第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示.docx
- 文档编号:11875810
- 上传时间:2023-04-08
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:25.73KB
第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示.docx
《第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示
第一节曲面的显式方程和
隐式方程
一、由显式方程表示的曲面
设DR2是有界闭区域,函数
f:
D,R连续。
我们称函数f的图
像
3
G(f)={(x,y,z)Rzf(x,y),(x,y)D}
为一张曲面,它展布在D上,称这个曲面是由显式方程
z=f(x,y),(x,y)D
所确定的。
通常用匚表示一个曲面。
二、几种常见的曲面
例1在空间直角坐标系中,中心在坐标原点、半径为a、在xy平面上方的那个半球面(称为上半球面),它的显式方程为
z=\a2-X2-y2,(x,y)D,其中D={(x,y):
x2yJa2},即D是xy平面上以原点为中心、半径为a
的圆盘。
显然,下半球面的方程为
z…\a2-X2-y2,(x,y)D;
同样可给出左半球面、右半球面的方程式。
例2点集
{(x,y,z):
x,y,z-0,xyz=1}
是R3中的一块等边三角形。
这
块曲面有显式表达
z=1xy,(x,y)D,
其中D={(x,y):
x,y-0,xy「}。
例3由方程z=axy,(x,y)R2,(常数a0),所确定的曲面称为双曲抛物面。
由于这曲面在在xy平面的上的,第一、第三象限中,在xy平面的上
方,而在第二、第四象限中是在xy平面的下方,因此在原点(0Q0)的近旁,曲面呈鞍的形状,俗称马鞍面。
例4旋转曲面的方程
1设想在xz平面上有一条显式曲线
z=f(x),(0£a-x-b)。
如果固定z轴不动,让xz平面绕着z轴旋转360,那么这一条曲线就扫出一张曲面,称之为旋转曲面2。
设(x,y,z)匚,它在过点(0,0,z)平行于xy平面的平面上,以(0,0,z)为中心,半径为r的圆周上
(z=f(r)),
222
xy=r,
于是得这个旋转曲面-的方程为
z=f(\‘X2y2),(D:
a2£x2y2《b2)。
曲线zyf0x),
称为这个旋转曲面z的发生线。
为了了解旋转曲面的几何形态,通常看一看发生线的形状就足够了。
例如曲面
z=\X2y2,(x,y)R2,
是一个旋转曲面,这是一个圆锥面;
它的发生线是直线zx,(x-0,厂0)。
曲面
222z=xy,(x,y)R,
是一个旋转抛物面,因为它的发生线是抛物线Z=x2,(x-0,厂0)
2把xz平面上曲线
z二f(x)(f(x)-0,a乞x乞b)
绕x轴旋转一周,那么这条曲线就扫出一张曲面,称之为旋转曲面:
。
设(x,y,z)匚,它在过点(x,0,0)平行于yz平面的平面上,以(x,o,o)中心,半径为f(x)的圆周上。
显然,曲面匚的方程为
y2z2=(f(x))2,
由此得旋转曲面在z正方向的方程
为z=\'(f(X))2「y2,(x,y)D,其中d是旋转曲面在xy平面的投影区域,
D-{(x,y)f(x)乞厂f(x),a岂x岂b。
例如把xz平面上曲线z\a2-x2,绕x轴旋转一周,所得旋转曲面方程为x2y2Z2二a2。
二、曲面的隐式表示
例如,{(x,y,z):
x?
y?
z?
「a?
=0}表示中心在原点,半径为a的球面,这个球面上的点完全可以用方程X?
y?
z?
-a?
=0的解(X,y,z)来表示。
一般地,设三元函数F定义在
3
区域DR,区域D中所有满足方程
F(x,y,z)=0,⑵
的点集组成一张曲面,称为由方程
(2)所确定的隐式曲面。
222
xyz
例如,訐匸二「「°表示椭球面;
7abc7
z?
-(x?
y?
