整体思想在解二元一次方程组中应用.docx
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整体思想在解二元一次方程组中应用
整体思想在解二元一次方程组中的应用
求解一元二次方程时,用代入消元法或是加减消元法,将二元消元为一元。
在运用消元法时,关于有些问题,不是从局部着手,而是从大处着眼,从整体上
观察,研究解题门路,这类数学思想方法叫整体研究思想,在《二元一次方程组》
中,表现这类思想方法的地方很多.在平时遇到方程组求解时,先从全局观察,
再着手求解,可以在必定程度上训练我们“大处着眼,小处着手”的战略眼光,对
今后高中数学学习,以致工作中都会有所帮助。
2xy5,
例1已知x、y满足方程组则x-y的值为________.
x2y4,
解析:
观察题目特色,我们发现可以把本来的两个方程相减,便可以获得所要求的结果.
解:
把本来的两个方程相减得:
xy1,故,答案应该填写1.
谈论:
此题是把x-y作为一个整体来办理,解答起来要比解这个方程组,求出
x、y的
值,再带入x-y计算求值省时,快速,简单.
例2
3x
2y
8,
①
解方程组
9y
21.
6x
②
解析
此题应抓住6x是3x的2倍,利用方程①的3x=8-2y,从而整体代入方程
②,经
消元求解,使解法简洁.
解
由①,得3x=8-2y.
③
把③代入②,得2(8-2y)+9y=21.
y=1.
把y=1代入③,得3x=8-2.
x2,
∴x=2,∴
y1.
3x5y21
练习:
1.解方程组
4x15y53
解析:
方程组中的系数成倍数关系,适合把①中的整体代入②,先求出x的值,再求
出y的值.
解:
由①得5y=21-3x③
把③代入②,得4x+3(21-3x)=53
4x+63-9x=53,-5x=-10x=2
把x=2代入③,得5y=21-6y=3
x2
∴原方程组的解是
y3
5x6y13,①
2.解方程组
7x+18y1.②
解:
由①,得6y13
5x,将其代入②,得7x+3(13-5x)
1,解得x5.
把x5代入③,得6y
1355,解得y2.
x5
所以原方程组的解为.
y2
例3
21x
37y
327,
①
解方程组
21y
311.
37x
②
解析
此题数字较大,直接运用代入法或加减法,都会遇到复杂的计算,且简单犯错
.
认真观察各未知数的系数,第一个方程组的
x,y的系数,恰巧是第二个方程中
y和x的系
数,故可采纳整体相加减,使系数绝对值变小,获得一个新的简单的方程
.
解
①+②,得58x+58y=638.
即x+y=11.
③
-①,得16x-16y=-16,
即x-y=-1.④
+④,得2x=10,∴x=5.
③-④,得2y=12,∴y=6.
x5,
∴
y6.
xy
x
y
7,
①
2
3
例4
解方程组
3(x
y)
x
y
②
2
3
17.
解析:
此题直接解方程组比较复杂,
观察方程组中方程的特色,
假如把x
y,x
y看
2
3
成整体,先求出它们的值,计算量会较小,也不简单犯错。
为此,我们先把方程变得简单.
,
,
设x
y=A,x
y=B,则原方程组化为
AB7
A5
解得
233AB17.B2.
x
y
2
5,
x
y
,
x
,
即
,整理,得
10
8
x
y
解得
y
2.
x
y
6.
3
2.
8x
7y
13
练习:
1.解方程组
5y
11
4x
解析:
方程组中x、y的系数和相等,可以把两式相加减
解:
①+②得12x+12y=24,即x+y=2③
-②得4x+2y=2,即2x+y=1④
④-③得x=-1,把x=-1代入③得y=3
x1
∴原方程组的解是
y3
2012x2013y2013?
①,
2.解方程组
2013x2012y2012?
②.
解析:
双方程中未知数的系数较大,若采纳平时的消元法计算量很大,观察方程组的形式,可发现系数有轮换、对称的特色,且和相等,所以可采纳整体相加或相减的方法,化简系数,找寻隐含的x、y的关系.
解:
①+②,化简得:
x+y=1③,①-②,化简得:
x-y=-1④,
+④,化简得:
x=0,把x=0代入③得y=1.
x0,
所以原方程组的解为
1.
6x8y33①,
3.已知方程组则x+y的值等于______________.
2xy6②.
解析:
此题可用“代入法”或“加减法”求得x、y的值,但认真观察②
×2+①,可发现
x、y
上的系数同样.所以可不求x、y的值而利用整体思想直接解得x+y的值.
解:
②×2+①,得
10x+10y=45,
所以x+y=4.5.
