完整word版高三数学空间向量专题复习附答案.docx
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完整word版高三数学空间向量专题复习附答案
、利用向量处理平行与垂直问题
例1、在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB900,BAC300,BC1,A1A6,M
练习:
棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC?
例2如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对
11
角线BD,AE上,且BMBD,ANAE,求证:
MN//平面CDE
33
练习1、在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,,CD中点,求证:
D1F平面
ADE
2、如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,ABC60,PAACa,PBPD2a,点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?
证明你的结论.
例2在正方体
ABCDA1B1C1D1中,F分别是BC的中点,点E在D1C1上,且
1
1D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小
4
例4已知E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点,求:
1)A1D与EF所成角的大小;
2)A1F与平面B1EB所成角的大小;
3)二面角CD1B1B的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题
例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,底面ΔABC中,∠C=90°,AC=BC=1,求点B1到平面A1BC的距离。
例2如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CACBCD
AD2
(I)求证:
AO平面BCD;
II)求异面直线AB与CD所成角的大小;(III)求点E到平面ACD的距离。
例3如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,
C
B
F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证:
AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离。
空间向量与立体几何考点系统复习
一、利用向量处理平行与垂直问题(特别是探索性问题)例1、在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB900,BAC
11
角线BD,AE上,且BMBD,ANAE,求证:
MN//平面CDE
33
证明:
建立如图所示空间坐标系,设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
NMNAABBM(2a,0,c)又平面CDE的一个法向量AD(0,3b,0)由NMAD0得到NMAD
因为MN不在平面CDE内
所以NM//平面CDE
练习1、在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,,CD中点,求证:
D1F平面
ADE
2、如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,ABC60,
PAACa,PBPD2a,点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.在棱PC上是否存在一点
F,使BF∥平面AEC?
证明你的结论.
解答:
根据题设条件,结合图形容易得到:
3aa2aa
B(,,0),D(0,a,a),E(0,,)
2233
3aa
C(,,0),P(0,0,a)
22
3aa
,a)
2
F
(3a
(2
CP(2
假设存在点
CFCP
BFBC
CF
a
2,a)。
3a
32a,(12)a,
又AE(0
23a,a3)
3aa
AC(23a,2a,0)
则必存在实数
2使得BF1AC
2AE,
把以上向量得坐标形式代入得
3a
2
(1)a
2
2aa
3
31a
2
1a22a
23
1
2
1
2
3
2
即有BF
12AC
3AE
2
所以,在棱PC存在点
F,
即PC中点,能够使BF
∥平面AEC。
、利用空间向量求空间的角的问题
1
例1在正方体ABCDA1B1C1D1中,E1,F1分别在A1B1,,C1D1上,且E1B1=A1B1,
4
1
D1F1=1D1C1,求BE1与DF1所成的角的大小。
4
解:
设正方体棱长为4,以DA,DC,DD1为正交基底,建立如图所示空间坐标系
解:
设正方体棱长为1,以DA,DC,DD1为单位正交基底,建立如图所示坐标系
解:
设正方体棱长为1,以DA,DC,DD1为单位正交基底,建立如图所示坐标系
二面角CD1B1B的正弦值为6
113三、利用空间向量求空间的距离的问题例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,底面ΔABC中,∠C=90°,AC=BC=1,求点B1到平面A1BC的距离。
解1:
如图建立空间直角坐标系,由已知得直棱柱各顶点坐标如下:
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0)A1(1,0,3),B1(0,1,3),C1(0,0,3)
(I)求证:
AO平面BCD;
II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(III)求点E到平面ACD的距离。
解:
(I)略
(II)解:
以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则
B(1,0,0),D(1,0,0),
13uuur
C(0,3,0),A(0,0,1),E(12,23,0),BA
uuur
1,0,1),CD(1,3,0).
uuuruuurcosBA,CD
uuuruuur
BA.CD2uuuruuurBACD
异面直线AB
III)解:
设平面ACD的法向量为nruuur
n.AD
ruuur
n.AC
y
z0,
z0.
与CD所成角的大小为
(x,y,z).(1,0,1)0,(x,y,z).(0,3,1)0,
令y1,得n(3,1,3)是平面ACD
的一个法向量,
uuur
EC
3
23,0),
点E到平面ACD的距离h
uuurr
EC.n
321
7
例3如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证:
AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离解(Ⅰ)略
(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为AB所在直线为y轴,建立空间直角坐标系
AE面BCE,
AEB中,AB
在Rt
过O点平行于AD的直线为O—xyz,如图.
BE面BCE,AEBE,
2,O为AB的中点,
OE
1A(0,
1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).
AE
(1,1,0),AC
AEn0,则即
ACn0,
2的正方形,AE=EB,
C
B
(0,2,2).设平面AEC的一个法向量为n(x,y,z),
2xyy2x0,0.解得zyx,x,
令x1,得n(1,1,1)是平面AEC的一个法向量
又平面BAC的一个法向量为m(1,0,0),
m,n13
cos(m,n).
|m||n|33
3
∴二面角B—AC—E的大小为arccos3.
3
(III)∵AD//z轴,AD=2,∴AD(0,0,2),∴点D到平面ACE的距离d|ADn|223.
|n|33
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