不等式基本不等式对勾函数判别式解法doc.docx
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不等式
不等式是高考必考的热点内容,考查的广度和深度是其他章节无法比拟的,任何一份高考试卷屮,涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。
-•方而,考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用;另一方而,与髙中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。
因此,对于不等式的学习,应达到多层面,多角度熟练掌握的程度。
第一节
基本不等式
1.若a,bER,则a2+b2>2ab,等号成立的条件:
a=b;
证明:
当a.bGR时,(a-b)2>0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。
2.基本不等式的变形(包括2个方面)
①若a,b>0的实数,则a4-b>2Vab,等号成立的条件:
a=b;
若a,b6R,ab>0则-4-^>2,等号成立的条件:
a=b;
ab
若XGR,X>0则x+i>2,等号成立的条件:
x=1;(上述3个不等式,考虑如何证明?
)X
注:
上述的a,b不能仅仅理解为两个参数,它可以是表达式或函数的解析式。
②若a,b6R,则/+b?
二(a;b)二2ab;等号成立的条件:
a=b(注意:
不等式的右边是(a+b)2)
解:
x+y=(x+y)G+》=7+(¥+¥)n7+2j|
例题1•已知x,ye(0,+°°),且?
+牛=1,求x+y的最小值及xy的最小值。
Xy=74-473,Ax+y的最小值为:
7+4^3;
求(xy)伽有两种方法,其一是配式,^=^xix^<^(Y)2=^.-.(xy)max=48;另一种方法是,由-+-=1->xy=4y+3x>2』3xx4y=4V3Jxy,x,y6(0,+°°)->Jxy>4后A(xy)min=48。
xy
例题2.已知aVl-b?
+bVl—a2=1,求证:
a24-b2=lo
证明:
由基本不等式得:
aVTNSa°(俨尸=竺耳出(这里等号成立的条件是,a=VF帀);
同理,bVl—a2<&+厂(这里等号成立的条件是,b=V1—a2),/.aVl—b2+bVl—a2<1(*)而条件是aVl^b7+bVir=1,即对于不等式(*)等号成立,即b=VT亏且a=VF帀即a?
+b2=lo注:
本题把等号成立的条件,作为求证的目标,比较新颖。
例题3.已知x,yG
R,满足x+y=1,求(x+护
+(y+》2的最小值。
解:
(x+i)2+(y+i)2=x24-y24-^+4=(x2+y2)(14-^)4-4/这里
x2+y2>^=ixy<^=i^^>16.-.(x+i)2+(y+i)2>|(l+16)+4=^.
注:
解答本题的关键是,如何运用好x+y=l,两次使用了基木不等式,但不矛盾。
例题4.求y=仮+"3-x的最大值。
解:
函数的定义域为xG[0,3],可以用其它的方法來解,比如用两边平方转化成二次函数求极值等。
但由于依与VI三的两式平方和为常数3,故应用基木不等式的变形公式简单些。
T(Vx+a/3—x)2<2((Vx)2+(a/3—x)2)=6
Vx4-V3-x 乙 例题5.已知a>b>0,则a? +£哙的最小值为()o b(a-b) 解: a24--^->a2+^-=a24-^>16,当月•仅当a=2V2,b=V2^号成立,a24--的最小值为16・ b(a-b)(" k27 注: 这里要求2元表达式的a2+-^-的最值,不能直接整体应用棊木不等式(即不能直接整体消去a、b)而H.也b(a-b) 没有给出条件等式(即不可能代入消元),因此,对局部b(a-b)用基本不等式的变形公式进行处理。 例题6.若二次歯数f(x)=ax2-4x4-c的值域为[0,+°°),则臣匕+云^的最小值为()。 解: 山题意得a>0,“16-4a=0,即ac=4,c>0,则命+命二佥+冷=卷汕盤^瓷二忌訂,当且仅当沪c二2时,等号成立,所以命+命的最小值为? 