3xy4xy1
4.解方程组xyxy
26
1
解析:
从形式上看这个方程组比较复杂,应先将每一个方程都进行化简,化成二元一
次方程组的一般形式,此后再选择代入法或加减法。
但是经过观察可以发现,两个未知数出现的形式只有(x+y)和(x-y)两种,可以把它们分别看作一个整体,利用换元法解。
解:
设a=x+y,b=x-y
3a
4b
1
a
5
原方程化为
a
b
解得
3
2
1
b
1
6
x
5
x
4
3
y
解得
所以
3,
1
x
y1
y
3
2(xy)3(xy)3
5.解方程组
4(xy)3x153y
解析:
方程组中的系数成整数倍,②可以经过变形构造出x-y,且x-y的系数互为相反
数,可以把两式互相加减
解:
由②得4(x+y)+3(x-y)=15③,
①+③得x+y=3④,
把④代入①,得x-y=1⑤
④+⑤得x=2,④-⑤得y=1
x
2
∴原方程组的解是
1
y
例5假如关于m、n的二元一次方程组(
3m
an
16
m
7,
Ⅰ)
的解是
n
1.
2mbn
15
请你用合理的方法求关于
x,y的二元一次方程组(
Ⅱ)3(x
y)
a(x
y)
16的解.
2(x
y)
b(x
y)
15
解析经过观察后发现方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)中对应的系数分别相等,若把(Ⅱ)中的x+y和x-y分别看作整体,可知x+y和x-y的值分别与m,n的值相等,从而求得方程组的解.
解把方程组(Ⅱ)中的x+y和x-y分别看作整体,
m7,xy7,
依据方程组(Ⅰ)的解是可得
n1.xy1
x4,
∴
y3
3x
7y
z3
①,
例6已知方程组
10y
z
4②.
4x
求x+y+z的值.
解析:
此题是一个三元一次方程组,依据条件不可以分别求出
x、y、z的值,所以可研究
方程中每项未知数系数的特色,从整体上考虑解决的方法
.
解:
①×3,②×2,得9x
21y
3z
9
①
2x
20y
2z
8
②.
③-④得
x+y+z=1.
练习1.已知5x+4y=9,且3x+8y=11.求代数式2x+3y的值;
2.已知a-2b=5,求15—3a+6b的值.
解析:
1.中两个方程没有联立方程组,不易观察,可联立方程组利用整体思想看望特色
奇妙解题.2.中可对所求代数式进行变形,整体代入.
解:
1.联立方程组,得
5x4y9①,
3x8y11②.
①+②,得
8x+12y=20
化简得2x+3y=5.
故代数式2x+3y的值为5.
2.原式=15-(3a-6b)=15-3(a-2b),
由a-2b=5,
所以原式=15-3×5=0.
2y
假如2x+3y+z=130,3x+5y+z=180,求xyz的值.
解:
将x+2y、x+y+z看作整体,已知条件变形为
(x
2y)
(x
y
z)
130
2(x
2y)
(x
y
z)
180
x2y50
解得
xyz80
x2y
5
则xyz=8
例7有A、B两种型号的U盘,此中2个A型U盘与3个B型U盘最多可储蓄60GB
的信息,5个A型U盘与6个B型U盘最多可储蓄150GB的信息,求3个A型U盘与5
个B型U盘最多可储蓄多少GB的信息?
解析:
此题可依据题意设未知数列方程组,在解方程组的过程中发现解决问题的方法.
解:
设1个A型U盘最多可储蓄xGB的信息,1个B型U盘最多可储蓄yGB的信息,
2x
3y
60
①,
依据题意得
6y
150
②.
5x
①×7-②,得9x+15y=270,
化简得3x+5y=90.
故3个A型U盘与5个B型U盘最多可储蓄
90GB的信息.
例8有甲、乙、丙三种货物,若买甲5件,乙2件,丙4件,一共需80元;若买甲
件,乙6件,丙4件,一共需144元,此刻需购买甲、乙、丙各一件共需多少元?
解析:
此题可依据题意设未知数列三元一次方程组,但由题中条件只好找到两种等量关
系,所以不可以能一一求得三个未知数的值,需考虑整体代入研究结果.
解:
设购买一件甲需x元,一件乙需y元,一件需丙z元,依据题意得
3
5x
2y
4z
80
①,
3x
6y
4z
144
②.
①+②,得
8x+8y+8z=224,
所以x+y+z=28.
故购买甲、乙、丙各一件共需
28元.
练习:
1.有甲、乙、丙三种商品,假如购甲3件、乙2件,丙
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