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最新12充分条件与必要条件
1-2充分条件与必要条件
一、选择题
1.(2011·福建文,3)若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充要条件.
a=1成立,则|a|=1成立.但|a|=1成立时a=1不一定成立,所以a=1是|a|=1的充分不必要条件.
2.(文)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
[答案] B
[解析] 考查命题与它的逆命题之间的关系.
原命题与它的逆命题的条件与结论互换,故选B.
(理)命题“若a>0,则a2>0”的否命题是( )
A.若a2>0,则a>0B.若a<0,则a2<0
C.若a≤0,则a2≤0D.若a≤0,则a2≥0
[答案] C
[解析] 否命题是将原命题的条件与结论分别否定,作为条件和结论得到的,即“若a≤0,则a2≤0”.
3.(2012·临沂模拟)“sinα=
”是“cos2α=
”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式.
∵cos2α=1-2sin2α=
,∴sinα=±
,
∴sinα=
⇒cos2α=
,但cos2α=
sinα=
,
∴“sinα=
”是“cos2α=
”的充分而不必要条件.
4.(2012·安庆模拟)对于非零向量a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 考查平面向量平行的条件.
∵a+b=0,∴a=-b.∴a∥b.
反之,a=3b时也有a∥b,但a+b≠0.故选A.
5.有下列四个命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.
其中真命题是( )
A.①②B.②③
C.①③D.③④
[答案] C
[解析] 写出相应命题并判定真假.①“若x,y互为倒数,则xy=1”为真命题;②“不相似三角形的周长不相等”为假命题;③“若方程x2-2bx+b2+b=0没有实根,则b>-1”为真命题;④“若A⊉B,则A∪B≠B”为假命题.
6.(2012·天津理,2)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充分必要条件.由x≥2且y≥2,则x2+y2≥4一定成立,而x2+y2≥4时,x≥2且y≥2不一定成立,如x≥3且y≥0,故充分不必要条件.
二、填空题
7.已知命题p:
|2x-3|>1,命题q:
lg(x-2)<0,则命题p是命题q的________条件.
[答案] 必要不充分
[解析] p:
x>2或x<1,q:
2 8.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________. [答案] 3 [解析] 原命题为假命题,所以逆否命题也是假命题,逆命题“若m2>n2,则m>-n”也是假命题,从而否命题也是假命题. 三、解答题 9.已知p: -2≤x≤10,q: 1-m≤x≤1+m(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. [解析] 解法一: (直接法) ∵p: -2≤x≤10,∴綈p: A={x|x<-2或x>10}. ∵q: 1-m≤x≤1+m, ∴綈q: B={x|x>1+m或x<1-m}. ∵綈p是綈q的必要而不充分条件, ∴BA,∴ (等号不同时成立),解得m≥9. 解法二: (等价命题转化法) ∵“¬p是¬q必要不充分条件”的等价命题是: p是q的充分不必要条件. 设p: A={x|-2≤x≤10},q: B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. ∵p是q的充分不必要条件,∴AB. ∴ (两个等号不能同时取到),∴m≥9. 一、选择题 1.(2011·大纲全国卷理,3)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A.a>b+1B.a>b-1 C.a2>b2D.a3>b3 [答案] A [解析] 本题主要考查了不等式的性质以及充分不必要条件、充要条件等概念,难度适中. 要求a>b成立的充分不必要条件,必须满足由选项能推出a>b,而由a>b推不出选项.在选项A中,a>b+1能使a>b成立,而a>b时a>b+1不一定成立,故A正确;在选项B中,a>b-1时a>b不一定成立,故B错误;在选项C中,a2>b2时a>b也不一定成立,因为a,b不一定均为正值,故C错误;在选项D中,a3>b3是a>b成立的充要条件,故D也错误. 2.(文)命题甲: x、21-x、2x2成等比数列;命题乙: lgx、lg(x+1)、lg(x+3)成等差数列,则甲是乙的( ) A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 [答案] B [解析] 甲: x·2x2=(21-x)2,即2x2-x=22-2x,∴x=1或-2 乙: lgx+lg(x+3)=2lg(x+1),即x(x+3)=(x+1)2, ∴x=1, ∴甲 乙,而乙⇒甲. (理)在△ABC中,设命题p: = = ;命题q: △ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 命题p中,因 = = ,由正弦定理可得 = = =k, 所以 消去k,得a=b=c. 命题q中,因△ABC是等边三角形, 所以a=b=c,∠A=∠B=∠C=60°, 所以 = = . 二、填空题 3.有下列判断: ①命题“若q则p”与命题“若綈p则綈q”互为逆否命题;②“am2 其中正确命题的序号为________. [答案] ①④ [解析] ①两个命题的条件与结论互逆且否定,故正确; ②am2 但反之不能(如m=0).故错误; ③命题“平行四边形的对角相等”的否命题是“若一个四边形不是平行四边形,则它的对角不相等”是假命题. ④∅⊆{1,2}是真命题,∅∈{1,2}是假命题,故正确. 4.