第10讲胡不归最值模型原卷版.docx
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第10讲胡不归最值模型原卷版
中考数学几何模型10:
胡不归最值模型
拨开云雾开门见山
名师点睛
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我们还可能会遇上形如
“PA+kP”这样的式子的最值,此类式子一般可以分为两类问题:
(1)胡不归问题;
(2)阿氏圆.
【故事介绍】
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?
胡不归?
⋯”(“胡”同“何”)
【模型建立】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1 V2V1 AC V2 问题分析】 V1=V1BCV2AC,记kV2,即求BC+kAC的最小值. 【问题解决】 CH 构造射线AD使得sin∠DAN=k,即k,CH=kAC. AC 将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小 值,即BC+kAC最小. B N 【模型总结】 PA+PC” 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 探究重点 5 BD 5 典题探究启迪思维 例题1.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD 的最小值是. 变式练习>>> PD的最 1.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则PB 2小值等于. 例题2.如图,AC是圆O的直径,AC=4,弧BA=120°,点D是弦AB上的一个动点,那么OD+BD的 最小值为() 变式练习>>> 2.如图,△ABC中,∠BAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为2,则BC=. 例题3.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC 边的高OA在Y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为. 变式练习>>> 3.如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少, 则点D的坐标应为( 变式练习>>> 4.如图1,在平面直角坐标系中将y=2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1,直线l1与x轴交于点C;直线l2: y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点,且与直线l1交于点D. (1)填空: 点A的坐标为,点B的坐标为; (2)直线l1的表达式为; (3)在直线l1上是否存在点E,使S△AOE=2S△ABO? 若存在,则求出点E的坐标;若不存在,说明理由. (4)如图2,点P为线段AD上一点(不含端点),连接CP,一动点H从C出发,沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止,求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标. 例题5.已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D. (1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式; (2)若在 (1)的条件下,抛物线上存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,求点P的坐标; (3)在 (1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少? 变式练习>>> 2 5.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(2,0)、B(﹣8,0),交y轴于点C,过点A、B、 C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D. (1)求此抛物线的表达式及圆心M的坐标; (2)设P为弧BC上任意一点(不与点B,C重合),连接AP交y轴于点N,请问: AP? AN是否为定值,若是,请求出这个值;若不是,请说明理由; (3)延长线段BD交抛物线于点E,设点F是线段BE上的任意一点(不含端点),连接AF.动点Q 从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止,问当点F的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少? 达标检测领悟提升强化落实 1.如图,在平面直角坐标系中,点A3,3,点P为x轴上的一个动点,当AP12OP最小时,点P的坐 标为. 且∠ABC=60°,点M为对角线BD(不含点B)上的一动点,则 3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣),C(2, 0),其对称轴与x轴交于点D. 1)求二次函数的表达式及其顶点坐标; 2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点,若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为 4.【问题提出】如图①,已知海岛A到海岸公路BD距离为AB的长度, 到酒店C,先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车,车速为船速的n倍,【特例分析】若n=2,则时间t=+,当a为定值时,问题转化为: 的值最小.如图②,过点C做射线CM,使得∠BCM=30°. ; (2)请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′. (1)过点D作DE⊥CM,垂足为E,试说明: DE= 问题解决】(3)请你仿照“特例分析”中的相关步骤,解决图①中的问题.(写出具体方案,如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等) 【综合运用】(4)如图③,抛物线y=﹣x2+x+3与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,E为OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF.一动点P从E出发,沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止.若点P在整个运动过程中用时最 5.如图,△ABC是等边三角形. (1)如图1,AH⊥BC于H,点P从A点出发,沿高线AH向下移动,以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ,连接BQ.求∠CBQ的度数; (2)如图2,若点D为△ABC内任意一点,连接DA,DB,DC.证明: 以DA,DB,DC为边一定能组成一个三角形; (3)在 (1)的条件下,在P点的移动过程中,设x=AP+2PC,点Q的运动路径长度为y,当x取最小值时,写出x,y的关系,并说明理由. 6.如图,已知抛物线y= x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与 y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D. (1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值; (3)在 (1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F 7.已如二次函数y=﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C, (1)如图1,P是直线BC上方抛物线上一动点(不与B、C重合)过P作PQ∥x轴交直线BC于Q,求线 段PQ的最大值; G的坐标; 2)如图2,点G为线段OC上一动点,求BG+CG的最小值及此时点 AM,MN,求AM+MN (3)如图3,在 (2)的条件下,M为直线BG上一动点,N为x轴上一动点,连接的最小值. 8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,点D、F分别是边AB,BC上的动点,连接CD, 9. FB的最小值是( 过点A作AE⊥CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+ P是直 线段 O1 10.抛物线y6x223x6与 x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.点 63 线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移, 1 OB的对应线段是O1B1,当PE1EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点 2 的坐标.
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