碰撞与动量守恒第2讲动量守恒定律及应用.docx
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碰撞与动量守恒第2讲动量守恒定律及应用
第2讲动量守恒定律及应用
1•动量守恒定律
(1)内容:
如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为零,这个系统的总动量保持不变,这就是动量守恒定律。
(2)表达式
1P=P’,系统相互作用前总动量P等于相互作用后的总动量P’。
2m2V2=mivi'+m2V2"»相互作用的两个物体组成的系统,作用前的动量和等于作用后的动量和。
3Api=-AP2,相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
4Ap=0,系统总动量的增量为零。
2・动量守恒的条件
(1)理想守恒:
系统不受外力或所受外力的合力为零,则系统动量守恒。
(2)近似守恒:
系统受到的合力不为零,但当內力远大于外力时,系统的动量可近似看成守恒。
(3)分方向守恒:
系统在某个方向上所受合力为零时,系统在该方向上动量守恒。
3・动量守恒定律的“五性”
系统性
动量守恒是针对满足守恒条件的系统而言的,系统改变,动量不一定满足守恒条件
相对性
公式中V1、V2、、V2'必须相对于同一个惯性系
同时性
公式中W、V2是在相互作用前同一时刻的速度,、V2"是相互作用后同一时刻的速度
矢量性
应先选取正方向,凡是与选取的正方向一致的动量为正值,相反为负值
普适性
不仅适用于低速宏观系统,也适用于高速微观系统
[思维诊断]
(1)动量具有瞬时性。
0
(2)物体动量的变化等于某个力的冲量。
()
(3)动量守恒定律中的速度是相对于同一参考系的速度。
()
(4)系统的总动量不变是指系统总动量的大小保持不变。
()
(5)系统的动量守恒时,机械能也一定守恒。
()
答案:
(1)z
(2)X(3)z(4)X(5)x
[题组训练]
1•[动量守恒的条件]在如图所示的装置中,木块B与水平桌面间的接触是光滑的,子弹A沿水平方向射入木块后留在其中,将弹簧压缩到最短。
若木块和弹簧合在一起作为系统,则此系统在从子弹开始射入到弹簧被将子弹、木块和弹簧合在一压缩至最短的
整个过程中()
A・动量守恒,机械能守恒
B•动量不守恒,机械能不守恒C•动量守恒?
机械能不守恒
D•动量不守恒,机械能守恒
解析:
子弹射入木块是瞬间完成的,这个过程相当于子弹与木块发生一次完全非弹性碰撞,动量守恒,机械
能不守恒,一部分动能转化为内能,之后木块(连同子弹)压缩弹簧,将其动能转化为弹性势能,这个过程机械能守恒,但动量不守恒。
由于左侧挡板的支持力的冲量作用,使系统的动量不断减少,所以整个过程中,动量和机械能均不守恒。
选项B正确。
答案:
B
2•[动量守恒定律的应用]
如图所示,质量m=10kg的小车置于光滑水平面上,车上站着质量M=30kg的小孩‘开始人车以1m/s的速
度向右运动,后来小孩以相对车2m/s的水平速度向右跳下,求小孩跳下后车的速度(设向右的方向为正方向)()
B-2m/s
A•0.5m/s
C-—0.5m/s
解析:
设小孩跳车后车的速度为V'且向右,则小孩对地的速度为
由动量守恒定律得(M+m)v=M(v'+2m/s)+mv'
0.5m/s
说明小孩跳车后车的速度大小为0.5m/s,方向向左。
选项C正确°
答案:
C
3•[某一方向上的动量守恒]如图所示,在光滑水平面上静止着一倾角为
8,质量为M的斜面体
沿斜面上滑,若A刚好可到达B的顶端,且A、B具有共同速度,若不计
大小为()
mvo
A.
M+m
Mvo
cM+m
mvocos0
M+m
Mvocos0
M+m
B,现有一质量为m的物体A以初速度vo
解析:
因为物体A具有竖直方向的加速度,故系统在竖直方向受到向下的重力和水平面提供的向上的作用力且此方向合力不为零,故此方向的动量不守恒。
但水平面光滑,故系统在水平方向动量守恒,即
mvocos0=(M+m)v
所以v=mv0cose,故选项B正确。
M+m
答案:
B
4•[动量守恒中的临界问题]
如图所示,甲车质量为mi=m,在车上有质量为M=2m的人,甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h处由静止滑下,到水平地面后继续向前滑动,此时质量m2=2m的乙车正以vo的速度迎面滑来。
为了避免两车发生碰撞,
当两车相距适当距离时,人从甲车跳上了乙车。
已知h=^。
,不计地面和斜坡的g
摩擦,小车和人均可看做质点。
试求人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件?