注: 木题也可用消元法,由4=16-4qc=0消去a或c,比较麻烦。 例题7.已知a,b,c>0,且护+2ab+2ac+4bc=9,则a+b+c的最小值为(3)。 例题&已知a,b,c>0,H.a+b+c=1,贝N3a+1+V3b+1+”3c+1的最大值为()。 解: (“3a+1+V3b+1+V3c+l)2=6+2V3a+lV3b+1+2"3b+l“3c+1+2“3c++1 <64-2(3a+1+3b+1+3c+1)=1&当且仅当a=b=c=寸等号成立,.••所求的最大值为18。 3 例题9-己知函数f(x)=(--1)2+(--1)2的定义域是[a,b],具igbGR+且aVb,⑴求f(x)的最小值;ax (2)若X]G[l,s],x2G[s,4]其中1VsV4,求证: f(xi)+f(x2)>4(V2-l)2. 解: ⑴由基本不等式的变形公式可得,f(x)22[(L): (L)]2=2[空上]2,•・•孚wR+则兰+2二2》・・・ 2zaxax'a f(x)>2[^]2=2(Jj-l)2,上面各式等号成立的条件都是: ? -l=g-l,x=V^I寸取得(虽然两次使川了基本不等式,但x的取值不矛盾),Afmin(x)=2(J-l)2o ①,同理f(x2)>2( (2)设a=l,b=s,X]G[l,s]时,由⑴的结论可得: f(xj>2(l)2=2(Vs-l)2 1)2=2(2s-l)2②由①+②得: f(xl)+仪2$ 2(«-1)2+2($-1)2 2〔(m(升巧2»q严一1)+加)]2 =4(返一1)2. 上面两次用到棊木不等式,等号成立的条件都是S=2时取得…••⑵得证。 例题10.已知两条直线h: y=m和J: y=Fr(m>0)」i与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于A,B,12与函数 乙111*1丄 y=|log2x|的图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分別为a,b,当m变化吋,夕的最小值为 ()。 解: 在同一如标系中作出y=m,y=(m>0),y=Rog2xl图象, 令|1O02X| =m,得Xa=2一m,XB=2巴令|log2x|=亦富得Xc=2~^T/XD =22m+izAa =XA—xc=2_m—2"zm+i b=xD-xB=2^T-2m,故g=2齐石+m由石富+m=|(2m+1)+-1>£当且仅当(2m+1)=能y,即 m=|取等号'故(? )min=? 注: 本题经过巧妙的〃伪装〃,将基本不等式融入到函数中,将文字语言转化为符号语言,实现基本不等式模型的构建,对学牛的运算能力和思维水平捉出了很高要求,号有较好的区分度。 例题□・若平面向量瓦B满^|2a-b|<3,贝ijaeb的最小值是()。 解: 由|2a-b|<3,两边平方,得4a24-b2<9+4a•b,由基木不等式得: 4a2+b2>4|a||b|(当且仅当2|a|=|b|等号成立)。 设G为玄,B夹角为6(0G[0,n]),则当吋,|引冋》土当且仅当0=0,肌等号成立),因 此94-4a•b>4a2+b2>4|a||b|>±4a•B(这里只能取“一“号),即aeb>-|o 注: 木题将基本不等式与向量相结合,通过将向量的模平方,借助基本不等式和斜率数虽积的性质,建立关于的不等式。 此题视角独特,构思精心。 例题12.函数f(x)=acos(ax+0)(a>0)图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是()。 解: 如图, 的总线与过B点垂总于x轴的直线相交于C,则AC=I=^BC=2a,故AB? =(2疔+(势》411(当且仅当『 2a,即3=号等号成立),即AB22换,故AB的最小值是: 2你。 注: 本题将基本不等式渗透到三角*1数屮,关键是运用三角函数的周期、振幅,合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。 此题情景新颖,自然贴切,这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。 例题13.设{an}是等比数列,公比q=VLSn为{an}的前n项和,记g=竺也。 