教你如何填幻方.docx
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教你如何填幻方
幻方实例
3阶:
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教你如何填幻方
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权,而且是对幻方进行深入研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3-10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。
在欧洲,直到574年,德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
数学上已经证明,对于n>2,n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法,是把幻方分成了三类,每类又有各种各样的填写方法。
1、奇数阶幻方
n为奇数(n=3,5,7,9,11……)(n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样:
把1(或最小的数)放在第一行正中;按以下规律排列剩下的n×n-1个数:
(1)每一个数放在前一个数的右上一格;
(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;
(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;
(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;
(5)如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方
n为偶数,且能被4整除(n=4,8,12,16,20……)(n=4k,k=1,2,3,4,5……)
先说明一个定义。
互补:
如果两个数字的和,等于幻方最大数和最小数的和,即n*n+1,称为互补。
先看看4阶幻方的填法:
将数字从左到右、从上到下按顺序填写:
这个方阵的对角线,已经用颜色标出。
将对角线上的数字,换成与它互补(同色)的数字。
这里,n×n+1=4×4+1=17;把1换成17-1=16;把6换成17-6=11;把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。
也可以保留对角线上的数字不动,而将其它的数换为与它互补的数。
对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写。
写好后,按4*4把它划分成k²个方阵。
因为n是4的倍数,一定能用4*4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方。
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3、单偶阶幻方
n为偶数,且不能被4整除(n=6,10,14,18,22……)(n=4k+2,k=1,2,3,4,5……)
这是三种里面最复杂的幻方。
以n=10为例。
这时,k=2
(1)把方阵分为A,B,C,D四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶。
用楼梯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数。
(2)在A象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格,和C象限相对位置上的数,互换位置。
(3)在B象限任一行的中间格,自右向左,标出k-1列。
(注:
6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的数据交换),将B象限标出的这些数,和D象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方。
看起来很麻烦,其实掌握了方法就很简单了。
以下是6阶幻方填写的两个步骤:
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幻方问题教案
执教:
杜羲
传说公元前二千多年,在洛水里浮起一只大乌龟,它的背上有个奇特的图案,(如图1),后来人们把它称之为洛书,实际上它是由九个数字排成一定的格式(如图2),图中有一个非常有趣的性质:
它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
许多人产生了这样的问题,图中的九个数字,有没有别的填法?
如果把图形变成4×4个方格,是否也可以进行这样的填数游戏?
1、奇偶性规律:
偶数是能被2整除的整数,如0、2、6、8等,奇数是指被2除余1的整数。
奇偶数的加法具有下列性质:
奇数+奇数=偶数
奇数+偶数=奇数
偶数+偶数+偶数
2、数的整除规律:
a整除b,且a整除c,则a整除b+c,或a整除b-c。
3、商和余数:
整数a除以整数b时,商数是q,余数是r,必有等式a=b×q+r,0≤r
当r=0时,就说b整除a,记为b|a。
如:
30被7除余2,满足关系式30=7×4+2,又因为2<4,也可以说4除30余2。
4、自然数分类:
如果两个整数分别被a除,所得余数相同,那么我们说这两个整数对于a是同余的。
如偶数对于2是同余的(余数都为零),所有奇数对于2也是同余的,(余数都是1)。
由同余,可以对整数进行分类,如整数可按3分成:
被3除余0,被3除余1,被3除余2这三类,也可按4分类,分成被4除余0,被4除余1,被4除余2,被4除余3这四类。
5、自然数分拆:
将一个自然数写成两个自然数的和,叫做自然数的二分拆,其中一个和的形式称为该自然数的一个分拆。
如9写成2+7,4+5,1+8等就是对9的分拆,而2+7(或4+5,1+8)就是它的一个分拆。
一个分拆的被加数和加数调换位置后得到的分拆视为同一个分拆,如2+7和7+2视为9的同一分拆。
例1:
将1-9这九个数,填入图3的方格内,使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。
分析与解:
假设图形中填入的数如图4所示,并设各边和对角线的三数之和为k,则解法的关键是找出中心数及各顶点的数。
我们分三步来完成:
(1)求每行、每列三个数的和,即k值。
(2)确定中心数,即b2=?
