数值分析复习题及答案.docx
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数值分析复习题及答案
10X,hX满足(
3.通过点乂0,%
数值分析复习题
、选择题
1.3.142和3.141分别作为
的近似数具有()
和
()位有效数字.
A.4和3
B.3和2
C.
3和4
D.4和4
2
1
2
1
fxdx
1
f
1
Af()
f
(2)
2.已知求积公式
6
3
6
,则A=()
1
1
1
2
A.6B
.3c.
2
D.
3
A.1oXo=0,
11X-!
0
B.
1。
X。
=0,
11X
1
C.1oXo=1,
11为1
D.
10X0=1
11X1
1
fx
4.设求方程
0的根的牛顿法收敛,
则它具有(
)
敛速。
Xi,yi的拉格朗日插值基函数
A.超线性B.平方C.线性
D.三次
x-!
2x2x0
5.用列主元消元法解线性方程组
X2X32
2x1
2x23x3
x3x22
2x21.5x33.5
作第一次消元后得到的第
3个方程(
C.
2x2X3
3DX20.5X3
1.5
二、填空
1.设x2.3149541...,取5位有效数字,则所得的近似值x=
2•设一阶差商
X1,X2
fX2fN14
x2x121
X2,X3
X3X2
3.设X(2,
3,
1)T,则I|X||2
||XII
4.
2
求方程X
1-250的近似根,用迭代公式
x「X1-25,取初始值沧1,那么X1
5.
解初始值问题
y'f(x,y)
yX)yo近似解的梯形公式是
Yk1
6、
,贝UA的谱半径
7、
设f(X)
3x25,xkkh,k
0,1,2,…,,则
fXn,Xn1,Xn2
9、
xn,Xi1,xn
2,Xn3
若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都
解常微分方程初值问题的欧拉(
Euler)方法的局部截断误差为
y10—
10、为了使计算X1
23
(xJ?
(x的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写
11.设X(2,3,4)t,则IIXI1
I|X||2
12•—阶均差fX),X1
13.已知n3时,科茨系数
3
C。
13
C1
8
3
C2
3
8,那么
C33
14.因为方程
2X
0在区间
1,2上满足
,所以
X0在区间内有根。
15.取步长h0-1,用欧拉法解初值问题
的计算公式
16•设X2-40315是真值x2-40194的近似值,
位有效数字。
17.对f(x)X3X1,差商f[0,1,2,3]()。
18•设X(2,3,7)T,则||X|1
19•牛顿一柯特斯求积公式的系数和
n
Ckn)
k0
20.若a=2.42315是2.42247的近似值,则a有()位有效数字
21.Io(x),l1(x),
ln(x)是以0,1,
n
ili(x)
-n为插值节点的Lagrange插值基函数,则i。
(
).
22.设f(x)可微,则求方程xf(x)的牛顿迭代格式是(
).
23.迭代公式
x(k°
BX(k)
f收敛的充要条件是
v(k1)
24.解线性方程组Ax=b(其中A非奇异,b不为0)的迭代格式x
9x1x28
组x15x24,解此方程组的雅可比迭代格式为(
Bx(k)
)°
f中的B称为(
).给定方程
0,1,2Ln);
25、数值计算中主要研究的误差有和
26、设lj(x)(j0,1,2Ln)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则lj(xi)(i,j
n
lj(x)
j0
27、设lj(x)(j0,1,2Ln)是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为
n
A,Aj
型求积公式中求积系数j;且j0°
28、辛普生求积公式具有—次代数精度,其余项表达式为°
2
29、f(x)x1,则f[1,2,3],f[123,4]°
30.设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值,则x*有位有效数字。
31设f(x)X3x1,则差商(均差)f[0,1,2,3],f[0,1,2,3,4]
32•求方程X
f(X)根的牛顿迭代格式是。
A
33.已知
12
34则A¥。
34.方程求根的二分法的局限性是
三、计算题
f(x)
1•设
3
2
x,X0
j1,x2
(1)试求fX在44上的三次Hermite插值多项式x使满足
H(Xj)f(Xj),jO,1,2,...H'(X1)f*),x以升幕形式给出。
(2)写出余项R(x)f(x)H(x)的表达式
2.已知
工二呦的创㈤满足杖⑴-31<],试问如何利用
0°)构造一个收敛的简单迭代函数
0,1…收敛?
