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彩票
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
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1.
2.
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指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
日期:
2013年8月5日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
彩票中的数学
摘要
自彩票在我国遍及,高额的奖金便吸引着人们的眼球,文章通过分析“传统型”和“乐透型”两种彩票类型,指导彩民合理购买彩票,该出手时才出手,并给管理部门给出一些建议,逐步完善管理制度。
本文采用了层次分析法系统分析了几个主要因素对彩民吸引力的影响,构造一种函数衡量吸引力的程度,模拟心理变化过程。
同时,根据函数,规划问题,引入相对公平概念,考虑公平与否,并给彩票管理部门和彩民一些建议。
问题一,本文采用了主成分分析法分析了几个主要因素对彩民吸引力的影响,模拟彩民的心理变化过程,并据此构造了一种函数来衡量各个因素对彩民吸引力的程度。
根据函数引入相对公平概念,考虑各种方案公平与否,并对彩票29个销售方案进行综合评价。
经分析得表三中第10种方案最具合理性,最后,根据所得结论给彩票管理部门和彩民一些建议。
问题二,根据问题一中构造出来的彩民的心理函数,以心理函数乘以总公平因子为吸引力函数。
建立了求解最优方案规划模型。
用MATLAB7.0.1软件编程计算。
据此计算结果进行分析,幷给彩票管理部门提出一些建议。
问题三,综上所得,比较各类彩票中奖概率,强调心态的重要性。
彩民应从实际出发,保持一颗平常心。
借用彩票,偶尔娱乐身心,切勿痴迷成狂,适度把握。
关键词:
心理函数公平因子规划模型SPSS软件主成分分析
1、问题重述
1.1背景
当代技术飞速发展,加强了彩票事业的安全性、多样性、公平性。
彩票不仅丰富人们的娱乐生活,还能刺激公益事业。
经历了长期的发展,目前彩票事业在不断追求彩票的娱乐性和趣味性的过程中,彩票类型不断更新。
如果说科技推动经济的话,那么,彩票则是经济发展的必然产物。
而如何健全和完善中奖方法和概率设置对彩票管理部门和彩民尤为重要。
1.2问题
在传统型的彩票方案中,需要按照顺序确定奖项。
即先从6组0到9十个基本号码中每组摇出一个号码,接着从0到4五个号码中选出一个特别号码,构成一注。
根据表一确定中奖等级(X表示未选中号码)
表一
中奖
等级
10选6+1(6+1/10)
基本号码特别号码
说明
一等奖
abcdefg
选7中(6+1)
二等奖
abcdef
选7中(6)
三等奖
abcdeXXbcdef
选7中(5)
四等奖
abcdXXXbcdeXXXcdef
选7中(4)
五等奖
abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef
选7中(3)
六等奖
abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef
选7中
(2)
对于“乐透型”有多种形式,均不考虑顺序且不重复。
根据单注号码和中奖号码相符的个数确定等级。
例如“33选7”和“36选6+1”。
第一种就是从01到33个号码中摇出7个基本号,再从剩下的26个号码中摇出一个特别号,投注者任选7个组成一注。
而“36选6+1”则从01到36个号码中逐一摇出6个基本号,再从剩下的30个号码中摇出一个特别号码。
把摇出的7个号码组成一注。
表二为两种方案的中奖等级。
表二
中奖
等级
33选7(7/33)
36选6+1(6+1/36)
基本号码特别号码
说明
基本号码特别号码
说明
一等奖
●●●●●●●
选7中(7)
●●●●●●★
选7中(6+1)
二等奖
●●●●●●○★
选7中(6+1)
●●●●●●
选7中(6)
三等奖
●●●●●●○
选7中(6)
●●●●●○★
选7中(5+1)
四等奖
●●●●●○○★
选7中(5+1)
●●●●●○
选7中(5)
五等奖
●●●●●○○
选7中(5)
●●●●○○★
选7中(4+1)
六等奖
●●●●○○○★
选7中(4+1)
●●●●○○
选7中(4)
七等奖
●●●●○○○
选7中(4)
●●●○○○★
选7中(3+1)
注:
●为选中的基本号码;★为选中的特别号码;○为未选中的号码。
上面两种类型奖金比例一般为销售总额的50%,每一注2元,单注中奖只能取高级别的奖不能兼得其他奖。
一般销售规则和对应奖金设置方案如表三,低项奖数额固定,高项奖按比例分配。
