二次函数一元二次方程及一元二次不等式之间的转化docx.docx
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二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的转化(学案)
主要知识:
1、一元二次方程的解法、判别式及根与系数的关系
2.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法:
一般式y=+零点式y=a{x-xx)(x-x2);顶点式y=a(x-x0)2+/?
.
⑵当a>0,f(x)在区I'可[p,q]上的最大值M,最小值m,令兀()=丄(p+q).
2
若-邑
若尢()S 2a2a2a 3.二次不等式转化策略 方程 ax1+加+c=O(a>0) 的判别式及根的情况 △=」4心0 方程有二根兀]、x2 (X, S=b2-4ac=Q 方程有一根西 (兀1=兀2) A=Z? 2-4ac<0 方程无实根 y-ax1+bx+c(d〉0) 的图像 J 丿, i 1丿 i\ 1 J Ly> 不等式 ax1+/zv+c>0(。 >0) 的解集 不等式 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 不等式 ax1-\-bx+c<0(67>0) 的解集 不等式 ax2+bx+cW0(Q>0) 的解集 2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(数形结合)⑴方程f(x)二0的两根屮一根比r大,另一根比r小0g•f(厂)<0 A=/? 2-4ac>0 ⑵二次方程心。 的两根都大于心徭" «-/(r)>0 A=/? 2-4ac>0, b ⑶二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根OV一£5 a•/⑷>0, af(P)<0 a-f(q)<0 a・/(p)>0; (4)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p> 练习: 1.己知函数f(x)=-x3+—ax2+2bx+3c的两个极值点分别为刘,x2,且xiE(0, 32 1),x2e(l,2),则b-3a的取值范围是・ 2.若关于X的方程3rx2+(3-7r)x+4=0的两个实根a,B满足0 的取值范围是. 3 3.己知关于X的方程兀2一(2加一8)兀+加2_16二0的两个实根Xi、X2满足<- 数m的取值范围. 4.若方程lg(-x2+3x-ni)=lg(3-x)在[0,3]上有唯一解,求m的取值范围。 6.设A={x|1 x2-2bx+5 的取值范围,使得AcX. 7.已知关于x的二次方程兀2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围. 8.设二次函数/(劝二处2+/zr+c(d>0),方程f(x)-x=0的两个根xi,x? 满足0<兀]<勺<丄.a 当兀w(0,兀J时,证明兀v/(x)<. 19.设/(x)=x2-2ox+2,当xe[-1,+8)时,都有f(x)Ma恒成立,求a的取值范围。 10.设函数/(兀)=处2+/? 兀+c,II/ (1)=—土,3a>2c>2Z? 求证: 仃)a>0且—3v2v—°; a4 (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点; ⑶设X】,X2是函数f(x)的两个零点,则72<|^-^21<^. 1.(3,10) 7 2(汩) 4•解: 原方程等价于 —兀? +3x—zn>0 3-x>0 0 -x2+3x-m=3-x -x2+3x-m>0 0 -x2+4x-3=Z72 参考答案 令)\=-x2+4x-3,y2=mf在同一坐标系内,画出它们的图象,其中注意0Wx〈3,当且 仅当两函数的图彖在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解,由下图可见,当m二1,或-3WmW0时,原方程有唯一解,因此m的取值范围为[-3,O]U{1}。 5.证明: 原方程整理后,得2q32+2q+1—q2=o,令f(x)=2a2x2+2ax+Y-a2,则f(x)是开口向上的抛物线,且f(0)=l-a2<0,故此二次函数f(x)二0有一个正根,一个负根.要证明正根比1小,只须证f (1)>0,要证明负根比-1大,只须证f(-1)〉0.因为/(I)=2/+2q+1_a2=(°+1尸>0从而命题得证. /(-l)=26Z2-2t? +l-6/2=(6Z-l)2>0 6.解: 设f(x)—x"—2兀+c/=(x—1)~+(q—1),g(兀)—~26x4-5—(x—+(5—b)? .要 "1)50使AcX时,则必使f(x),g(x)在[1,3]上的函数图象落在x轴下方,即丿~ /(3)<0 7.解: ⑴条件说明抛物线/(x)=x2+2/nx+2m+l与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1, 2)内,画出示意图,得 /(0)=2m+l<0, /(-1)=2>0, /(I)=4/h+2<0, / (2)=6m+5>0 1 m<—— 2meR、 =>< m< 51•••—— 62 8•证明: 由题意可知f(x)-x=a(x-x})(x-x2>).\90 •••当xw(0,xi)时,f(x)>x.又f(x)-x,=a{x-x})(x-x2)+x-x}=(x-xx)(ax-ax2+1) X-Xi<0,.且ox-czx,十l>l-or)>0,.*.f(X) 所以实数s的取值范围是a5~3~^~或a^l. 解析2: 当沪0时,不符合题意,所以aHO,又/(x)=lax24-2x-3-«=0在[T,1]上 19—1 a3-2x 有解,0(2兀2一1加=3-2兀在[-1,叮上有解o—=在[-1,1]上有解,问题转化 为求函数y=2x上的值域;设t=3-2x,xe[-l,1],则2x=3-t,te[l,5], 3-2x ),=丄・(,_3)~_2=丄(/+7._6),设g(t)=t+-.gi(t)=^-^-f虫[i,V7)时,g*(t) 2t2ttr 此函数£⑴单调递减,虫(J7,5]时,g(t)>0,此函数g⑴单调递增,・・・y的取值范围是 [77-3,1],/./(x)=2ax2+2兀一3-0=0在[-1,1]上有解u>丄w[J7-3,1]a>\或a _3+77 *——• 11•解: 记①的解集为A,②的解集为B,③的解集为C。 解①得A=(-1,3);解②得 B=[0,l)u(2,4],・•・AcB二[0,1)u(2,3) (1)因同时满足①、②的x值也满足③,AnBcC 设f(x)=2x2+mx+l,由f(x)的图象可知: 方程的小根小于0,大根大于或等于3时,即可满 (2)因满足③的x值至少满足①和②中的一个,・・・CuAuB,而AUB二(-1,4]因此Cu(-1,4]二方程2x2+mx-l=0小根大于或等于T,大根小于或等于4,因而 /(-1).=1-/72>0 31 /(4)=4m+31>0.解之彳导一二5加51 4 —1<<4 4 12.解: •・•log1(x2+x+g)=log][(兀+£)2+勺52,log](2x2-x+|)=log][2(兀-丄)2+^] 22^242®242 又f(x)在(-8,2]上递增,由原不等式,得: log,(x2+x+—) 13.证明: ⑴依题意,对任意xWR,都有f(x) (x-y-)2 /.f(—)=—<1,•/a>0,b>0/.a<2y[b. 2b4b (2)充分性: ・・・b>l,a^b-1,对任意xe[0,1]可推岀: ax-bx2>b(x-x2)-x>-x>-\, 即ax-bx1>-1;Xv/? >\,a<2y/h,对任意xW[O,1],可知 必要性: 对任意xe[O,1],|/(x) /./(! )>-! 综上,对任意xe[o,1]|f(x)\<1的充要条件是b-\ (3)Va>0,O〈bW1时,对任意xe[O,1],f(x)=ax-bx2>-b>-l 即f(x)NT;又由f(x)W1知f⑴W1,即a-bWl,即aWb+1,而当aWb+1时,/(-V)=ax-bx1<(b+l^x-bx2=-b(x-^-)2+ •・・0<比1,・・・匕乜>1・••在[0,1]上,y=(b+l)x-bx2是增函数,故在x=l时取得最大值12b ・・・f(x)W1
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