立体几何大题训练与答案.docx
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立体几何大题训练与答案
1、如图,正方形
ABCD所在平面与平面四边形
ABEF所在平面互相垂直,
△ABE是等腰
直角三角形,
ABAE2,FAFE,
AEF45
E
(1)线段CD的中点为P,线段AE的中点为M,
FM.
求证:
PM//平面BCE;
(2)求直线CF与平面BCE所成角的正切值.
A
B
D
.
C
解:
(1)取AB的中点为N,连MN,PN
则MN//EB,PN//BC
P
面PMN//面EBC,
PM//平面BCE
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)先证出FE
面EBC,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
FCE为直线CF与平面BCE所成角,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11分
tanFCE
FE
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
EC6
2、己知多面体
ABCDE中,DE
平面ACD,AB//DE,AC=AD=CD=DE=2
,AB=1,O
为CD的中点.
B
(1)
求证:
AO
平面CDE;
A
(2)
求直线BD与平面CBE所成角的正弦值
CE
O
D
3、如图,在△ABC中,C90,ACBC3a,点P在AB上,PE//BC交AC于
E,PF//AC交BC于F.沿PE将△APE翻折成△A'PE,使平面A'PE平面
ABC;沿PF将△BPF翻折成△B'PF,使平面B'PF平面ABC.
(1)求证:
B'C//平面A'PE;
(2)若AP2PB,求二面角A'PCE的平面角的正切值.
C
E
A
A'
B'CEA
FP
F
BBP
解:
(1)因为FC//PE,FC
平面A'PE,所以FC//平面A'PE
因为平面A'PE平面PEC,且A'EPE,所以A'E
平面
同理,B'F
平面ABC,所以B'F//A'E,从而B'F//平面
所以平面B'CF//平面A'PE,从而B'C//平面A'PE.
(2)因为AC
BC
3a,AP
2BP,
所以CEa,EA
2a,PE
2a,PC5a.
过E作EM
PC,垂足为M,连结AM.
A'
.
ABC.⋯2分
A'PE.⋯4分
⋯6分
⋯8分
B'
C
E
M
A
F
P
B
(第20题)
由
(1)知A'E平面ABC,可得AE
PC,
所以PC面AEM,所以AM
PC.
所以A'ME即为所求二面角
A'PC
E的平面角,可记为.
⋯12分
在Rt△PCE中,求得EM
2
5a,
5
所以tan
AE
2a
5
.
⋯15分
EM
2
5a
5
、如图,
DA
平面
ABC
,
ED
平面
BCD
,
DE=DA=AB=AC.
BAC1200,
M
为
BC
4
中点.
E
(1)求直线EM与平面BCD所成角的正弦值;
(2)P为线段DM上一点,且APDM,求证:
AP//DE.
D
P
A
C
M
B
解:
(1)
ED
平面BCD,
DM为EM在平面BCD上的射影,
EMD为EM与平面BCD所成角.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
分
DA
平面ABC,
DA
AB,DA
AC,
E
设AB
a,又
DA
AB
AC,
DC
DB
2a.
在△ABC中,
BAC120,BC
3a,
D
又
M为BC中点,
DM
BC,
BM
1
BC
3
DM
5
P
2
a,
a.⋯5分
2
2
A
C
3a,
在Rt△EDM中,EM
DE2DM2
M
2B
sin
EMD
DE
a
2.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
EM
3
3
a
2
(2)
AB
AC,M为BC中点,
BC
AM.又DA
平面ABC,
BC
DA,
BC
平面DAM.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
又AP
平面DAM,
BC
AP,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
又
AP
DM,
AP平面BCD.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
又
ED
平面BCD,
AP//DE.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
5、如图,已知ABCD是边长为1的正方形,AF⊥平面ABCD,CE∥AF,CEAF
(1).
(1)证明:
BD⊥EF;
E
(2)若AF=1,且直线BE与平面ACE所成角的正弦值
F
AD
为32,求的值.
10
解:
(1)连结
BD、AC,交点为O.∵
ABCD
是正方形
∴BD⊥AC
⋯⋯2分
∵AF⊥平面
ABCD
∴AF⊥BD
⋯⋯4分
∴BD⊥平面
ACEF
⋯⋯6分
∴BD⊥EF
⋯⋯7分
(2)连结OE,由
(1)知,BD⊥平面ACEF,
所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角.
⋯⋯10
分
∵AF⊥平面ABCD,CE∥AF,∴CE⊥平面ABCD,CE⊥BC,
∵BC=1,AF=1,则CE=
,BE=
1
2
,BO=
2,
2
∴Rt△BEO中,sin
BEO
BO
2
32,
⋯13分
BE
2
1
2
10
因为
1,解得
4.
⋯⋯15分
3
6、如图,在几何体中,
AA1平面ABC,AB
BC,CC1//AA1,ABBCAA12,
CC11,D,E分别是AB,AA1的中点.
A1
(1)
求证:
BC1
//平面CDE;
(2)
求二面角E
DC
A的平面角的正切值.
E
C1
AC
D
B
解:
(1)连接ACR1R交EC于点F,由题意知四边形ACCR1RE是矩形,则F是ACR1R的中点,
连接DF,∵D是AB的中点,∴DF是△ABCR1R的中位线,
∴BCR1R//DF,
4分
∵BCR1R平面EDC,DF
平面EDC,
∴BCR1R//平面CDE.
7分
(2)作AH⊥直线CD,垂足为H,连接HE,
∵AAR1R⊥平面ABC,∴AAR1R⊥DC,
∴CD⊥平面AHE,
∴CD⊥EH,
∴AHE是二面角E–CD–A的平面角.