(一、二、三等奖为高项奖,后面为低项奖)一等奖单注保底金额为60万元,封顶金额500万元,其中高项奖计算方法如下:
[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例
问题一:
根据以上方案的具体情况,综合分析各奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的影响力等因素评价各方案的合理性。
问题二:
设计一种更好地算法计算各方案,向彩票管理部门提出合理建议。
问题三:
给报纸写一篇短文,分析博彩注意事项,供彩民参考。
2、问题分析
问题一:
从表三可知,一共有29种方案,先根据其特点将其分为四类:
10选6+1型、n选m型、n选m+1型、n选m+1型(无特别号码)。
运用古典概率的计算方法分别计算出各种奖项的中奖概率,高项奖占总奖金比例和低等奖占总奖金比例。
然后建立一个函数关系,包含权重、心理曲线方程等建立等式。
利用层次分析法,从心理学得角度评价彩民。
针对29种方案,从他们的切身利益给出综合评价。
问题二:
在问题一的前提下,对方案和相应的算法优化处理,建立相应的优化模型,彩票对彩民的吸引力肯定包含收益,当然还有公平因素和心理上的诱惑。
用问题一得出的函数加以解释说明,用SPSS软件辅助分析几个主成分,从彩民的心理因素和公平因素着重分析。
问题三:
由于要给彩民一个参考的明确指向,可以给出10选6+1型、n选m型、n选m+1型、n选m+1型(无特别号码)四类方案中哪类方案最易获奖,获奖大小。
告诉彩民心态的重要。
3、模型假设
1.“传统型”和“乐透型”各自均拿出销售额的50%作为奖金。
2.一、二、三等奖为高项奖,后面为低项奖。
3.单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
4.每次号码均随机产生,无人为因素影响。
5.一等奖单注保底金额为60万元,封顶金额500万元,其中高项奖计算方法:
[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例
6.“传统型”和“乐透型”的号码都可能出现相同情况,所以同等奖项也许不止一个。
4、符号说明
符号
说明
高奖项的公平因子
低奖项的公平因子
第
等奖的奖金额
当期已售出的彩票注数
取走的奖金额
第
等奖中奖注数
第
等奖的中奖概率
第
等奖奖金分配的百分比
每注彩票中第
项奖的奖金额
彩民心理曲线
低项奖奖额在总奖金中所占的比例
判别方案合理性的判别函数
等奖中奖率
总中奖率
总公平因子
因子载荷
相关因子的特征向量
5、模型建立与求解
5.1问题一
5.1.1获奖概率计算
将表三分为四类作计算:
10选6+1型、n选m(m/n)型、n选m+1(m+1/n)型、n选m(m/n)无特别号型
1.当10选6+1类型时,七种奖项中奖概率有如下结果:
2.当奖项方案分别为n选m(m/n)无特别号型、n选m+1(m+1/n)型、n选m(m/n)时,可根据下表公式计算出各种类型,各等奖项的获奖概率。
表5-1
n选m(m/n)型
n选m+1(m+1/n)型
n选m(m/n)无特别号型
奖项
概率
奖项
概率
奖项
概率
一等奖
一等奖
一等奖
二等奖
二等奖
二等奖
三等奖
三等奖
三等奖
四等奖
四等奖
四等奖
五等奖
五等奖
五等奖
六等奖
六等奖
六等奖
七等奖
七等奖
七等奖
5.1.2主成分分析法
本题我们运用SPSS软件做主成分分析和评价,经过对彩民吸引力因素的分析可以得到如下几个主要指标:
总中奖概率、各种奖项的中奖率、一等奖金额占总奖金额的比例、所有低等奖奖金总额占总奖金额的比例。
在进行分析是当我们选用10个指标对合理性进行评价。
其中包括每种方案每种奖的中奖概率及总中奖率、一等奖金额占总奖金额的比例和所有低等奖奖金总额占总奖金额的比例。
我们通过人工处理和编程计算处理好数据(见附录)。
如下表格为SPSS软件做主成分分析后的结果。
根据这些数据则能对合理性进行定量的分析。
总方差解释表
Component
InitialEigenvalues
Total
%ofVariance
Cumulative%
1
6.232
51.934
2
3.495
29.123
3
1.053
8.773
4
.959
7.992
97.823
5
.240
2.003
99.825
6
.017
.144
99.970
7
.003
.027
99.997
8
.000
.003
100.000
9
1.837E-5
.000
100.000
10
6.499E-7
5.416E-6
100.000
11
3.611E-16
3.009E-15
100.000
12
-5.756E-17
-4.797E-16
100.000
提取方法:
主成份分析.