记弘为数列{Tn}的最大an+i° 项,则n°=(). 17ai(l-qn)*-q2n) 解: 由题意,=唱册,令t=qn>°,则―緒二右•卜(t+刊+珂 S丘7(当且仅当t=Y,即t=4等号成立)。 故Tno==9(V24-1),此时n0=4O 注: 本题将基本不等式嵌入数列解题屮,运川数列的基本量及性质将条件转化为关于n的代数式,通过换元后转化为基本不等式模型。 例题14.一个四面体的一条t为X,其余所冇棱长均为1,则此四面体体积V的最大值是()。 解: 由题意得: V(x)=令x"3-x2,xG(0,V3),则V(x)=言厶2(3一*2)<"一=#(当且仅当3-x2=x2,即x=f等号成立),故V的最大值是= Zo 注: 木题把基本不等式与立体儿何的相关知识进行交汇,如果学生对空间图形冇较深刻的认识,可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解,使问题的综合性进一步加强,充分体现出数学试题的多变性。 例题15.平面直角处标系xoy中,已知点A(0,1),B点在直线y=-3上,M点满足MB||MB,MA*AB=MB•丽,点M的轨迹为切线C, (1)求C的方程; (2)P为C上的动点,I为C在得P处的切线,求0点到I的距离的最小值。 解: ⑴『=钗2一2(过程略)⑵设点P(x0,y0)为曲线C上一点,vyz=|x,所以I的斜率为扌x(),故I的方程为y—y°=钗0匕—X。 ),即x°x—2y+2y°—x$=0.则0点到I的距离d=乂y°=—2,・: d=耳^=^= 2屈+4°辰+4 1(^74+-^)>2(当几仅当Xo=0等号成立),・・・0点到I的距离的最小值为2. 第二节“对勾”函数的图象、性质及应用 “对勾”函数y=x+丄与基本不等式有着密切的联系, X 是函数图像的两条渐近线;当x>0时,y=x+i>2,当fl仅当x=1等号成立(此结论可由基本不等式推导), X 即点A是函数y=x+丄在x>0时的极小值点(同时•也是函数增减区间的分点)其坐标为(匕2);当x<0lit, X y=x+i<-2,当H•仅当x=-l等号成立,即点B是函数y=x+±在XV0的极大值点(同时,也是函数增减区间 XX 的分点)其他标为(_1,_2)。 以上在不少的例题中已经运用了这个结论。 事实上,函数y=x+*还有一个很重要的代X 数性质在变量代换中经常'使用。 例题1.(2013年江苏卷13题)在平面直角坐标系xOy中,设点A(a,a),P是函数y=^(x>0)图像上的动点,若点P,A X 之间的最短距离为2匹,则满足条件的实数a的所有值为()。 解: 点A(a,a)是直线y=x上的动点,点P,AZ间的最短距离为2返,即以A为圆心,半径2迈的动圆与函数y=*(x>0) X 点A在直线上运动时,凭直觉认为,动圆都会与函数y=2仪>0)的图像相切于点C(l,l)>因此不难求出a的两个值 X 为或3;而这个答案是错的。 事实上,当a>0吋,两图像的切点位置是少动圆半径大小有关的(如图),只有半径较小时,才可能和切于c。 y=7(x>0)f(x—a)2+G—a)2=(2说)2(x>0) (x一a)2+(y-a)2=(2\/2)2x x? +占一2a(x+±)+2a2-8=0(x>0)①,令t=x+->2,则好+^=t2-2,①式可化为: X\X/XX t2一2at+2a2-10=0(t>2),AA=(-2a)2一4(2a2一10)=0,解得a=V10. 注: 解答木题有两个问题需要注意,一是用数形结合的方法解题时,有觉有可能是错谋的;二是解析式x+丄与x2+4Xxz 的口J代换关系,这样的关系还存在于sinx±cosx与sinx-cosx;Vl+x+Vl-x1jVl-x2^o 如果将“对勾”函数y=x+±变形为: y=ax+%,bWR),研究其图像、性质对解题是很有必要的。 XX (1)y=ax+-(a>0,b>0)此函数是由y=ax和y=匕叠加而成,通过分析两个简单函数的图像特征,画出其叠加函数的 XX 图像,是数学能力的一种体现。 ②x>0时,函数存在极小值点 3递减区间为: (一£,0),(0,J|),递增区间为: (一8,-£),(£,+°°);(②③两条性质口J通过导数证明) 4存在两条渐近线: y=ax,x=0(渐近线在通过作图解题时,起作川)。 