE,
∵点D在圆上,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵∠C=30°,DE=1,∠DEC=90°,
∴DC=2,
∵OD∥BC,
∴∠ODA=30°,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA=30°,
∴∠AOD=120°,
∴OA=,
∴阴影部分面积S=﹣×2×=.
考点:
切线的判定;扇形面积的计算.
15.
(1)OD=.
(2)3.
【解析】
试题分析:
(1)求出BD,根据勾股定理求出OD即可;
(2)过点O作AB的垂直平分线,与AB交于点F,与弧AB交于点M,求出AF,得出AB长度,根据垂径定理得出D、E分别是BC、AC中点,根据三角形中位线求出即可.
试题解析:
(1)∵OD⊥BC,
∴BD=BC=2,
∴OD=.
(2)存在,DE是不变的,
理由是:
如图,连接AB,
过点O作AB的垂直平分线,与AB交于点F,与弧AB交于点M,
则OM平分∠AOB与弧AB,
∴∠AOF=60°,
在Rt△AOF中,∵∠AOF=60°,OA=2,
∴AF=OA=3,
∴AB=2AF=6,
由垂径定理可知,点D、E分别是BC和CA的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AB=3.
考点:
1.垂径定理;2.勾股定理;3.三角形中位线定理.
16.
(1);
(2)100°;(3)当AC的长度为时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似.
【解析】
试题分析:
(1)过点O作OE⊥AB于E,由垂径定理即可求得AB的长;
(2)连接OA,由OA=OB,OA=OD,可得∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,则可求得∠DAB的度数,又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半,即可求得∠DOB的度数;
(3)由∠BCO=∠A+∠D,可得要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°,然后由相似三角形的性质即可求得答案.
试题解析:
(1)过点O作OE⊥AB于E,
则AE=BE=AB,∠OEB=90°,
∵OB=2,∠B=30°,
∴BE=OB•cos∠B=2×=,
∴AB=2;
(2)连接OA,
∵OA=OB,OA=OD,
∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D,
又∵∠B=30°,∠D=20°,
∴∠DAB=50°,
∴∠BOD=2∠DAB=100°;
(3)∵∠BCO=∠A+∠D,
∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D,
∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°,
此时∠BOC=60°,∠BOD=120°,
∴∠DAC=60°,
∴△DAC∽△BOC,
∵∠BCO=90°,
即OC⊥AB,
∴AC=AB=.
∴当AC的长度为时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似.
考点:
1.圆周角定理;2.垂径定理;3.相似三角形的判定与性质;4.解直角三角形.
17.
(1)证明见解析,
(2)12-π.
【解析】
试题分析:
(1)根据正方形的性质得出BE=DG,再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF,
(2)过D点作DF⊥AB于点F.可求▱ABCD和△BCE的高,观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积,计算即可求解.
试题解析:
(1)证明:
∵四边形ABCD和AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG=EF=FG,∠BEF=∠DGF=90°,
∴BE=AB-AE,DG=AD-AG,
∴BE=DG,
在△BEF和△DGF中,
,
∴△BEF≌△DGF(SAS),
∴BF=DF;
(2)解:
过D点作DF⊥AB于点F.
∵AD=4,AB=8,∠A=30°,
∴DF=AD•sin30°=2,EB=AB-AE=4,
∴阴影部分的面积:
.
考点:
1.全等三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质;3.正方形的性质;4.扇形面积的计算.
18.
(2)30°
(1)(3)见解析
【解析】
试题分析:
(1)利用图1,在DA上截取DM=DC,连接MC,由于⊙O经过点A,由∠ADC=∠ABC=60°,得出△MDC为等边三角形,易证△AMC≌△△BDC,可得AM=BD,即可得出结论,
(2)由点O在BD上,即BD为直径,可得∠BCD=90°,结合AH⊥BC,可得AO∥CD,∠OAD=∠ADC,由角的关系可得∠CAD=∠CDA,可得AC=DC,BC=DC,∠BDC=45°,即可求出∠ADB的值.
(3)利用图3,连接OB,OC,以点C为中心,把△ACD顺时针旋转60°,得到△BCN,连接DN,则AD=BN,DN=DC,∠ACB=∠DCN=60°,由AH=OH,可得△DCN,△BOC均为等边三角形,∠BOC=∠CDN=60°,∠BDC=30°,∠BDN=90°,由勾股定理可得BD2+CD2=BN2,即可得出BD2+CD2=AD2.
试题解析:
证明:
(1)如图1,在DA上截取DM=DC,连接MC,
∵⊙O经过点A,
∴∠ADC=∠ABC=60°,
∴△MDC为等边三角形,
∴MC=DC,∠MCD=∠ACB=60°,
∴∠BCD=∠ACM,
又∵∠MAC=∠DBC,AC=BC,
∴△AMC≌△△BDC,
∴AM=BD,
∴BD+CD=AD,
(2)∵点O在BD上,即BD为直径,
∴∠BCD=90°,
∵AH⊥BC,
∴AO∥CD,
∴∠OAD=∠ADC,
∵∠BAD=45°,
∴∠OAD=∠CAD=15°,
∴∠CAD=∠CDA=15°,
∴AC=DC,
∴BC=DC,
∴∠BDC=45°,
∴∠ADB=30°.
(3)如图3,连接OB,OC,以点C为中心,把△ACD顺时针旋转60°,得到△BCN,连接DN,则AD=BN,DN=DC,∠ACB=∠DCN=60°.
∵AH=OH,
∴△DCN,△BOC均为等边三角形,∠BOC=∠CDN=60°,
∴∠BDC=30°,
∴∠BDN=90°,
∴BD2+CD2=BN2,
∴BD2+CD2=AD2.
考点:
圆的综合题
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