版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书文北师大版.docx
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2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教师用书文北师大版
1.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.
(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.
2.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
3.命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
(2)p或q的否定:
非p且非q;p且q的否定:
非p或非q.
4.简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.
(2)简单复合命题的真值表:
p
q
綈p
綈q
p或q
p且q
真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
【知识拓展】
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p或q:
p、q中有一个为真,则p或q为真,即有真为真;
(2)p且q:
p、q中有一个为假,则p且q为假,即有假即假;
(3)綈p:
与p的真假相反,即一真一假,真假相反.
2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p且q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p或q是真命题.( √ )
(4)命题綈(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( × )
(5)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × )
(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × )
1.已知命题p:
对任意x∈R,总有|x|≥0;q:
x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )
A.p且(綈q)B.(綈p)且q
C.(綈p)且(綈q)D.p且q
答案 A
解析 命题p为真命题,命题q为假命题,所以命题綈q为真命题,所以p且(綈q)为真命题,故选A.
2.已知命题p,q,“綈p为真”是“p且q为假”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 綈p为真知p为假,可得p且q为假;反之,若p且q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件,故选A.
3.(教材改编)下列命题中,为真命题的是( )
A.任意x∈R,-x2-1<0
B.存在x0∈R,x
+x0=-1
C.任意x∈R,x2-x+
>0
D.存在x0∈R,x
+2x0+2<0
答案 A
4.设命题p:
任意x∈R,x2+1>0,则綈p为( )
A.存在x0∈R,x
+1>0
B.存在x0∈R,x
+1≤0
C.存在x0∈R,x
+1<0
D.任意x∈R,x2+1≤0
答案 B
解析 全称命题的否定,要对结论进行否定,同时要把全称量词换成存在量词,故命题p的否定为“存在x0∈R,x
+1≤0”,故选B.
5.(2015·山东)若“任意x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,
∴ymax=tan
=1.
依题意,m≥ymax,即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
(1)已知命题p:
对任意x∈R,总有2x>0;q:
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p且qB.(綈p)且(綈q)
C.(綈p)且qD.p且(綈q)
(2)(2016·聊城模拟)若命题“p或q”是真命题,“綈p为真命题”,则( )
A.p真,q真B.p假,q真
C.p真,q假D.p假,q假
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)∵p是真命题,q是假命题,
∴p且(綈q)是真命题.
(2)∵綈p为真命题,∴p为假命题,
又p或q为真命题,∴q为真命题.
思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p、q的真假;
(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.
已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(綈q);④(綈p)或q中,真命题是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案 C
解析 当x>y时,-x<-y,
故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>y时,x2>y2不一定成立,
故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知:
①p且q为假命题;②p或q为真命题;③p且(綈q)为真命题;④(綈p)或q为假命题,
故选C.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例2
(1)(2016·唐山模拟)命题p:
存在x0∈N,x
;命题q: 任意a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图像过点(2,0),则( ) A.p假q真B.p真q假 C.p假q假D.p真q真 (2)已知命题p: 任意x∈R,2x<3x;命题q: 存在x0∈R,x =1-x ,则下列命题中为真命题的是( ) A.p且qB.(綈p)且q C.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q) 答案 (1)A (2)B 解析 (1)∵x3 ∴x<0或0 在这个范围内没有自然数,命题p为假命题. ∵f(x)的图像过点(2,0),∴loga1=0, 对任意a∈(0,1)∪(1,+∞)的值均成立.命题q为真命题. (2)容易判断当x≤0时2x≥3x,命题p为假命题,分别作出函数y=x3,y=1-x2的图像,易知命题q为真命题.根据真值表易判断(綈p)且q为真命题. 命题点2 含一个量词的命题的否定 例3 (1)命题“存在x0∈R,使得x ≥0”的否定为( ) A.任意x∈R,都有x2<0 B.任意x∈R,都有x2≥0 C.存在x0∈R,使得x ≤0 D.存在x0∈R,使得x <0 (2)(2015·浙江)命题“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是( ) A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n C.存在n0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0 D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0 答案 (1)A (2)D 解析 (1)将“存在”改为“任意”,对结论中的“≥”进行否定,可知A正确. (2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D. 思维升华 (1)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)(2016·皖南八校联考)下列命题中,真命题是( ) A.存在x0∈R,sin2 +cos2 = B.任意x∈(0,π),sinx>cosx C.任意x∈(0,+∞),x2+1>x D.存在x0∈R,x +x0=-1 (2)(2016·福州质检)已知命题p: “存在x0∈R, -x0-1≤0”,则綈p为( ) A.存在x0∈R, -x0-1≥0 B.存在x0∈R, -x0-1>0 C.任意x∈R,ex-x-1>0 D.任意x∈R,ex-x-1≥0 答案 (1)C (2)C 解析 (1)C选项中,当x>0时,x2+1-x=(x- )2+ >0,即x2+1>x恒成立,∴C正确. (2)根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“任意x∈R,ex-x-1>0”,故选C. 题型三 含参数命题中参数的取值范围 例4 (1)已知命题p: 关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p且q是真命题,则实数a的取值范围是________________. (2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=( )x-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是( ) A.[ ,+∞)B.(-∞, ] C.[ ,+∞)D.(-∞,- ] 答案 (1)[-12,-4]∪[4,+∞) (2)A 解析 (1)若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0, 即a≤-4或a≥4;若命题q是真命题, 则- ≤3,即a≥-12. ∵p且q是真命题,∴p,q均为真, ∴a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞). (2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时, g(x)min=g (2)= -m,由f(x)min≥g(x)min, 得0≥ -m,所以m≥ ,故选A. 