九年级反比例函数中的几何图形存在性问题归纳总结.docx
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九年级反比例函数中的几何图形存在性问题归纳总结
专题反比例函数中的几何图形存在性问题
1、如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数(叱0)与反比例函数尸鸟(启0)的图象交于
第二、四象限乩5两点,过点月作曲_Lx轴于〃止=4,sinN/但冷,且点5的坐标为(m-2).
5
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)5是y轴上一点,且△月比是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的七点坐标.
【解答】
(1)•••一次函数y=4田6与反比例函数丫=典图象交于月与5且出ZLx轴,x
:
.ZADO=90°,在RtZLW中,出?
=4,sinZAOD=—.即47=5,
5A05
根据勾股定理得:
加=叱11=3,:
.A(-3,4),
代入反比例解析式得:
力=-12,即y=-22,把5坐标代入得:
a=6,即6(6,-2),
(2)当。
氏=0Ez=Ag5,即艮(0,-5),瓦(0,5):
.当Q4=月瓦=5时,得至IJ组=2祖=8,即属(0,8);
垂直平分线方程为y2得(aH-1),令x=0,得到尸争,即因(0,零),
综上,当点上(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,冬)时,△月比是等腰三角形.
2、在平而直角坐标系才分中,一次函数,=田8的图象经过点月(-2,0),与反比例函数丫=区(心>0)
的图象交于5(a,4).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式:
(2)设必是直线四上一点,过M作必〃x轴,交反比例函数y=k(x>0)的图象于点A;若儿0,Mx
求点M的坐标.
【解答】解:
(1):
一次函数的图象经过点月(-2,0),
,0=-2+6,得6=2,•••一次函数的解析式为产=肝2,
:
一次函数的解析式为产=/2与反比例函数,=区(Q0)的图象交于6(a,4),,4=a+2,…得a=2,x
,4=&得k=8,即反比例函数解析式为:
尸区(Q0);
2x
(2)•二点月(-2,0),:
.OA=2,设点必(m-2,加,点内(呈,血,m
当心〃月。
且.力三月0时,四边形月以V是平行四边形,—-(m-2)=2,
m
解得,/»=2拆或。
=26+2,,点M的坐标为(2V2-2,2V2)或(26,2«+2).
3、一次函数尸当"的图象与y轴交于点6(0,2),与反比例函数尸区(x<0)的图象交于点,(出加.以
3x
加为对角线作矩形的?
,使顶点儿C落在x轴上(点月在点。
的右边),BD与AC交于点、区
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求点4的坐标.
的图象与y轴交于点6(0,2),
,6=2,,一次函数的解析式为丫=言黑:
2・丁5(0,2),,如=2,
作DELO5于E:
四边形月反刀是矩形,:
.BE=ED.VOE//DF,:
.OB=OF=2,:
.n=-2,
4、如图,一次函数产=二什6的图象与反比例函数%=上(尤>0)的图象交于点尸(出4),与x轴交于点月
x
(-3,0),与y釉交于点G如_1才轴于点6,且
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)反比例函数图象上是否存在点〃,使四边形5。
叨为菱形?
如果存在,求出点〃的坐标:
如果不存
在,说明理由.
【解答】解:
(1)9:
AC=BC.COLAB.月(-3,0),,。
为四的中点,即。
1=05=3,
,尸(3,4),5(3,0),将尸(3,4)代入反比例解析式得:
A=12,即反比例解析式为
将月(-3,0)与尸(3,4)代入y=工叶6得:
(-3a+b=0,解得:
"方,.•.一次函数解析式为,.叶2:
"=4[b=23
(2)如图所示,VC(0,2),如_Lx轴,,点,的纵坐标为2,
把y=2代入y=①中,得x=6,得,(6,2),则点,(6,2).
5、如图,正比例函数y=2x的图象与反比例函数片=区的图象交于月、6两点,过点月作月。
垂直x轴于点
x
3连结5C若△月6。
的面积为2.
(1)求左的值:
(2)x轴上是否存在一点,,使△板为直角三角)形?
若存在,求出点。
的坐标;若不存在,请理由.
【解答】解:
(1)•・•反比例函数与正比例函数的图象相交于月、6两点,.,.月、6两点关于原点对称,
:
.OA=OB>,△6%的而枳=A4X的面积=2+2=1,
又是反比例函数丫=上图象上的点,且月CLx轴于点G•••△月夕的面积=《4,x2
k=1,•:
k>3,A=2.故这个反比例函数的解析式为y=2:
2X
(2)x轴上存在一点。
,使△月初为直角三角形.将y=2x与y=2联立成方程组得:
x
V=2xfxi=1[x2=-i
42,解得:
{,/,,月(b2),5(-b-2),
了=vbi=21%=-2
I
①当时,如图b
设直线"的关系式为尸-畀8,将3(1,2)代入上式得:
仁!
■一••直线段的关系式为产乙乙乙
5
2,
令y=0得:
x=5,:
.D(5,0):
②当班_L/15时,如图2,
设直线班的关系式为尸-畀6,将6(-1,-2)代入上式得:
6=-£,乙乙
,宜线6〃的关系式为y=-得*-,,令尸=0得:
x=n-5,/./?
(-5»0):
乙乙
③当助J_物时,如图3,
为线段四的中点,AOD=—AB=OA,9:
A(h2),:
.OC=1,AC=2,2
由勾股定理得:
oa=T0c2十ac2=Vs»**•a?
=,。
W5.0).
根据对称性,当〃为直角顶点,且。
在*轴负半轴时,。
(-石,0).