例题2•若函数y=f(x)的值域是[*3],则函数F(x)=f(x)+命的值域是()。 解: 设t=f(x)wE,3]侧F(t)=t+{只要画出函数的图像可知: F(t)W[2,¥]・ 注: 本题看似简单,但f(x)取不同的表达式时,情况可能变得很复杂。 例题3・设定义在(0,+8)上的函数f(x)=ax+2+b(a>0)求f(x)的最小值。 解1.(基本不等式法)Ta>0,x>0,・°・f(x)=ax+±+b»2Jax・±+b=b+2,当且仅当 ax=三即X=扌吋等号成立,••・fmin(x)=b+2. 解2.(判别式法)设y=f(x),则Wa2x2+a(b-y)x4-1=0①,显然A=a2(b一y)2-4a2>0,解得y二b+2或ySb-2(舍去),・・・x>0,故应将y=b+2代入①得: a2x2—2ax+1=0即x=扌>0,因此fmin(x)=b+2。 (注: 当主元X有范围使用判别式法时,都应将所求最值制代,检验X的解是否在给定的范用内) 解3.(求导数法)由题意f'(x)=a—2=(ax+l)(ax-l)//a>0x>0...f,(x)>°,有x><0,冇0VXV鸟.故当 ax'ax”aa 函数f(x)单调递增;当0vx<2时,函数f(x)单调递减,因此fmin(x)=b+2oa 变式1: 设定义在(0,+8)上的两数f(x)=ax? +拾+b(a>0)求f(x)的最小值。 变式2: 设定义在(0」)上的函数f(x)=asinx++b(a>0)求f(x)的最小值。 as1nx 变式3: 设定义在[0户8)上的函数f(x)=aex+2+b(a>0)求f(x)的最小值。 ae八 变式4: 设函数f(x)=aeX+点+b(a>0)求f(x)的最小值。 设定义在(1,+°°)上的函数f(x)=logaX+贏二+b(a>0,aHl)求f(x)的最值。 注: 以上5个变式,若以填空题的形式解答,可使用变虽代换,用“对勾”函数的图象直接得到答案;若以解答题的形式解答,应使用求导数的方法证明。 变式5: 变式6: 讨论函数f(x)=ax"+亠+b(a>0,c>0,n取正整数)。 axn 解: fz(x)=anxn~1-^-=11(护当门为奇数时,函数是奇函数,只要讨论x>0即可。 f,(x)>0t axn+1axn+1 x>/—,fz(x)V0t0VxV n为偶数时,函数是偶函数,只要讨论x>0即可°f'(x)>0T xn黑f(x)v°T0vxv攀 例题4•求函数f(x)=2營二1: XG[0,2]的最值。 x2+x+4 解: 由于函数f(x)的分了分母的次数都是2,因此采用“配式法”降低分子的次数;f(x)=2(好+: +4)皿+3=2+證二.令 X2+x+4 X2+X+4* t=x+lG[1,3],则f(t)=2+=2+土;再令u=t+ptG[1,3], Au6[2,5],因此原函数的值域为耳,5]. 注: 求型如f(x)=a: : ;;"和f(x)=ax£: : +c函数的最值(值域),可通过换元法(t=dx+e)转化为函数f(t)=^+t+ ¥+n和f(t)=只要讨论u=t+? 的极值即可;当所求函数的分子分母的次数相同时(如本题)应采用“配 t—+t+—+nt dt 式法”降低分子的次数,转化成f(x)=k+磐抚的形式。 例题5.f(x)=x+-+b(xH0),其中a^ X bGR,若对Va6[i,2]不等式f(x)<10在1]上恒成立,求b的取值范围。 L2 解: Ta>0,・••函数f(x)在(0,苗)上单调递减,在(苗,+8)上单调递增,则f(x)在[? 1]上的最大值为max{fQ)J(l)}.^ [制,不等式f(g。 在盟上恒成立,有馆囂即 bS4a 4 b<9—a 对baw-t2成立t • b<(Y-4a)min= .b<(9-a)min=7 解得bG(_8,彳]. 注: ①将不等式恒成立问题转化为最值问题,是常见的转化形式。 ②变换主元,把f(x)看成关于8的一次函数f(a)=-a+x+b,对HaG,x6=1,不等式f(a)<10恒成立(分XLZL4 两步进行),f(a)max=f (2)=|4-x+b<10,Vx6¥,1■恒成5Z,'•*y=|+X+b在耳,1]上单调递减・°・ymax=¥+84-bS10,解得: b6(—8,扌. 