人教版九年级数学下册图形的相似同步练习.docx

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人教版九年级数学下册图形的相似同步练习

27.1图形的相似达标训练

一、基础·巩固达标

1.在比例尺为1∶40000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（）

A.0.2172kmB.2.172kmC.21.72kmD.217.2km

2如图27.3－4，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则DE与BC的比是（）

图27.1－4图27.1－5

A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3

3.

（1）若

，则

=__________；

（2）若

则k=__________.

4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.

5.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?

图27.1－6

6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.

图27.1－7

7.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.

图27.1－8

二、综合•应用达标

8.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?

图27.1－9

9.判断下列各组线段是否成比例?

（1）3cm；5cm；7cm；4cm；

（2）12mm；5cm；15mm；4cm；

（3）1cm；5mm；10mm；2cm.

10.试将一个正方形纸片（如图27.1－10）分割为8个相似的小正方形.

图27.1－10

11.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.

图27.1－11

三、回顾•展望达标

12.我们已经学习了相似三角形,也知道:

如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.

现给出下列4对几何图形:

①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.

13.定义：

若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.

探究：

（1）如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？

若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.

（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.

我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；

把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2），…

依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.

①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2

（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）

②当n>1时，请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）

图乙图1（1阶）图2（2阶）图3（3阶）

参考答案

一、基础·巩固达标

1.在比例尺为1∶40000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（）

A.0.2172kmB.2.172kmC.21.72kmD.217.2km

思路解析：

可设这两地的实际距离为xcm（要注意统一单位），根据比例尺=

得

54.3∶x=1∶40000，解得：

x=2172000（cm）=21.75（km）.

答案：

C

2如图27.3－4，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则DE与BC的比是（）

图27.1－4

A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3

思路解析：

DE是△ABC的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

答案：

C

3.

（1）若

，则

=__________；

（2）若

则k=__________.

思路解析：

连等式时，可用比例系数（即公比）的办法解决.

（1）由

，得到a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，代入

中解得;

（2）用“若

=k（b+d+…+n≠0），则

”，但要注意只有当x+y+z≠0时才成立.

本题中，还需考虑x+y+z=0的情况，此时x=－（y+z），y=－（z+x），z=－（x+y），

所以k=－1.

答案：

（1）0.5,

（2）

或－1

4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.

图27.1－5

思路解析：

相同时刻的物高与影长成比例，设树高为x米，则1.5∶1=x∶5，解得x=7.5

答案：

7.5

5.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?

图27.1－6

思路解析：

比较两个图形的形状，第一对图形的形状不同，不相似；第二对图形都是三角形，但角的大小不同，形状不同，不相似.

答案：

两组图形都不相似

6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.

图27.1－7

思路解析：

在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后

的位置，再由这些点构造新图形.

答案：

（不唯一）

7.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.

图27.1－8

思路解析：

依据多边形相似的特征：

对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、z的比例式，并得到∠D=∠D′=α、∠C=∠C′=110°，再由梯形的定义和平行的性质即可求出α和β.

解：

因为两个梯形相似，它们的对应边成比例，对应角相等.

所以

且∠D=∠D′=α，∠C=∠C′=110°.

解得:

x=3y=6z=3.

因为梯形ABCD中，AB∥CD,

所以α=180°－62°=118°,β=180°－110°=70°.

二、综合•应用达标

8.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?

图27.1－9

思路解析：

矩形的四个角都是直角，所以这两个矩形的角都能对应相等；能不能相似关键就看边是否能对应成比例了，不能只凭直觉了.

解：

由图可知：

大矩形的四条边长分别是14、8、14、8；

而小矩形的长为：

14－2－2=10，宽为：

8－2－2=4，四条边分别是10,4,10,4.

∵14∶10≠8∶4,

∴这两个矩形不相似

9.判断下列各组线段是否成比例?

（1）3cm；5cm；7cm；4cm；

（2）12mm；5cm；15mm；4cm；

（3）1cm；5mm；10mm；2cm.

思路解析：

要解决此类问题,应先统一单位（当四条线段的长度单位不相同时），把它们

按从小到大（或从大到小）的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例.

解：

（1）四条线段按从小大的顺序排列为3，4，5，7.

∵3×7≠4×5，即3∶4≠5∶7，

∴3cm,4cm,5cm,7cm这四条线段不成比例.

（2）5cm=50mm,4cm=40mm,四条线段按从小大的顺序排列为12，15，40，50.

∵12×50=15×40，即12∶15=40∶50，

∴12mm,5cm,15mm,4cm这四条线段成比例.

（3）1cm=10mm,2cm=20mm,四条线段按从小大的顺序排列为5，10，10，20.

∵5×20=10×10，即5∶10=10∶20，

∴5mm,1cm,10mm,2cm这四条线段成比例.

10.试将一个正方形纸片（如图27.1－10）分割为8个相似的小正方形.

图27.1－10

答案：

11.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.

图27.1－11

思路解析：

依据多边形相似的特征：

对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、α和β

解：

因为两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，

所以12∶6=8∶y=x∶3.解得y=4，x=6.

由α+β+115°=360°，α=β+15°，

得α=100°，β=85°.

三、回顾•展望达标

12.我们已经学习了相似三角形,也知道:

如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.

现给出下列4对几何图形:

①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.

思路解析：

根据相似形的定义，比较两个图形的对应边的比是否相等，对应角是否相等.

答：

①两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同；

②两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例，两个菱形的形状不同；

③两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例，两个长方形的形

状不同；

④两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.

13.定义：

若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.

探究：

（1）如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？

若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.

（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.

我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；

把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2），…

依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.

①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2

[

（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）

②当n>1时，请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）

图乙图1（1阶）图2（2阶）图3（3阶）

思路解析：

本题是阅读理解题，n阶分割实际是把原三角形分为4n个相同的小三角形，

所以每个小三角形的面积是原三角形的

.

解：

（1）正确画出分割线CD（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线）.

理由：

∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，

∴△BCD∽△ACB.

（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为

.

∴Sn=

.

当n=5时，S5=

≈9.77;

当n=6时，S6=

≈2.44;

当n=7时，S7=

≈0.61.

∴当n=6时，2＜S6＜3.

②

=Sn－1×Sn+1.