(文)设集合A={x| <0},B={x|x2-4x<0},那么“m∈A”是“m∈B”的________条件. [答案] 充分不必要 [解析] 若m∈A,则 <0,∴0 若m∈B,则m2-4m<0,即0 故“m∈A”是“m∈B”的充分条件. 取m=2,则 =2,于是 <0不成立,所以m∈A不成立. 故“m∈A”不是“m∈B”的必要条件. 综上所述,“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件. (理)对于下列四个结论: ①若A是B的必要不充分条件,则綈B也是綈A的必要不充分条件; ②“ ”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件; ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件; ④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件. 其中,正确结论的序号是________. [答案] ①②④ [解析] ∵“A⇐B”,∴“綈A⇒綈B”,故①正确. “一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件是 ,故②正确. ∵x≠1 x2≠1,例如x=-1,故③错误. ∵x+|x|>0⇒x≠0,但x≠0 x+|x|>0, 例如x=-1.故④正确. 三、解答题 5.给出下列命题: (1)p: x-2=0,q: (x-2)(x-3)=0. (2)p: 两个三角形相似;q: 两个三角形全等. (3)p: m<-2;q: 方程x2-x-m=0无实根. (4)p: 一个四边形是矩形;q: 四边形的对角线相等. 试分别指出p是q的什么条件. [解析] (1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0; 而(x-2)(x-3)=0 x-2=0. ∴p是q的充分不必要条件. (2)∵两个三角形相似 两个三角形全等; 但两个三角形全等⇒两个三角形相似. ∴p是q的必要不充分条件. (3)∵m<-2⇒方程x2-x-m=0无实根; 方程x2-x-m=0无实根 m<-2. ∴p是q的充分不必要条件. (4)∵矩形的对角线相等,∴p⇒q; 而对角线相等的四边形不一定是矩形.∴q p. ∴p是q的充分不必要条件. 6.(文)判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假. (1)若四边形的对角互补,则该四边形是圆内接四边形; (2)在二次函数y=ax2+bx+c中,若b2-4ac<0,则该函数图像与x轴有交点. [解析] (1)该命题为真命题. 逆命题: 若四边形是圆内接四边形,则该四边形的对角互补.真命题. 否命题: 若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆内接四边形.真命题. 逆否命题: 若四边形不是圆内接四边形,则该四边形的对角不互补.真命题. (2)该命题是假命题. 逆命题: 在二次函数y=ax2+bx+c中,若该函数的图像与x轴有交点,则b2-4ac<0.假命题. 否命题: 在二次函数y=ax2+bx+c中,若b2-4ac≥0, 则该函数图像与x轴没有交点.假命题. 逆否命题: 若二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴没有交点,则b2-4ac≥0.假命题. (理)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点. (1)求证: “如果直线l过点(3,0),那么 · =3”是真命题. (2)写出 (1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解析] (1)设l: x=ty+3,代入抛物线y2=2x, 消去x得y2-2ty-6=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=2t,y1·y2=-6, · =x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2 =t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2 =-6t2+3t·2t+9-6=3. ∴ · =3,故为真命题. (2) (1)中命题的逆命题是: “若 · =3,则直线l过点(3,0)”它是假命题. 设l: x=ty+b,代入抛物线y2=2x, 消去x得y2-2ty-2b=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1·y2=-2b. ∵ · =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt·2t+b2-2b=b2-2b, 令b2-2b=3,得b=3或b=-1, 此时直线l过点(3,0)或(-1,0).故逆命题为假命题. 7.设p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0,q: 实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的范围. [解析] 由x2-4ax+3a2<0及a<0,得3a 即p: 3a 又由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,由x2+2x-8>0, 得x<-4或x>2, 那么q: x<-4或x≥-2. 由于綈p是綈q的必要不充分条件,即綈q⇒綈p, 于是,得 或 得- ≤a<0或a≤-4, 故所求a的范围为- ≤a<0或a≤-4.
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