3.推导常微分方程的初值问题
y'f(x,y)
yd。
)y°的数值解公式:
'''
yn1yn1-(yn14yn『n1)
(提示:
利用Simpson求积公式。
)
x12x23x314
4.利用矩阵的
求分段线性插值函数,并计算
2x15x22x318
1
0
1
2
y1x2的一组数据:
1
0.5
C.2
LU分解法解方程
组3X1X25X320
5.已知函数
f1.5
的近似值.
6.已知线性方程组
X0
10X-I
Xi
Xi
x22x37.2
10x22x38.3
x25x34.2
(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;(
2)于初始值
0,0,0,应用雅可比迭代公式、高斯—塞德尔迭代公式分别计算
1
X(保留小数点后五位数字)
7.用牛顿法求方程X’3x10在1,2之间的近似根
(1)请指出为什么初值应取2?
(2)请用牛顿法求出近似根,精确到
0.0001.
8.写出梯形公式和辛卜生公式,
并用来分别计算积分
1丄dx
01X
9•用二次拉格朗日插值多项式
L2(x)计算sin0.34
的值。
插值节点和相应的函数值是(
0,0),
(0.30,0.2955),(0.40,0.3894)。
10.用二分法求方程f(x)x
0在[1.0,1.5]区间内的一个根,误差限
102。
11.用高斯-塞德尔方法解方程组
4x1
2x2
X3
11
X1
4x2
2X3
18
2x1
X2
5x3
22
v(0)
,取X
(0,0,0)T,迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
12求系数人,人2和A,使求积公式
f(x)dxA1f
(1)
1
—1)
Af(牛)对于次数2的一切多项式都精确成立
13.
14.
数精度.
3x1
2x2
10x3
15
10x1
4x2
X3
5
2X1
10X2
4X3
8试建立一种收敛的
Seidel迭代公式,说明理由
1
1f(x)dx
Af(0.5)Bf(xJ
()的待定参数,使其代数精度尽量高,
y
3x
2y
对方程组
确定求积公式
y(o)1
并确定其代
X1
.
(1)写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;
15.设初值问题
16.取节点X。
°,Xi0.5,X21,求函数yex在区间[0,1]上的二次插值多项式p2(x),并估计误差。
17、已知函数yf(X)的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式
F3(X),并计算
吩)
的近似值。
yyx1,
18、利用尤拉公式求解初值问题,其中步长h°-1,y(0)1.
X(0,0.6)
。
19.确定求积公式
h
hf(x)dx
Af(h)Af(0)AJ(h)
o
3
0
1
2
3
0
1
2
3n
1
3
9
27
中待定参数A的值(i°」,2),使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公式的代数精度
20、已知一组试验数据如下
兀
1
2
3
4
5
X
4
45
6
8
8.5
2x-i
3x2
4X3
6,
3x-i
5x2
2x3
5,
求它的拟合曲线(直线)。
用列主元消去法解线性方程组
4为
3x2
30x3
32.
22.已知
0
-I
2
4
5
-2
4
5
7
(1)用拉格朗日插法求f(x)的三次插值多项式;
(2)求X,使f(x)0
确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度f才㈤dw期(-h)+琢気)
2
1
1.4
1.8
22
2.6
0.331
0,473
0.2?
7
0.224
0.16S
下:
计算三次,保留五位小数。
29、已知数据如
用牛顿(切线)法求、3的近似值。
取xo=1.7.
1
+4Za
'I
号=8
24、用Gauss消去法求解下列方程组
11f(x)—[f(
.试求x1'x2使求积公式13
1)
2f(xJ3仏)]
的代数精度尽量高,并求其代数精度。
.取步长
h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题
2x5y
y(i)1
y'
(1x2)
12x1
18%3x2
3x2
.用列主元消去法求解方程组儿
X2
X3
3x315
3x3
6
15
并求出系数矩阵A的行列式detA的值.
1
求形如yabx拟合函数。
30、用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin°.34。
插值节点和相应的函数值如下表。
00
0.30
0.40
X=
0.0
02955
0.3894
31、利用改进的尤拉方法求解初值问题,其中步长h0.2
yyx,
y(0)1.
x(0,0.8)
o
32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性,如果收敛,比较哪种方法收敛快。
其
302
A021
212
简述题:
叙述在数值运算中,误差分析的方法与原则是什么?