解析:
设甲车(包括人)滑下斜坡后速度为V1,由机械能守恒定律得12(mi+M)V1=(mi+M)gh
解得Vi=2gh=2v0
设人跳离甲车的水平速度(相对地面)为v,人跳离甲车的过程中,人和甲车组成的系统动量守恒,人跳上乙车的过程中,人和乙车组成的系统动量守恒。
设人跳离甲车和跳上乙车后,两车的速度分别为v厂和V2',则根据动量守恒定律有
人跳离甲车时(M+rrn)vi=Mv+mivi'即(2m+m)Vi=2mv+mvi"①
人跳上乙车时Mv—m2vo=(M+m2)V2'
即2mv-2mvo=(2m+2m)V2'②
由①
(2)式解得W'=6vo—2v③
11
V2~2V—2V0®
两车不可能发生碰撞的临界条件是V1=±V2
当V1"=V2'时'由③④式解得v=13VO
5
当V1'=—V2'时,由③④式解得V=3V03
故V的取值范围为护V<11vo。
答案:
1311vo 方法技巧应用动量守恒定律解题的一般步骤 考点二碰撞现象的特点和规律 1•碰撞 (1)概念: 碰撞是指物体间的相互作用持续时间极短,而物体间相互作用力很大的现象。 (2)特点: 在碰撞现象中,一般都满足内力? 外力,可认为相互碰撞的系统动量守恒。 (3)分类 动量是否守恒 机械能是否守恒 弹性碰撞 守恒 守恒 非完全弹性碰撞 守恒 有损失 完全非弹性碰撞 守恒 损失最大 2碰撞后运动状态可能性判断的三个依据 (1)动量守恒: Pl+P2=P1'十p2'。 (3)速度要符合情景。 1若碰前两物体同向运动,则应有V后円舸,碰后原来在前的物体速度一定增大,若碰后两物体同向运动,则应有V'前>V"后。 2碰前两物体相向运动,碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 [思维诊断] (1)弹性碰撞前后系统的机械能守恒。 (2)两物体在完全非弹14碰撞后不再分开,以共同速度运动。 (3)质量相等的两球以相等的速率相向正碰,碰后可能以某一相等的速率反向而行。 (4)质量相等的两球以相等的速率相向正碰,碰后可能以某一相等的速率同向而行。 (5)质量不相等的两球以相等的速率相向正碰,碰后可能以某一相等的速率互相分开。 答案: (1)厂 (2)厂(3)厂(4)x(5)x [题组训练] 1•[碰后运动状态的判断](多选)质量分别为mP=1kg、mo=2kg的小球P、Q静止在光滑的水平面上,现给小球P以水平的速度vpo=4m/s沿直线朝小球Q运动,并发生正分别用vp、vq表示两小球碰撞结束的速度。 则矢于Vp、VQ的大小可能的是() 4 A•vpvq3m/s B•vp=—1m/s,vq=2.5m/s C•vp=1m/s‘vq=3m/s D•vp=—4m/s‘vq=4m/s kg・仏,碰撞前总动能为EkFP届=8J。 如果心心3m/s,p皆解析: 碰撞前总动量为P十心42勰轴融鞫器瞬軽飆井 +汕航=6.75J,能量不增加,碰撞过程动量守恒I"2VQ=2-5m/S,P^=mPVP+m°VQ=4kg*m/S'&'=咱曾 确;如果vp=1m/s,vq=3m/s,p'=mpvp+mova=7kg-m/s,碰撞过程动量不守恒? C错误;如果vp=—4m/s? vq=4m/s‘p'=mpvp+mQVQ=4kg・m/s,Ek'=12mpv2p+21mov2Q=24J,碰撞过程动量守恒,动能增加'D错误。 答案: AB 2•[弹性碰撞](多选)在光滑的水平面上小球A以速度"沿直线运动,经一段时间与静止在水平面上的小球B发 生弹性正碰,已知A、B两球的质量分别为rw、m2,碰后两球的速率分别为w'、V2'。 则() A若…一rm m2 则V2 =V1 B苦 ・右mr m2 则号 =2vi C茗 ・右mi? m2 则V =—V1 D若mi m2 则VJ =V1 m2v2'2? 解得两小球碰后的速度Vi'=m12v1、*2’=加v1。 当ITh=R12时、W=Vi? Vi'=0? A正确,D rm+m2mi+m2 错误;当mi? m2时,V2'=2vi,B正确;当rm? m2时,vi"=—vi,C正确。 答案: ABC 3•[非弹性碰撞] 如图所示,光滑水平直轨道上两滑块A、B用橡皮筋连接,A的质量为m。 开始时橡皮筋松弛,B静止,给A向左的初速度vo。 一段时间后,B与A同向运动发生碰撞并粘在一起,碰撞后的共同速度是碰撞前瞬间A的速度的两倍,也是碰撞前瞬间B的速度的一半。 求: (1)B的质量; (2)碰撞过程中A、B系统机械能的损失。 