)=0表示锥面。
四、曲面的切平面和法向量
设P。
=(Xo,yo,z。
)D是隐式曲面
(2)上的一点,任意作一条过点P0的曲面上的曲线:
,设:
有参数方程
X=X(t),y=y(t),z=z(t)
并且参数to对应着点Po,将参数方程的三个分量代入
(2),得到一个关于t的恒等式
F(x(t),y(t),z(t))=0,
对上式双方在点to处求导,得到
FF:
F
—(Po)x(to)—(Po)y(to)—(Po)z(to)=0
xyz
用向量的内积来表示,上式乃是
药Po),石(po吃(Po)妙o),畑,如)=0,这表明: 曲线: 在点Po的切向量与向量 (cF&FcF 吓心药血),石(Po),存町(3) 垂直,由于: 是曲面上过点Po的任一条曲线,而(3)是一个固定的向量,这表明: 曲线上过点Po的任何 曲线在点Po的切线是共面的。 这个平面称为曲面 (2)在Po的切平面, 而向量(3)称为曲面 (2)在点Po处的一个法向量,所以,曲面 (2)在点Po处的切平面的方程是 FFF (x’(po)(y-r(po)(…。 匸(小0(4) 这里(x,y,z)是切平面上的流动坐标。 曲面在一点处的法线方程亦可写出。 例如: 考察球面 F(x,y,z)=x2y2z2-a2=0,在点(Xo,yo,Zo)处,由(3)可得法向量(Xo,yo,Zo),这是一个指向球外的法向量,可以叫做外法向量。 为了求球的切平面方程, 由(4)可得 (X-Xo)Xo(y-y°)y°(z-z°)Zo二o, 注意到(Xo,y°,z°)是球面上的点, X。 2 y。 2 Z0 a2 上式又可写作 ++2 XX。 yy。 zz。 =a; 例考察椭球面 222 F(x,y,z)二 xyz 1 222abc 在点p。 =(冷』0,%)处, 法向量 (cFdFcF 吓(Po)=—(P。 ),一(P。 ),一(P。 ) ICX門cz =(2x^如2zg) (a2,b2,c2), 切平面 第(x-x。 )普(y-y。 )智z-zcp。 abc' 注意到(Xo,y°,z。 )是椭球面上的点,上式又可写作 孕x琴y今"1 abc 例由方程F(x,y)二。 所确定的隐函数厂f(x),xI。 F(x,y,z)二 在点Po二法向量 在F(x,f(x))=O,xI中对x求导得 : F;: F £p(x)=°, (i‘f(X))(£‘*)=o,(两向量正交); r(x)=(1,f(x))正是曲线r(x)=(x,f(x))的切向量,(二兰)曲线r(x)=(x,f(x))的法向x: y 量。 切线方程为 cFdF (x-xo=(xo,yo)"yo)弓(Xo,小0。 例椭圆或双曲线 22八1=oa2b2, (xo,y°)处的的法向量 切线方程为 汁1。 五、显式曲面的切平面和法向量 曲面-: z=f(x,y),(x,y)D, 令F(x,y,z)二z-f(x,y), 则此曲面的方程为 F(x,y,z)=z-f(x,y)7,(X,y)D; 任取(xo,yo)wD,再置zo=f(xo,yo),依(3)可得曲面的一个法向量 : f: f (一&区』0)'-*%%)1)(5) 由(5)看出: 这法向量的第三个分量为1,所以它同z轴的正向的夹角不超过-,可以称(5)为上法向量,相应地 : f: f ((x°,y°),(Xo,y°)Q) xy 可称为曲面z=f(x,y)的下法向量,这两个法向量只是有相反的方向,所以它们都是垂直于过 Po=(xo,y°,z。 )的切平面。 这时切平面的方程为 '(x°,y°)(x-X。 )'(xo,y°)(y-y。 )(z-z。 )=0 .x;: y z-f(x°,y。 )'(X。 ,y°)(x-X。 )'(x。 ,y°)(y-y。 ), excy5 六、对隐式曲面F(x,y,zp。 在一定条件下,可以解成显式曲面。 例如,^(5)7,FC1。 补充: 平面方程, 平面的法线方向 由两个曲面相交的曲线的切线 方程和法平面方程 设曲面11: F(x,y,zp。 与曲面 12: G(x,y,zp。 的交线为-。 p。 =(Xo,y°,z。 ) 设为曲线: 在Po处的切向量, 则有'F(Po)=0, 'G(Po)=0 记m八F(Po),n2=G(Po),法平方向程由此可写出切线方程和处的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第二 第一节 曲面 概念 方程 表示