第8讲费马点最值模型解析版.docx
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第8讲费马点最值模型解析版
中考数学几何模型8:
费马点最值模型TH
拨开云雾开门见山
名师点睛
BPAPCP=BPPQQEBE
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义:
数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的:
1.如果三角形有一个内角大于或等于120。
,这个内角的顶点就是费马点;
2.如果3个内角均小于120°,那么在三角形内部对3边张角均为120。
的点,是三角形的费马点。
费马点的性质:
费马点有如下主要性质:
1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2•费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解:
费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋
转变换.
秘诀:
以厶ABC任意一边为边向外作等边三角形,这条边所对两顶点的距离即为最小值
启迪思维探究重点
典题探究
例题1.:
△ABC是锐角三角形,G是三角形内一点。
/AGC=/AGB=/BGC=120
求证:
GA+GB+GC的值最小.
证明:
将△BGC逆时针旋转60°连GP,DB.那么△CGB◎△CPD;
/CPD=/CGB=120,CG=CP,GB=PD,BC=DC,/GCB=/PCD.
/GCP=60,
/BCD=60,
△GCP和△BCD都是等边三角形。
/AGC=120,/CGP=60.
A、G、P三点一线。
/CPD=120,/CPG=60.
AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。
G、P、D三点一线。
GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点
变式练习>>>
1•如图,P是边长为1的等边ABC内的任意一点,求tPAPBPC的取值范围
例题2.正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为."2.6,求正方形的边长.
解如图2,连接AC,把厶AEC绕点C顺时针旋1可知△EFC、△AGC都是等边三角形,那么EF=CE.
•••AE+BE+CE=BE+EF+FG.
••点B、点G为定点〔G为点A绕C点顺时针旋转60°所得〕.
••线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值,此时E、F两点都在BG上.
设正方形的边长为a,那么
BO=CO=—,GC=2a,GO=-^a.
22
BG=BO+GO=a+——a
22
•••点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为.2.6.
a+a=€2v6,解得a=2.22
A
注此题旋转△AEB、△BEC也都可以,但都必须绕着定点旋转,
变式练习>>>
BHE
2.假设P为锐角△ABC的费马点,且/ABC=60°PA=3,PC=4,求PB的值.
【驛答】解:
〔1〕\Z_PAB-¥APSA=IB0°-’^LPB=ZJ60°#
二ZP"二"叱,
沁AHPSARCPr
.PA_FB
'Tb~Tc1
:
.PB-2^;
例题3.如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,A、D是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为I,求I的最小值.
Ai
P
【解答】6005003,线段A1E为最短.
变式练习>>>
3.如图,某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米,AD=800米,顶点A,D为两个出口,现在
想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上〔含B,C两点〕开一个货物入口M,并修建三条专用
车道PA,PD,PM.假设修建每米专用车道的费用为10000元,当M,P建在何处时,修建专用车道的费用
最少?
最少费用为多少?
〔结果保存整数〕
连接AM,DM,将△ADP绕点A逆时针旋转60°得△APD
例题4.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A〔-6,0〕,B〔6,0〕,C〔0,4运〕,延长AC到点D,使CD=—AC,过点D作DE//AB交BC的延长线于点E.
〔1〕求D点的坐标;
〔2〕作C点关于直线DE的对称点F,分别连接DF、EF,假设过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
〔3〕在第二问的条件下,设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.〔要求:
简述确定G点位置的方法,但不要求证明〕
0〕,C〔0,Vs〕
•••OA=6,OC=4:
:
,设DE与y轴交于点M
由DE//AB可得△DMCs\AOC,又•/CD
•尘二丄二丄二丄,•CM=2-:
MD=3,同理可得EM=3OA~CO~CA_2
•OM=6:
;,•D点的坐标为〔3,6.;〕;
〔2〕由〔1〕可得点M的坐标为〔0,6「;〕
由DE//AB,EM=MD,可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线
•••点C关于直线DE的对称点F在y轴上,•ED与CF互相垂直平分
•CD=DF=FE=EC,•四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心
作直线BM,设BM与CD、EF分别交于点S、点T,
可证△FTM◎△CSM,•FT=CS,
•/FE=CD,•TE=SD,
•/EC=DF,•TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS,
•直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,
由点B〔6,0〕,点M〔0,6;:
门〕在直线y=kx+b上,可得直线BM的解析式为y=-.「;x+6:
■:
.