(3)试填各顶点数及其它方格内数。
∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k
又∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+…+9=45
∴3k=45k=15
∵a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15
∴(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15
(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=60
45+3b2=603b2=15b2=5
试填a1,若a1为奇,∵a1+c3=10,故C3为奇,a2和a3也应同奇或同偶,若a2、a3同奇,则c2为奇,b3为奇,这样就出现了六个奇数,与1-9的自然数中只有5个奇数矛盾;若a2和a3同偶,则c2为偶,b3为偶,c1也为偶,这样共出现了五个偶数,与1-9的自然数中只有4个偶数矛盾,故a1不能为奇数,则a1应填偶数,此时c1、a3、c3也只能取偶数,由于a1+c3=C1+a3=10,又∵2+8=4+6=10,故只需取a1=2,C3=8,a3=4,c1=6即可,其它各方格中的数须填a2=9,b2=3。
C2=1,b1=7。
如图5所示,这样就得到本题的一个解,若取a1=4,c3=6,a3=2,c1=8,须取a2=9,b3=7,b1=3,c2=1,根据对称轮换,答案是唯一的。
说明:
此题是引例中的问题,将1-9九个数,填入列3×3个方格内,使每行每列、每条对角线的和相等,这叫做三阶幻方,一般地,在n×n个方格内,填上n×n个连续自然数,并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等,则称它为n阶幻方。
解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。
例2:
把1到6这六个数分别填在图7-a中三角形三条边上的六个圆圈内,使每条边上三个圆圈内的数的和都相等。
分析与解:
设填入顶点圆圈内的数分别为a、b、c,其余三个圆圈内的数分别是d、e、f。
每条边上三个圆圈内数的和为k,如图7-a。
∵a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k
∴(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k
又∵a+b+c+d+e+f=1+2+…+6=21
∴(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k
21+(a+b+c)=3k
由上式可知:
a+b+c最小时,k值也最小,a+b+c最大时,k值也最大,且k是整数,当a+b+c=1+2+3=6时,k=9,a+b+c=4+5+6=15时,k=12,所以k可取9、10、11、12四种情况。
当k=9时,a+b+c=6,6只有一个三拆分,6=1+2+3,因此a=1,b=2,c=3,其余三个圆圈内分别填4、5、6、,即e=4,f=5,d=6。
这样就得到一个基本解(如图8)将这个解左、右旋转或适当调换后,可以得到其余的五个解。
当k=10时,a+b+c=9,9有三种三拆分,9=1+2+6=1+3+5=2+3+4,当a、b、C为1,2,6时,以2、6为顶点的一边只能填2,如图9-a,2重复了,故此解排除;当a、b、C为1、3、5时,其余边上的圆圈内约数填上2、4、6即可(如图9-b);当a、b、c为2、3、4时,以3、4为顶点的一边只能填上3,如图9-c,3重复了,故此解也排除。
当k=11,12时,可仿照上面方法求出基本解。
说明:
这个数阵问题中各条边是相互连接的,叫做封闭型数阵图。
封闭型数阵图的解题突破口,是确定各边顶点所应填的数。
为确定这些数,采用的方法是建立有关的等式,通过以最小值到最大值的讨论,来确定每条边上的几个数之和,再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数,其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。
例3、把1-9这九个数,分别填入圆10-a中,使得从中辐射出的每条线上三个圆圈内的数的和相等。
分析与解:
由图10-a可知,计算每条线段上的三个圆圈内数的和时都要用到中心数,因此确定中心数是解此题的关键。
该中心数为χ,其余各数如图10-b所示,每条线段上的三数之和为k。
∵χ+a1+a2=χ+b1+b2=χ+c1+c2=χ+d1+d2=k
∴(χ+a1+a2)+(χ+b1+b2)+(χ+c1+c2)+(χ+d1+d2)=4k
(a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ)+3χ=4k
又∵a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ=1+2+…+9=45
∴45+3χ=4k
观察上式,k是整数,即(45+3χ)被4整除,而(45+3χ)÷4=45÷4+3χ÷4,45除以4的余数为1,则3χ除以4的余数应为3,当χ=1、5、9时,3χ÷4的余数为3。