解析: (1)以初速度vo的方向为正方向,设B的质量为mB,A、B碰撞后的共同速度为v,由题意知: 碰撞前瞬间A的速度为v2‘碰撞前瞬间B的速度为2v,由动量守恒定律得 m-2+2mBV=(m+mB)v① 由①式得mB=m2② (2)从开始到碰撞后的全过程,由动量守恒定律得mvo=(m+mB)v(3) 设碰撞过程A、B系统机械能的损失为AE,则 1V21212 AE=2m22+2mB(2v)22(m+mB)v2④ 联立②③④式得 12 AE—6mv2o 答案: (1)^2 (2)16mv2o 26 考点三动量和能量观点的综合应用1•解动力学问题的三个基本观点 (1)力的观点: 运用牛顿定律结合运动学知识解题,可处理匀变速运动问题。 (2)能量观点: 用动能定理和能量守恒观点解题,可处理非匀变速运动问题。 (3)动量观点: 用动量守恒观点解题,可处理非匀变速运动问题。 2•动量守恒定律与机械能守恒定律的比较 定律名称 比较项目 动量守恒定律 机械能守恒定律 相同点 研究对象 相互作用的物体组成的系统 研究过程 某一运动过程 不同点 守恒条件 系统不受外力或所受外力的矢量和为零 系统只有重力或弹力做功 表达式 P1+P2=pi'+P2' Ek1+Ep1_Ek2+Ep2 矢标性 矢量式 标量式 某一方向上应用情况 可在某一方向上独立 使用 不能在某一方向上独立使用 运算法则 矢量运算 代数运算 [2016全•国甲卷・35 (2)]如图,光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体,斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。 某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出,冰块平滑地滑上斜面体,在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m(h小于斜面体的高度)。 已知小孩与滑板的总质量为rm=30kg,冰块 的质量为m2=10kg,小孩与滑板始终无相对运动。 取重力 加速度的大小g=10m/s2。 (1)求斜面体的质量; (2)通过计算判断,冰块与斜面体分离后能否追上小孩? 解析: (1)规定向右为速度正方向。 冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度,设此共同速度为v, 斜面体的质量为m3。 由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得m2V20^,m2+m3)V① 212 m2V22o=2(m2+m3)v'+mzgh: ② 式中V20=-3m/s为冰块推出时的速度。 联立①②式并代入题给数据得R13=20kg③ (2)设小孩推出冰块后的速度为vi,由动量守恒定律有mivi+mav2o=0④代入数据得 vi=1m/s⑤ 设冰块与斜面体分离后的速度分别为V2和V3,由动量守恒和机械能守恒定律有 m2V20m2V2m3V3" 1212122m2V220=2m2V22+2m3V32© 联立③⑥⑦式并代入数据得 V2=1m/s®由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方,故冰块不能追上小孩。 答 案: (1)20kg⑵见解析 方法技巧利用动量和能量的观点解题的技巧 1若研究对象为一个系统,应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律机械能守恒定律。 2若研究对象为单一物体,且涉及功和位移问题时,应优先考虑动能定理。 3因为动量守恒定律、能量守恒定律机械能守恒定律、动能定理都只考查一个物理过程的始末两个状态有矢 物理量间的矢系,对过程的细节不予细究,这正是它们的方便之处。 特别对于变力做功问题,就更显示出它们的优 越性。 [题组训练] 1•如图所示,用轻绳将质量分别为mi=1.0kg和m2=2.0kg的弹性小球a、b紧紧捆在一起,使它们发生微小的形变。 两球以速度vo=O.1Om/s沿光滑水平面向右做直线运动。 某时刻轻绳突然自动断开,断开后两球仍沿原直线运动。 经过t=5.0s时,测得两球相距x=4.5m,求: (1)刚分离时,a、b两小球的速度w、V2; (2)两球分开过程中释放的弹性势能Ep。 解析: (1)以开始时两球运动的方向为正方向,由动量守恒定律得(mTm2)V0mlVl+m2V2由位移矢系得X=Vlt—V2t 联立解得vi=0.70m/s? 72=—0.20m/s° ⑵由能量守恒定律得2(mi+m2)v2o+Ep=2miv2i+2m2V22 解得EP=0.27Jo 答案: (1)0.70m/s一0.20m/s (2)0.27J 2・(2017•包头模拟)两物块A、B用轻弹簧相连,质量均为2kg,初始时弹簧处于原长,A、B两物块都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上运动,质量为4kg的物块C静止在前方,如图所示。 