11分
∵D是AB的中点,
∴AH等于点B到CD的距离,
在△BCD中,求得:
AH=
25
,
5
在△AEH中,
tanAHE
AE
5
AH
2
即所求二面角的正切值为
5
.
2
7、如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面,且PAABAC,
(1)求证:
PA//平面QBC;
P
(2)若PQ平面QBC,求CQ与平面PBC所成角的正弦值.Q
C
A
解:
(1)证明:
过点
Q作QD
BC
于点
D,
∵平面
QBC
⊥平面
ABC,∴
QD
平面
ABC⋯⋯2分
B
又∵
PA⊥平面
ABC
∴QD
∥PA,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
又∵
QD
平面
QBC
∴PA∥平面
QBC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
(2)∵
PQ
平面QBC
∴PQB
PQC
90
,又∵
PB
PC,PQ
PQ
∴PQB
PQC
∴BQ
CQ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
∴点
D是
BC的中点,连结
AD
,则
AD
BC
∴AD
平面
QBC
∴PQ∥
AD
,
AD
QD
∴四边形
PADQ
是矩形
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
设PAABAC2a
得:
PQ
AD
2a,PD6a
又∵BC
PA,BC
PQ,∴BC
平面PADQ,
从而平面PBC
平面PADQ,过Q作QH
PD于点H,则:
QH
平面PBC
∴QCH是CQ与平面PBC所成角
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12
分
∴QH
2
2a
23a,CQ
BQ
6a
6
3
sinQCH
QH
23
1
2
CQ
3
63
∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
3
8、如图,在直三棱柱
ABCA1B1C1中,
ABC是等腰直角三角形,
ACB
900
,侧棱
AA1=2,D,E分别为CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是
ABD的重心.
(1)求证:
DE//平面ACB;
(2)求A1B与平面ABD
所成角的正弦值.
A1
C
1
B1
E
D
A
C
B
9、如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱
ABC—A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,
∠B=90°,
D为棱BB1的中点。
B1
(1)求证:
面DA1C⊥面AA1C1C;
(2)若
AA1
2,求二面角A—A1D—C的大小。
A1
C1
AB
D
B
AC
10、如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB//CD,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,
AB=2,M为PB的中点.
(1)证明:
P
MC//平面PAD;
(2)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值.
M
A
B
D
C
11、如图在梯形
ABCD中,
AB//DC,E、F是线段AB上的两点,且
DEAB,CF
AB,CF
3,EFFB
2,G为FB的中点,设AE
t,现将
ADE,BCF分别沿DE,CF折起,使A、B两点重合于点P,得到多面体PEFCD.
(1)求证:
PD//平面EGC;
(2)当EG
面PFC时,求DG与平面
D
C
PED所成角的正切值.
D
C
EF
AEFGBG
P
(1)证明:
连接
DF交EC于点M,连接MG
C
PD//MG
D
M,G为中点
又
PD
面EGC
M
MG
面EGC
PD//平面EGC———5分
(2)当EG
面PFC时,EG
PF
又
G为FB的中点,
EF
EP
2,t2—————
7分
E
F
过点G在平面PEF中作EP的垂线,垂足为N,连接DN.
G
N
DE
面PEF
面PED
面PEF
GN面PED
P
GDN即为DG与平面PED所成角.——————11分
易求得GN
3
21
所以DG与平面PED所成角的正切值为
7
2
DN
.——14分
2
7
12、如图,在四边形ABCD中,ABAD4,BCCD7,点E为线段AD上的
一点.现将DCE沿线段EC翻折到PAC,使得平面PAC平面ABCE,连接PA,PB.
(1)证明:
BD平面PAC;
(2)若BAD60,且点E为线段AD的中点,求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值.
P
D
C
E
解:
(1)连接AC,BD交于点O,在四边形ABCD中,
B
∵AB
AD
4,BC
CD
7
A
∴ABC
ADC,∴
DAC
BAC,∴AC
BD
又∵平面PAC
平面ABCE,且平面PAC
平面ABCE=AC
∴BD
平面PAC⋯⋯⋯⋯6分
(2)如图,过点P作AC的垂线,垂足为
H,连接EH,EC
并取AO中点F,连接EF,
∵平面PAC
平面ABCE,且平面PAC
平面ABCE=AC,PH
AC
∴PH
平面ABCE,∴PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角,
由(Ⅰ)可知,AC
BD,且AO
23,CO
3
,
又PE
2
,PC
7,设CH
x,则有
PH
7x2,EH
PE2
PH2
x2
3
又∵F为AO的中点,在
RtEFH中,FH
2
3
x,EF1
由勾股定理得,
(2
3
)21
x
2
3
,解得x
4
x
3,
3
2
3,PH
5
∴EH
3
3
3
∴直线PE
与平面ABCE的所成角的正弦值即
EH
3
sinPEH
.
PE
3
13、在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=AA1
∠AA1C1=∠BAC1=60°,设AC1与AC相交于点
(1)求证:
BO⊥平面AA1C1C;
(2)求二面角B1—AC1—A1的大小。
A
=2,平面ABC1⊥平面AA1C1C,O,如图.
BB1
CC1
O
A1
14、如图1,四面体PABC中,BC=BP=1,AC=AP=
3,AB=2,将
PAB沿直线AB翻折
至
P1AB,使点A,P1,B,C在同一平面内(如图2),点M为PC中点.
(1)
求证:
直线PP1//平面MAB;
P
P
(2)
求证:
PC
AB;
(3)
1
A
M
A
求直线PA与平面PPC所成角的大小.
C
C
P1
B
B
答案:
(3)、
3
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