当χ=1时,k=(45+3×1)÷4=12,12拆分成含有一个1的三个自然数的和有以下四种形式:
12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6这样就得到一个解(如图11-a)。
当χ=5、9时,仿照上面方法可得到相应的解,(如图11-b,图11-c所示)。
说明:
此题中的数阵图,称为辐射型数阵图,解法的关键是确定中心数。
具体方法是:
通过所给条件建立有关等式,通过整除性的讨论,确定出中心数的取值,然后求出各边上数的和,最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和,确定边上其他的数。
例4、,如图12-a中,以○为顶点,有四个小的等腰三角形和三个大的等腰三解形,将1-9这九个数,填入○内,使每个三角形的三个顶点的数字之和相等。
分析与解:
设应填入的数如图12-b所示,观察可知,在计算每个小三角形和大三角形各顶点数字和时,最中间的小三角形三个顶点分别用了三次,其中各顶点用了二次,设每个三角形的三个顶点数的和为k,即:
a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+I=k
a+g+d=k,b+e+h=k,c+f+I=k
∵(a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+f+i)=7k
即:
(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+(c+e+g)=7k
a+b+c+d+e+f+g+h+I=3k
又∵a+b+c+d+e+f+g+h+I=1+2+…+9=45
∴3k=45
k=15
在1-9这九个数中,15的三拆分有下列几种情况:
15=1+9+5=1+8+6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6,在这些拆分中,2、4、5、6、8、出现过三次,其它数字出现过两次,所以C=2,e=8,g=5或c=6,e=4,g=5,再将其它数填入,这样就得到本题的两个解(如图13-a,图13-b所示)
说明:
此题中的数阵图为复合型数阵图,解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
及时练习:
1、用九个连续自然数构造一个三阶幻方,使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60。
2、将1-9这九个自然数分别填入如图14的九个○内,使三角形每边上的四数之和都等于19,且有一个顶点○的数字为1。
3、将1-7这七个数字填写到如图15的小圆圈中,使每条直径上的三个数字之和都为10。
4、把1-10这十个数分别填在如图16的五边形边上的十个圆圈内,使每条边上的三个圆圈内的数的和尽可能最小。
5、把1-9这九个数分别填入如图17的大三角形中的九个小三角形内(每个小三角形只填一个数),要求靠近大三角形三条边的每五个数相加的和相等,问怎样填才能使五个数的和尽可能地大一些,这五个数的和的最大值是多少?
答案:
1、解:
先用1-9这九个自然数构造一个三阶幻方(如图18-a),这个三阶幻方的每行,每列之和为15,题目要求和为60,只需将每个数都加上15即可(如图18-b)
2、设三个顶点数字之和为m,每边三个数之和为k,由于顶点的数属于两边公有,所以将三条边的数字和加在一起,等于将1-9加了一遍,同时将三个顶点数多加了一遍,因为1-9九个自然数的和为45,故m+45=3k,
,由题目可知k=19,∴m=12,将12三拆分且含有1的结果是12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6,排除1、2、9,1、3、8,1、5、6,填入1、4、7。
再填入其它各数。
即得解(如图19)
3、解:
设每条直径的三个数字之和为k,将所有直径的数字相加,中心数加了三次,其它各数加了一次,设中心数为χ,则
(1+2+…+7)+2χ=3k
28+2χ=3k
由题目可知k=10,则χ=1,再填出其它各数。
如图20所示。
4、解:
设各顶点数之和为m,五边形每条边上的数字和为k,将五条边的所有数字相加时,各顶点数加了两次,其余各数加了一次,则
(1+2+3+…10)+m=5k
55+m=5k
当m=1+2+3+4+5=15时,k值最小,k=14,将1、2、3、4、5分别填入各个顶点,再由k=14填出其余各数,如图21所示:
5解:
设填入的数为a、b、c、d、e、f、g、h、I靠近大三角形边的五个数相加的和是k,由图22-a可知:
a+c+b+f+e=k
e+f+g+g+I=k
a+c+d+h+I=k
∴2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)-(b+d+g)=3k
90-(b+d+g)=3k
要使k最大,使b+d+g的值最小,分别取b、d、g为1、2、3,求得k=28,再填入其余各数,如图22-b。
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