数值分析复习题答案
、选择题1.A2.D
3.D4.C5.B
二、填空1、2.3150
2、
hyk
2
fXk,yk
14.
10、
15.
21.
22.
Xn1
Xn
Xn
26.
1,i
0,i
J,
fN,X2,X3
Xk1,yk1
10
yk
y。
yk
6、
1.1
f(Xn)
1f(Xn).
23.
fX2,X3fX1,X2
X3X1
11
3、6和
■14
4、1.5
(A)
.6
7、
Xn,Xn
1,Xn
23,f
Xn,Xn1,Xn2,Xn3
8、
1;27.
至少是
Xn1
4;31、1
0;
32、
2
(x1)
(x
1)
11.
12.
(B)
fX0fX1
X0X1
13.8
0.1
2
0.1k
1;24、
b
alk(x)dx
a
f(Xn)
f'(Xn)
33、
k0,1,2L
.迭代矩阵,
,b-a;28.3
16、3
;17、
18、7
;19、
20.3;
k
X1
k
X2
i(8
i(4
x2k))
X(k))
;25.相对误差
绝对误差
ba(b
180(
T4
f(4)(),
(a,b)
;29.10;30、
7,6;34、收敛速度慢,不能求偶重根。
二、计算题
143
1.解:
(1)
225
26322331
xx
45045025
Rx
(2)
丄
4!
16
5
2(X
129
4)(x1)2(x丁),
19
(x)(-,7)
44
2.解:
由X(X),可得X3X
x
(x)3x
1
-((x)3x)(x)
2
'1'
因(x)-((x)3),故
'(X)
1
(X)-3
-1
2
2
2
数值积分方法构造该数值解公式:
对方程
f(x)在区间人1,Xn1上积分,
Xn1
y(Xn1)
得
y(Xnl)
Xn1
f(x,y(x))dx
,记步长为h,
对积分
沧1
f(x,y(x))dx
冷1用Simpson求积公式得
Xn1
f(x,y(x))dx
Xn1
2h
石f(Xn1)
4f(Xn)f(Xni)
h'
3(yn1
4ynyn1)
所以得数值解公式:
yn1
yn
h''
1-(yn14yn
ym)
4•解
ALU
4
24
令Lyb得y
(14,
10,
72)t,
Uxy得x
(1,2,3)t.
5.解X0,1
%X
X0
0.5
10
10.5x
x1,2%X
0.5
0.20.3x0.8
所以分段线性插值函数为
%X
10.5xx
0,1
0.80.3xx
1,2
%1.5
0.80.31.5
0.35
6.解:
原方程组同解变形为
X
0.1x2
0.2X3
0.72
X2
0.1x1
0.2x3
0.83
X3
0.2x1
0.2x2
0.84
雅可比迭代公式为
m1
X
0.1x2m
0.2x3m
0.72
m1
X2
0.1x1m
0.2x3m
0.83
m1mm
X30.2x10.2x2
咼斯—塞德尔迭代法公式
0.84(m
0,1
...)
m1
X
0.1x2m
0.2x3m
0.72
m1
X2
0.1x1m1
0.2x3m
0.83
m1
X3
0.2x1m1
0.2x2m
1
0.84
(m
0,1...)