总方差解释表
Component
InitialEigenvalues
ExtractionSumsofSquaredLoadings
Cumulative%
Total
%ofVariance
Cumulative%
1
51.934
6.232
51.934
51.934
2
81.057
3.495
29.123
81.057
3
89.831
1.053
8.773
89.831
提取方法:
主成份分析
在得出的本操作中得出的总方差解释表是选择以特征值大于1为标准提取主成分,提取了3个主成分。
此表中分别列出了被提取的载荷平方和和初始特征值及两种的方差与累积方差。
按照累积方差的观点,应该提取>85%的值,本题提取3个主成分,其累积方差贡献率为89.831%,根据碎石图,也可以看出应该提取前三个主成分。
写出主成分模型:
因子载荷矩阵
Component
1
2
3
(一等奖中奖率)
-.499
.732
.277
(二等奖中奖概率)
.941
.330
.009
(三等奖中奖概率)
.941
.329
.008
(四等奖中奖概率)
.942
.328
.012
(五等奖中奖概率)
.951
.301
.014
(六等奖中奖概率)
.958
.265
.016
(七等奖中奖概率)
-.136
-.039
-.717
一等奖中奖率
-.499
.732
.277
低等奖中奖率
.383
-.878
.059
(低等奖中奖率)
.383
-.878
.059
(总中奖率)
.126
-.569
.614
提取方法:
主成份分析
3组件提取
因子得分矩阵
Component
1
2
3
(一等奖中奖率)
-.004
-.275
.220
(二等奖中奖概率)
.201
-.021
.006
(三等奖中奖概率)
.201
-.020
.005
(四等奖中奖概率)
.201
-.021
.009
(五等奖中奖概率)
.199
-.013
.012
(六等奖中奖概率)
.196
-.004
.016
(七等奖中奖概率)
-.025
.116
-.672
一等奖中奖率
-.004
-.275
.220
低等奖中奖率
-.034
.251
.100
(低等奖中奖率)
-.034
.251
.100
(总中奖率)
-.046
.061
.602
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
RotationMethod:
VarimaxwithKaiserNormalization.
ComponentScores.