存在一点〃,使△月即为直角三角形,点。
的坐标为(5,0)或(-5,0)或(旗,0)或(-泥,0)
6、如图,已知反比例函数y=Z的图象与正比例函数y=〃x的图象交于点4(m,-2).x
(1)求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点6的坐标:
(2)试根据图象写出不等式2,几的解集:
x
(3)在反比例函数图象上是否存在点。
,使为等边三角形?
若存在,求出点。
的坐标;若不存在,
请说明理由.
:
.A(-1,-2)代入y=Ax,-2=AX(-1),解得,k=2,:
.y=2x,
又由2x=2,得才=1或才=-1(舍去),2),x
(2),:
k=2,为222MXX
根据图象可得:
当xW-1和0<*<1时,反比例函数y=2的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方,x
即222乂
x
(3)①当点。
在第一象限时,△宏。
不可能为等边三角形,
②如图,当。
在第三象限时,要使为等边三角形,则)=%,设。
(t,2)(t J 9: A(-b-2)A0A=\f5,a士=5,贝ij--5/+4=0, t2 /.r=i,t=-1,此时。 与月重合,舍去, f=4,£=-2,-2,-1),而此时月46,AC^AO.,不存在符合条件的点C 7、反比例函数y=上在第一象限的图象如图所示,过点月(1,0)作x轴的垂线,交反比例函数尸身■的图xx 象于点M△401/的面积为3. (1)求反比例函数的解析式; (2)设点6的坐标为(30),其中t>l.若以45为一边的正方形皿有一个顶点在反比例函数7=区 x 【解答】解: (1)•••△月的的面积为3,4|=3,而Q0,,4=6,•••反比例函数解析式为y=22x (2)当以月5为一边的正方形月547的顶点。 在反比例函数旷=反的图象上,〃点与“点重合,即AB=AM.x 把x=l代入y=互得y=6,点坐标为(1,6),.9.AB=Alf=69At=1+6=7: x 当以四为一边的正方形际刀的顶点。 在反比例函数/=且的图象上,则月1,x 二。 点坐标为(t,t-1),(t-1)=6,整理为f--6=0,解得tx=3,t2=-2(舍去),,£=3, •••以"为一边的正方形有一个顶点在反比例函数旷=区的图象上时,t的值为7或3.x 8、如图,反比例函数■的图象经过点A(-2相,1),射线相与反比例函数的图象的另一个交点为6 (-ba),射线月。 与x轴交于点七与y轴交于点aN加e=75°,血江y轴,垂足为。 . (1)求反比例函数的解析式; (2)求。 。 的长; (3)在x轴上是否存在点尸,使得△川吃•与△月Q? 相似,若存在,请求出满足条件点尸的坐标,若不存 在,请说明理由 解: ⑴•反比例函数尸与的图象经过点A(-2、”,1),.♦.4=-26 .••反比例函数的解析式为: 行&2; (2)过点6作£忆助于必,把5(-1,a)代入了二^•得a=2点,X : .B(-1,2V3),,儿”=笈仁2愿-1,胡¥=45°, Jo TN胡6-75°,: ・/DAC=75°-45°=30°,=4>tanNZ@7=2Xj^x£=2: (3)存在,如图,•: OC=CD-0D=3: .OE=^OC=退, ①当胪Lx釉时,△加艺〜△如,则: OP.=AD=2\[2.: .P,(-2畲,0), ②当"_1_月£时,4APE〜4DCA,•: 期=1,N月月月=90°-30°=60°, P2P广APi+tan/AP2P1=1士正当则22=(_*'^',。 ),综上所述,满足条件点尸的坐标为(-2寸^,0),(g*,0). 9、如图,在平面直角坐标系中,一次函数乂=4肝6(AKO)的图象与反比例函数七寸血中0)的图象相交于第一、三象限内的月(3,5),B(a,-3)两点,与x轴交于点。 . (1)求该反比例函数和一次函数的解析式: (2)直接写出当切>於时,x的取值范围; (3)在y轴上找一点尸使融-尸。 最大,求所-尸。 的最大值及点尸的坐标. 解: ⑴把月(3,5)代入7白』加卢0),可得。 =3X5=15,・♦.反比例函数的解析式为力上: dX/X 15 把点5(a,-3)代入了^=^土,可得&=-5,,6(-5,-3).4X 把月(3,5),5(-5,-3)代入必=/b,可得《,解得, -5k+b=-3b=2 ・•・一次函数的解析式为%=肝2; (2)当必》於时,-5VxV0或*>3. <3)一次函数的解析式为外=田2,令*=0,则尸2,.••一次函数与y轴的交点为尸(0,2), 此时,PB-PC=BC最大,尸即为所求,令y=0,则x=-2,••.0(-2,0),ABC=V(-5+2)2+32=3>/2- 10、如图,一次函数j,=U3(A#0)与反比例函数,=至(aWO)的图象在第一象限交于月,6两点,A点、X 的坐标为(用,6),5点的,坐标为(2,3),连接),过6作6ULy轴,垂足为。 . (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)在射线%上是否存在一点。 ,使得△月勿是直角三角形,求出所有可能的。 点坐标. 解: (1);点5(2,3)在反比例函数y=3•的图象上,,a=3X2=6,x ,反比例函数的表达式为尸表・.・点月的纵坐标为6「点月在反比例函数尸号图象上, (2)如图,①当/如月=90° 时,设6。 与月。 交于其则3),: AE=OE=D,E=~~ : E(~,3)的坐标为(: ",3); 22 ②当/码=90°时,可得直线必的解析式为: 尸-%手 当y=3时,丫=19,,区的坐标为(19,3), 综上所述,当△月勿是直角三角形,〃点坐标为(士[豆,3)或(19,3)
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