用雅可比迭代公式得
0.72000,0.83000,0.84000
用高斯-塞德尔迭代公式得
1
X0.72000,0.90200,1.16440
7.解:
fX
3x
fx3x2
12x
24
0,故取
X2作初始值
迭代公式为
Xn
Xn1
Xn1
Xn
3
Xn1
Xn1
3xn1
2~
3Xn1
X1
2xn\1
3Xn1
1)
n1,2,…
X0
233
3221
1.88889
21.888893:
1.888892
X3
方程的根
1.87945
0.009440.0001
1.8794531
1.879452
1.87939
X3
X2
0.00006
0.0001
1.87939
8.解梯形公式
dx
应用梯形公式得
01
1dX
X
11
2[10
dX
辛卜生公式为
应用辛卜生公式得
0「dX
0.75
11
6[10
1
11]
36
(xn)(xX2)f(xx°)(xX2)
f0
L2(x)
(X0N)(X0
=0.333336
X2)
f1
(X1X°)(X1X2)(X2
(XXo)(XXi)
f2
X0)(X2X1)
10.用二分法求方程
f(x)
x3
X10在[1.0,1.5]
区间内的一个根,误差限
102
17o
Xi
1.25
X4
X2
1.34375x5
1.375
1.328125
x31.3125
x61.3203125
11.解迭代公式
X1(k
1)
^(11
4
2x2k)
x3k))
x2k
1)
1(18
4
x;k1}
2x3k))
x3k
1)
扣2
2x1k1}
x2k)
5
k
盘'
0
0
0
0
1
2,75
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5957
3.1839
12.解:
4x2k)x3k)5)
4x3k)8)
x3k1)丄(3才°2x2k1)15)
10
取x(°)(0,0,0)T,经7步迭代可得:
x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T
14.4.解
3.假设公式对f(x)1,x,x2,x3精确成立则有
ABC2
0.5A
Bx1
0.5C
0
0.25A
Bx2
0.25C
2
3
0.125A
Bx;
0.125C
0
42
解此方程组得ACB-
33
求积公式为
11
f(x)dx[4f(0.5)2f(0)4f(0.5)],当f(x)x4时,
13
左边2右边1左边右边代数精度为3o
56
15.解
(1)yn1yn0.1(3Xn
2yn)
0.3Xn1.2yn
⑵yn1
yn
=yn
yn1
2
0.1(6x,
3
2yn
0.2(3Xn2yn)
3(xn
0.2)
2yn
迭达得
n
3
严
3
2
2yn2yn1
3
40
3_
40
1.575,y2
0.6)
63
40
0.2
3
40
2.585
16.解:
P2(x)
e0.5
0.5
1
-(x
0
0)
0.5
e
e0.51
0.5
1+2(e
1)x
2(e1
2e
0.5
xM
max
x0,1
1,e
10.5
1
1)x(x0.5)
xP2(X)
严』(x0)(x。
5)
fQx(x0.5)(x1)3!
P2(x)1|x(x0.5)(x1)
17、解:
差商表
2
%
/[心也]
产[亦和1,无+?
]
f.心丙士1,坯+2•画+匸.
a
0
1
1
1
3
2
2
2
D
6
2
3
3
27
8
d
斗73
由牛顿插值公式:
43
P3(x)N3(x)-x
3
2x2
8
-x1,
3
3p3()
2
413
()3
32
12
2
(2)
81
3
(2)
12
18、解:
f(x,y)
yx1,
y。
1,h
0.1,
yn1yn
0.1(Xn1
yn),(n0,1,2,3,L)
yo1,
yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;
1.056100;1.090490;1.131441.
14
仃\42A'—h,A_h
19.解:
分别将f(X)1,x,x,代入求积公式,可得33
令f(x)x?
时求积公式成立,而f(x)x4时公式不成立,从而精度为3。
5a15b31
20、解:
设y
abx则可得
15a
55b105.5
于是
a
2.45,b
1.25
即
y
2.45
1.25x
。
解:
2
3
4
6
4
3
30
32
4
330
32
3
5
2
5
3
5
2
5
3
52
5
4
3
30
32
2
3
4
6
2
34
6
4
3
30
32
4
3
30
32
0
11/4
41/2
19
0
11/4
41/2
19
0
3/2
11
10
0
0
2/11
4/11
4
3
30
32
4x13x2
30x3
32,
x
13,
0
11
82
38
11x2
82x3
38,
X2
8,
0
0
1
2
即
X3
2.
X3
2.
22解.用反插值得
Xfi(y)(y4)(y5)(y7)2(y2)(y5)(y7)4(y2)(y4)(y7)
)(24)(25)(27)(42)(45)(47)(52)(54)(57)
(y2)(y4)(y5)
5
(72)(74)(75)
令y0得xf1(0)8
3
2
解令f(x)1,x,x代入公式精确成立,得
AB2h
hABx10
2223
h2ABx:
-h3
3;
解得x
1
h,B
3
31
h,Ah
22,得求积公式
f(x)dx
h)
1
3f(3h)]
30
对f(x)x;
hf(x)dx£[(h)33f
13
(1h)]
4h
故求积公式具有
2次代数精确度。
2捲3x21
2x:
3迂1
24、解:
本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
111
—
X1X2X3
9
4
5
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