主成分系数
1
-0.19989
0.39155
0.26993
2
0.37694
0.17652
0.00877
3
0.37694
0.17598
0.00780
4
0.37734
0.17545
0.01169
5
0.38095
0.16101
0.01364
6
0.38375
0.14175
0.01559
7
-0.05448
-0.02086
-0.69872
8
-0.19989
0.39155
0.22121
9
0.15342
-0.46964
0.05750
10
0.05047
-0.30436
0.59835
本题中因子载荷矩阵是各个原始变量即对彩民吸引力影响的各个因素的因子表达式的系数,表达的是各种因素对彩民吸引力的影响程度。
因子得分矩阵表示各个指标变量与提取的公因子之间的关系,如果某一个公因子得分高,则表明这个因素对彩民的吸引力最大,它们之间关系最密切。
而且可以通过因子载荷矩阵得到原始指标变量的线性组合,如“
”其中
为指标变量,
分别为与
在同一行的因子载荷,
分别为提取的公因子,通过因子得分矩阵可以得到公因子的线性组合如
,字母代表的意义同上。
由此,我们可以建成主成分模型如下:
其中
,
,
等奖中奖率,
表示一等奖奖金率,
表示低等奖奖金率,
表示总中奖率。
根据主成分模型,可以根据此模型算出各样本各变量的标准化值,可以计算各样本各主成分值和综合值,计算出综合评价结果及方案优劣性排序见下表。
主成分综合评价值及综合排序
排序评价
方案标号
方案设置
综合评价值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
10
23
7
6
8
2
3
4
9
5
24
21
16
20
25
12
13
18
14
11
15
26
27
19
22
17
29
28
1
7/31
7/35
7/30
6+1/29
7/30
6+1/10
6+1/10
6+1/10
7/30
7/29
6+1/36
7/35
7/33
7/35
6+1/36
7/32
7/32
7/34
7/32
7/31
7/33
7/36
7/37
7/35
7/35
7/34
5/60
6/40
6+1/10
1.9560
1.5326
1.4821
1.3025
1.0543
0.9681
0.9518
0.8909
0.8102
0.6732
0.4852
0.2034
0.1856
0.1038
-0.0532
-0.0590
-0.1405
-0.1829
-0.3746
-0.4029
-0.4829
-0.5679
-0.6028
-0.6523
-0.7054
-0.7806
-0.8293
-0.8429
-0.9120
根据主成分分析综合评价及排序结果,可以总结出一定的规律,总中奖率高都很高而一等奖奖金占总奖金比例很高,低等奖奖金占总奖金比例也比较高。
而且,经研究数据发现,一般奖项种类较多、低等奖奖项金额大的方案排名较前即合理性最强。
由此发现方案10(7/31)是最合理的方案,对群众最具吸引力。
反之,总中奖率低而且低等奖奖项少的方案,是最不合理也是对彩民的吸引力最小的方案,由于吸引力小,彩票的总销售额会下降,所以对彩票公司来说盈利也会减少。
正如方案29(5/60)只设置了五个奖项,并且比起其它方案,它的最高奖项也不具备明显优势,所以它的合理度最低。
5.2问题二
5.2.1优化模型的建立
在问题一的分析中,已得出影响彩民购买彩票的吸引力的主要指标,并评选出了最优的一个方案,但是它并不是最优的,所以我们还需要对此模型进行优化,并建立了一个优化模型。
首先除了问题一中提到的总中奖概率、各种奖项的中奖率、一等奖金额占总奖金额的比例、所有低等奖奖金总额占总奖金额的比例这几个指标外,我们通过查阅大量资料发现,城市经济发展,人民的生活水平及对买彩票出现的不同心理都对方案的合理性及对彩民的吸引力有着很大的影响,由此我们做了如下分析。
销售地区
销售总量
销量排序
各地区人均GDP排名
北京
278740
10
3
天津
2790
19
2
安徽
1168098
6
18
福建
5494048
3
9
湖北
376036
9
11
河北
260648
11
10
辽宁
115214
14
8
山东