B与C碰撞后二者会粘在一起运动。 则在以后的运动中: (1)当弹簧的弹性势能最大时,物块A的速度为多大? (2)系统中弹性势能的最大值是多少? 解析: ⑴当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。 由A、B、C三者组成的系统动量守恒'(mA+mB)v=(mA+mB+mc)VABc^^vabc=22-+22^x46m/s=3m/s QB、C碰撞时B、C组成的系统动量守2x6 恒,设碰后瞬问B、C两者谏底为VBC-wmBV=(mBmC)VBCVBC2-4m/s=2m/s 设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为EP, 根据能量守恒Ep=2(mB+mc)v2Bc+Litia,—12(mA+itib+me)v2abc=12J 答案: (1)3m/s (2)12J 1-C2015•福建理综-30 (2)1如图,两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动,滑块A的质量为m,速度 大小为2vo,方向向右,滑块B的质量为2m,速度大小为vo,方向向左,两滑块发生弹性碰撞后的运动状态是() A-A和B都向左运动B・A和B都向右运动 C-A静止,B向右运动 D-A向左运动,B向右运动 解析: 由于A、B碰前总动量为0‘由动量守恒可知碰后总动量也为0,因两滑块发生弹性碰撞,故碰后A、 B—定反向,即A向左运动,B向右运动,选项D正确。 答案: D 2・A球的质量是m,B球的质量是2m,它们在光滑的水平面上以相同的动量运动。 B在前,A在后,发生正碰后,A球仍朝原方向运动,但其速率是原来的一半,碰后两球的速率比VA': VB'为() A・1: 2B・1: 3 C・2: 1D・2: 3 解析: 设碰前A球的速率为v,根据题意pa=pb,即mv=2mvB,得碰前vb=v25碰后va=由动量守 恒定律? 有mv+201x2=mxV2+2mvB',解得vb'=34v5所以va': vb'=v2: 34v=31,D正确。 答案: D 3・[2016全•国丙卷35- (2)] 如图,水平地面上有两个静止的小物块a和b,其连线与墙垂直;a和b相距I,b与墙之间也相距I;a的质量 3 为m,b的质量为4口。 两物块与地面间的动摩擦因数均相同。 现使a以初速度vo向右滑动。 此后a与b发生弹性碰撞,但b没有与墙发生碰撞。 重力加速度大小为g。 求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。 32v2o_ 113gl 答案: 2232V%Pv0113gk2gl 4-(2015•全国卷U )滑块a、b沿水平面上同一条直线运动,并发生碰撞;碰撞后两者粘在一起运 动;经过一段时间后,从光滑路段进入粗糙路段。 两者的位置x随时间t变化的图象如图所示。 求: (1)滑块a、b的质量之比; (2)整个运动过程中,两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。 解析: (1)设a、b的质量分别为rw、m2,a、b碰撞前的速度为w、V2。 由题给图象得 vi=—2m/s① V2=1m/s②' a、b发生完全非弹性碰撞,碰撞后两滑块的共同速度为v。 由题给图象得 由动量守恒定律得 miV! +m2V2m1+m2)V④ 联立①②③④式得 mi: m2=1: 8⑤ (2)由能量守恒得,两滑块因碰撞而损失的机械能为 121212 AE=2mivi+2m2V22(mi+m2)v® 由图象可知,两滑块最后停止运动。 由动能定理得,两滑块克服摩擦力所做的功为 12 W=2(mi+m2)v2(7) 联立⑥⑦式,并代入题给数据得 W: AE=1: 2 答案: (1)1: 8 (2)1: 2 课时训练 一、选择题(1〜4题为单项选择题,5〜6题为多项选择题) 1・(2016•浙江台州中学检测)甲、乙两名滑冰运动员沿同一直线相向运动,速度大小分别为3m/s和1m/s,迎面碰撞后(正碰)甲、乙两人反向运动,速度大小均为2m/s。 则甲、乙两人质量之比为() A・2: 3B-2: 5 C・3: 5D・5: 3 解析: 由动量守恒定律得: m'x3—m^x1=m'x(—2)+m^x2 所以口甲=3,选项c正确。 m乙5 答案: C 2・如图所示,两辆质量均为M的小车A和B置于光滑的水平面上,有一质量为m的人静止站在A车上,两车静止。 