引申探究 本例 (2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是________________. 答案 [ ,+∞) 解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g (1)= -m, 由f(x)min≥g(x)max,得0≥ -m, ∴m≥ . 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围; (2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决. (1)已知命题p: “任意x∈[0,1],a≥ex”,命题q: “存在x0∈R,x +4x0+a=0”.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.(4,+∞)B.[1,4] C.[e,4]D.(-∞,-1) (2)已知函数f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的x1,x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立,则实数m的取值范围是________________. 答案 (1)C (2)(-∞,0) 解析 (1)由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4. (2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2, 当x∈[1,4]时,f(x)min=f (1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则f(x)min>g(x)max,即2>2+m,解得m<0,故实数m的取值范围是(-∞,0). 1.常用逻辑用语 考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题,几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系. 一、命题的真假判断 典例1 (1)已知命题p: 存在x0∈R,x +1<2x0;命题q: 若mx2-mx-1<0恒成立,则-4 A.綈p为假命题 B.q为真命题 C.p或q为假命题 D.p且q为真命题 (2)下列命题中错误的个数为( ) ①若p或q为真命题,则p且q为真命题; ②“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件; ③命题p: 存在x0∈R,x +x0-1<0,则綈p: 任意x∈R,x2+x-1≥0; ④命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”. A.1B.2C.3D.4 解析 (1)由于x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即x2+1≥2x,所以p为假命题; 对于命题q,当m=0时,-1<0恒成立, 所以命题q为假命题. 综上可知,綈p为真命题, p且q为假命题,p或q为假命题,故选C. (2)对于①,若p或q为真命题,则p,q至少有一个为真,即可能有一个为假,所以p且q不一定为真命题,所以①错误;对于②,由x2-4x-5>0可得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确;对于③,根据特称命题的否定为全称命题,可知③正确;对于④,命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为2,故选B. 答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值范围 典例2 (1)已知p: x≥k,q: <1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是( ) A.[2,+∞)B.(2,+∞) C.[1,+∞)D.(-∞,-1] (2)(2016·郑州一模)已知函数f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若任意x1∈[ ,3],存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是( ) A.a≤1B.a≥1 C.a≤0D.a≥0 解析 (1)由 <1,得 -1= <0, 即(x-2)(x+1)>0, 解得x<-1或x>2,由p是q的充分不必要条件,知k>2,故选B. (2)∵x∈[ ,3],∴f(x)≥2 =4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)min=22+a=4+a,依题意f(x)min≥g(x)min,∴a≤0,故选C. 答案 (1)B (2)C 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说: 我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说: 我没去过C城市; 丙说: 我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲: 中国非第一名,也非第二名; 乙: 中国非第一名,而是第三名; 丙: 中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名. 解析 (1)由题意可推断: 甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过A城市,由此可知,乙去过的城市为A. (2)由题意可知: 甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一 1.命题p: 若sinx>siny,则x>y;命题q: x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( ) A.p或qB.p且qC.qD.綈p 答案 B 解析 命题p假,q真,故命题p且q为假命题. 2.下列命题中,真命题是( ) A.任意x∈R,x2>0 B.任意x∈R,-1 C.存在x0∈R, <0 D.存在x0∈R,tanx0=2 答案 D 解析 任意x∈R,x2≥0,故A错;任意x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;由y=2x的图像可知任意x∈R,2x>0,故C错,D正确. 3.(2016·西安质检)已知命题p: 存在x0∈R,log2(3x0+1)≤0,则( ) A.p是假命题;綈p: 任意x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题;綈p: 任意x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;綈p: 任意x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;綈p: 任意x∈R,log2(3x+1)>0 答案 B 解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,则log2(3x+1)>0,∴p是假命题;綈p: 任意x∈R,log2(3x+1)>0,故选B. 4.(2016·河北邯郸收官考试)已知p: 任意x∈R,x2-x+1>0,q: 存在x0∈(0,+∞),sinx0>1,则下列命题为真命题的是( ) A.p或(綈q)B.(綈p)或q C.p且qD.(綈p)且(綈q) 答案 A 解析 因为x2-x+1=(x- )2+ >0恒成立,所以命题p是真命题;任意x∈R,sinx≤1,所以命题q是假命题,所以p或(綈q)是真命题,故选A. 5.(2016·江西高安中学等九校联考)下列判断错误的是( ) A.若p且q为假命题,则p,q至少之一为假命题 B.命题“任意x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2-1>0” C.“若a∥c且b∥c,则a∥b”是真命题 D.“若am2 答案 C 解析 选项A,B中的命题显然正确;选项D中命题的否命题为: 若am2≥bm2,则a≥b,显然当m=0时,命题是假命题,所以选项D中命题正确;对于选项C中的命题,当c=0时,命题是假命题,即选项C中的判断错误,故选C. 6.(2016·唐山检测)已知命题p: 任意x∈R,x3 存在x0∈R,sinx0-cosx0=- ,则下列命题中为真命题的是( ) A.p且qB.(綈p)且q C.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q) 答案 B 解析 若x3 若sinx-cosx= sin(x- )=- , 则x- = +2kπ(k∈Z),即x= +2kπ(k∈Z), ∴命题q为真命题,∴(綈p)且q为真命题. 7.已知命题“存在x0∈R,使2x +(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-1,3) C.(-3,+∞)D.(-3,1) 答案 B 解析 依题意可知“任意x∈R,2x2+(a-1)x+ >0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×
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