239230
12
7
云南
72870
17
19
上海
148860
13
1
广东
2864630
5
6
浙江
6582088
2
4
海南
83808
16
15
湖南
34986
18
14
重庆
734852
7
16
广西
110738
15
17
江苏
4882908
4
5
黑龙江
433844
8
12
新疆
18485070
1
13
上表是选取几个不同地区的的彩票购买情况和人均GDP的情况,从上表可得出一些信息。
新疆彩票销售总量排名第一。
这让人感到不解,可转念一想,不无道理。
尽管,新疆的人均GDP不高,但近年来,十九个省市对口接疆工作,新疆发展得到一定保障。
人们闲暇之余,热衷于各类彩票。
二是政府部门重视彩票事业,宣传到位。
更重要的是,新疆地区与其他城市相比,经济实力相差甚远,从2010年的中国经济周刊对中国彩票调查结果显示几乎是越穷的地区购买越多。
在现代社会的经济生活中,彩票消费已经深深融入到民众的生活之中,也日益成为一种重要的经济现象。
.再看浙江、福建、江苏、广东地区购买彩票总量也尾随其后,他们的收入也算靠前。
而这些城市的人大多把购买彩票当做一种习惯和乐趣,作为快节奏生活中的调色板。
心态稍好一些。
上海、天津、北京等地区购买彩票量排在后面,人们对彩票的关注度不多。
激烈的竞争和压力迫使他们无暇彩票,每天都在为生活打拼。
彩票消费已经深深融入到民众的生活之中,也日益成为一种重要的经济现象。
影响彩票消费的因素有很多,如消费者的心理、年龄、经济状况、社会阶层、性别,等等,但从宏观层面来看,彩票消费与国家宏观经济的关系最为密切。
为更形象地描述方案的吸引力函数,定义了一个公平因子
和应用博彩因子其中博彩心理函数为
,图像如下所示:
通过上面对两个指标的分析建立了如下模型:
6、模型评价与改进
6.1优点
1.构造函数,模拟出曲线,用视觉感官说明问题
2.将表三分合理划分为四类方案,简化了计算。
3.假设合理,方便建立模型。
4.运用SPSS软件进行主成分分析,设计更好方案和相应算法。
5.使用主成分分析避免影响力小的变量影响了重要变量的显著性,更好体现样本特性。
6.模型简单明了,容易理解与灵活应用。
7.本模型方便、直观,易于在计算机上实现和推广。
6.2缺点
1.主成分分析虽然代表了主要因子对模型的影响,但忽略了其他因素的影响,不够全面。
2.不同分类,心理曲线会有些许波动,所以找的曲线不够全面。
3.数据处理还不够精确,可能影响结果。
在求解某些模型时,为了使问题得到方便的解决,往往采用简化的手段进行求解,因此求出的结果与真实值会存在一定的偏差。
6.3改进
1.对于问题一中的各奖项出现的可能性即概率,可以思考用MATLAB编程,加快进程。
2.结合模糊综合评价,分别确定因数集、判别集、评价矩阵建立评价模型。
3.考虑多种影响方案的因素,比如说不同年龄、性别、文化背景等。
4.随时代变化,彩民心理也会有起伏,寻找更好的心理曲线。
7、模型推广
其实不止彩票需要建立这样的模型,日常生活中也有许多应用。
比如说游乐园中的各种趣味游戏、股票的投资等都可以参考并应用这个模型,取得经验,多视角看待问题。
彩票世界
两千多年前,古罗马出现了最初的彩票。
当时,它在皇室和商界作为一种富人的消遣方式风靡一时,几经跌撞,蔓延至各国,很快占据重要经济地位。
究竟是什么在驱使着人们追赶它?
从电影乃至书籍,彩票这个词不断被提出。
有的彩民还把渴望中大奖的心理写进脍炙人口的歌里,彩票真的是渗透了我们的生活。
成功的博彩者,他们拥有强大的内心和淡定的心态,这也是与其他事业走向成功的不二法则。
当然,也不尽相同。
彩票之所以发展迅猛是因为自身存在的神奇魅力吸引着广大彩民,让人产生驱动心理。
从对“传统型”和“乐透型”彩票中各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素的综合分析中,可以看出,每注“乐透型”彩票比“传统型”彩票的平均收益率大,其中6+1/10的中奖概率最高,而7/30、7/31、7/33型中奖概率相对较高。
高项奖中奖率较高的是7/29、6+1/29、7/30、7/31、7/32型,总之
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