练习1.若关于X的方程4X+(3+3)2X+5=0至少冇一个实根在区间[1,2]内,则实数a的取值范围是(). [-手2佝 —8 练习2.若夕<%<多则函数y=tan2xtan3x的最大值是()。 练习3.若a>b>c>0,求2a2+2+二、—10ac+25c2M小值aba(a-b) 第三节判别式法解题 利用一元二次方程的判别式求某些函数的值域或极值的方法,称为判别式法。 判别式法的使用通常是对含有参数的二次方程。 例题1・求函数y=首若的值域。 解: 由判别式可知分母X24-x+1>0(/.X24-x4-10,x6R),两边同乘以X24-x4-1得: (y一l)x24-(y+l)x+(y-1)=0,将此式看成是x的方程,必有实数解, A=(y+I)2—4(y—l)(y—1)>0解得: 即函数y= x2-x+l x2+x+l 的值域为[? 3 例题2・求函数y=£^的值域。 解: 当x=2或x=-l时分母虽然为0,但分了X+4H0,・・・变形后仍然可得到关于x的二次方程,将函数的两边同乘X2-x-2得: yx2-(y+l)x一2(y+2)=0,此方程x显然有实数解,/.A=(y+l)2+8y(y+2)>0,解得: yh三迪或ys专璧,・・•二次项系数y工0,・・・函数y=^土的值域为驴或ys专璧 注: 在使川判别式法求分式函数的值域时,应注意两点: 一是分式的表达式不能约分,二是变形后,二次项系数为0的y在求得的y的范围内,要代入方程验证。 例题3.求函数y=子的值域 解: y=空好=;: : 誥鳥,・・・由函数的定义域知xH—3,・・・y=告=1+三①・・・三工0,・••①式的值域为y工1; 再将x=—3代入①式,得到的y=|须删除,.••函数y=号等的值域(--|)U(|,1)U(1,+切。 注: 函数的表达式屮的分式,可约分时应先约分,再求值域,最后删除定义域中不存在点所对应的函数值。 例题4.设a】,d为实数,且首项为公差为d的等差数列{an}的前n项和为S.,满足S5S6+15=0,求公差d的取值范围。 解: VS5=5盯+10d,S6=6a〔+15d,将其代入S5S6+15=0并化简得: 2a? +9da〔+10d2+1=0(*) 此式可看成是关于引的二次方程,/.A=(9d)2-8(10d2+l)>0,解得: d<-2V2nJcd>2>/20 注: ①由于方程(*)屮的a^R,AA>0是方程有解的充要条件,因此不必耍再对结果进行检验了。 ②本题也可以求町的取值范围,方法相同。 例题5.a,b>0,a+b+ab=30,试问实数a,b为何值时,ab取得最大值? 解仁利用基本不等式(略)。 解2: 设y=ab,则b=丫代入题设等式并整理得: a24-(y-30)a4-2y=0(*)/.A=(y一30)2-8y>0,解得: y>50a 或yS18。 由a,b>0知0VyV30,.・.yS18.山令y=18,代入(*)式,可解得a=6,b=3满足题设条件a,b>0,所以(ab)max=18. 注: 把(*)式看成关于a的二次方程,△»()是方程在(0,+->)上有解的必要条件(不是充要条件),因此需要通过检验说明最值的取得是合理的。 变式: 己知实数a,b,c满足a+b+c=9,ab+be+ca=24,则b的取值范围是(lSbS5)。 例题6・如图建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位丁•处标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方S.y=kx-^(l+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关,炮的射程 是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最人射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其人小),其飞行高度为3.2T•米, 试问它的横坐标a不超过多少时, 解: ⑴令y=kx-^(l+k2)x2=0
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