若这个人自A车跳到B车上,接着又跳回A车并与A车相对静止。 则此时A车和B车的速度之比为() M+m A.+mm+MB-m C.Mm M+mDM+m 解析: 规定向右为正方向'则由动量守恒定律有: 0=Mvb—(M+ri)va,得皿=m,故选c。 vbM+m 答案: C 3•如图所示,光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。 两球质量矢系为mB=2mA,规定向右为正方向,A、B两球的动量均为6kg-m/s运动中两球发生碰撞'碰撞后A球的动量增量为一4kg・m/s,则( Ar-xASASAE是是是是方方方方左左右右AB•C•D 碰撞后A、B两球速度大小之比为2: 5 碰撞后A、B两球速度大小之比为1: 10 碰撞后A、B两球速度大小之比为2: 5 碰撞后A、B两球速度大小之比为1: 10 解析: 由两球的动量都是6kg-m/s可知,运动方向都向右,且能够相碰,说明左方是质量小速度大的 故左方是A球。 碰后A球的动量减少了4kg・m/s,即A球的动量为2kg-m/s,由动量守恒定律知B球的动量为10kg.m/s,则其速度比为2: 5,故选项A是正确的。 答案: A 4・一弹丸在飞行到距离地面5m高时仅有水平速度v=2m/s,爆炸成为甲、乙两块水平飞出,甲、乙的质量比为3: 1。 不计质量损失,取重力加速度g=10m/s2,则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是() D 解析: 平抛运动时间t=2gh=1S,爆炸过程遵守动量守恒定律,设弹丸质量为m,则mv=34mv^+14mv乙, xx乙31 又▼甲=t,t=1s,则有4X甲+4X乙=将各选项中数据代入计算得B正确。 答案: B 5. ^77777777777777777. 如图所示,A、B两物体的质量之比mA: mB=3: 2,原来静止在平板车C上,A、B间有一根被压缩的轻质弹簧,地面光滑'当弹簧突然释放后,则() A•若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B组成的系统动量守恒 B•若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B、C组成的系统动量守恒 C•若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B组成的系统动量守恒 D•若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B、C组成的系统动量守恒 解析: 如果A、B与平板小车上表面间的动摩擦因数相同,弹簧释放后,A、B分别相对小车向左、向右滑动,它们所受的滑动摩擦力Fa向右,Fb向左,由于mA: mB=3: 2,所以Fa: Fb=3: 2,则A、B组成的系统所受的外力之和不为零,故其动量不守恒,A选项不正确;对A、B、C组成的系统所受外力为竖直方向的重力和支持力,它们的合力为零,故该系统的动量守恒,B、D选项均正确;若A、B所受的滑动摩擦力大小相等,则A、B组成的 系统所受的外力之和为零,故其动量守恒,C选项正确。 答案: BCD 6・如图所示,弹簧的一端固定在竖直墙壁上,质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上,槽的底部与水平面平滑连接,一个质量也为m的小球从槽上高为h处开始下滑,则() A•在小球从圆弧槽上下滑的运动过程中,小球与槽组成的系统在水平方向上的动量始终守恒 B•在小球从圆弧槽上下滑的运动过程中,小球的机械能守恒C•在小球压缩弹簧的过程中,小球与弹簧组成的系统的机械能守恒 D•小球离开弹簧后能追上圆弧槽 解析: 在小球下滑的过程中,小球与槽组成的系统所受的合外力不为零,系统的动量不守恒,但系统在水平方向上所受的合外力为零,所以系统在水平方向上的动量始终守恒,选项A正确;在小球下滑的过程中,对于小球与槽组成的系统,只有重力做功,所以系统的机械能守恒,但小球的机械能不守恒,选项B错误;在小球压缩弹簧的过程中,对于小球与弹簧组成的系统,只有弹力做功,所以小球与弹簧组成的系统的机械能守恒,选项C正确;在小球下滑的过程中,小球与槽组成的系统在水平方向上的动量守恒,因小球与槽的质量相等,故小球与槽分离后,小球与槽的速度大小相等,方向相反,小球被反弹后,小球与槽的速度相等,小球不能追上槽,选项D错误。 答案: AC 二
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