〔3〕解法1•/BQ=AQ,•MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小,就是在直线MO上找点G使他
到A、B、M三点的距离和最小•至此,再次发现这又是一个费尔马问题的变形,注意到题目中等边三角形的信息,考虑作旋转变换.
把厶MQB绕点B顺时针旋转60°得到△M'QB,连接QQ'、MM'〔图5〕,可知△QQ'B、△MMB都是等边三角形,那么QQ、BQ.
又MQ、MQ,•MQ+AQ+BQ=MQ、+Q、AQ.
•••点A、M为定点,所以当Q、Q两点在线段AM'上时,MQ+AQ+BQ最小.由条件可证明Q点总
1
在AM'上,所以AM与OM的交点就是所要的G点〔图6〕.可证OG=—MG.
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图5图6图7
1
解法2考虑—MQ+AQ最小,过Q作BM的垂线交BM于K,由0B=6,OM=6「3,可得/BMO=30°2
11
所以QK=—MQ.要使一MQ+AQ最小,只需使AQ+QK最小,根据垂线段最短〞可推出当点A、Q、
22
K在一条直线上时,AQ+QK最小,并且此时的QK垂直于BM,此时的点Q即为所求的点G〔图7〕.过A点作AH丄BM于H,那么AH与y轴的交点为所求的G点.
由0B=6,OM=6j3,可得/OBM=60°•••/BAH=30°
在RtAOAG中,OG=AOtan/BAH=2,3
•-G点的坐标为〔0,23〕〔G点为线段OC的中点〕
例题5.如图1,一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点,且与x轴交于另一点C.
〔1〕求b、c的值;
〔2〕如图1,点D为AC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;
〔3〕将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,PACG内一点,连接FA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR
VAD=DC=2,•••点D坐标(-1,0),I
在RTAQCN中,QN=3:
;,CN=7,/QNC=90°°
VqN2+NC2=2帀,
&V57
1F
•/△APR是等边三角形,•/APM=60°•/PM=PR,cos30°
达标检测领悟提升强化落实
【分析】依然构造60°旋转,将三条折线段转化为一条直线段.
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG,连接FG,易证△AMD◎△AGF,•••MD=GF
•••ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH丄BC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值43,3.
C.4
【解答】解:
如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF,当E、F、P、C共线时,PA+PB+PC最小.
理由:
•/AP=AF,/PAF=60°,
•△FAF是等边三角形,
FA=PF=AF,EF=PB,
•FA+PB+PC=EF+PF+PC,
•••当E、F、P、C共线时,PA+PB+PC最小,
作EM丄DA交DA的延长线于M,ME的延长线交CB的延长线于N,那么四边形ABNM是矩形,在RTAAME中,I/M=90°,/MAE=30°,AE=2,
•ME=1,AM=BN=〔?
;|,MN=AB=2,EN=1,
•••EC=丄-•■.J=.I.:
3.如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且/ABC=ZABE=60°M为对角线BD(不含B点)上任意「
点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,那么AM+BM+CM的最小值为4
【解答】解:
如图,连接MN,•••△ABE是等边三角形,
•••BA=BE,/ABE=60°
•••/MBN=60°
•••/MBN-/ABN=/ABE-/ABN.
即/MBA=/NBE.
又•••MB=NB,
•△AMB◎△ENB(SAS),
•AM=EN,
•••/MBN=60°MB=NB,
•△BMN是等边三角形.
•BM=MN.
•AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据两点之间线段最短〞,得EN+MN+CM=EC最短
•当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长,过E点作EF丄BC交CB的延长线于F,
•/EBF=180°-120°60°
•/BC=4,
•BF=2,EF=2:
■;,在Rt△EFC中,
TEF2+FC2=EC2,
EC=4:
:
.
故答
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