案例《中点四边形》.docx

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案例《中点四边形》

教学案例《中点四边形》

大木初中杜英

教材分析：

本节课是在同学们学习了平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质和判定，以及三角形中位线的性质后安排的一节探究活动课，一方面中点四边形问题本身是四边形中一个有趣的问题，同时通过本节课的探究，可以复习特殊四边形的性质和判定方法，复习三角形中位线有关性质。

既可以作为一堂四边形的复习课，又可作为探究中点四边形性质的新授课。

学生经历实践、观察、探究中点四边形的形状、面积与原四边形的关系，能进一步体会三角形中位线性质及特殊四边形的性质和判定在实际中的应用。

通过对前一阶段的学习，学生对三角形的性质已比较熟悉，能运用中位线解决有关问题，对特殊四边形的判定方法已有初步认识，能独立进行有关计算和简单的推理论证，对添加辅助线构造中位线或已知中点构造中位线已有初步的印象，但还没得到充分体验。

学习与导学目标：

知识积累与疏导：

体会中点四边形的概念、形状、面积与原四边形之间的关系，

技能掌握与指导：

掌握用三角形中位线证明中点四边形形状的方法，以及运用中点四边形与原四边形对角线的联系判断中点四边形的形状。

智能提高与训导：

在观察、比较、探索、归纳等过程中学会与他人的交流与合作，培养语言表达能力和简单的逻辑推理能力。

情感修炼与开导：

通过创设情境、实际操作活动，体验数学活动中

充满着探索与发现，体验学习数学的乐趣。

观念确认与引导：

数学学习过程就是不断发现问题、提出问题、通过探究解决问题，最终总结提高的过程。

重点与难点：

重点是通过添加辅助线，构造三角形的中位线来证明线段之间的数量和位置关系，从而证明中点四边形的性质。

这也是难点。

学程与导程活动：

一创设情境，激发兴趣

利用多媒体展示丰富多彩的中点四边形图案，并从中选一个图案进行探究。

借助多媒体技术，展示一个四边形，顺次连接该四边形各边中点得一新的四边形，然后移动鼠标不断改变原四边形的形状观察新四边形的形状的变化。

（点评：

借助信息技术，激发学生探究的兴趣，并提出探索问题）

师：

我们看屏幕上的四边形ABCD，顺次连接四边中点E、F、G、H，观察四边形EFGH的形状有什么特征？

生1：

像一个平行四边形。

师：

现在我改变四边形ABCD的形状（仍然是一般四边形）四边形EFGH是什么形状的？

生2：

仍然是平行四边形。

师：

改变四边形ABCD的形状，四边形EFGH的形状虽然在改变，但始终保持是一个平行四边形，我们把这种顺次连接四边形各边中点所形成的四边形称作中点四边形

板书：

中点四边形

二自主探索，合作交流

探究1：

师：

我们能通过推理来论证刚才的发现吗？

请同学们在纸上任意画一个四边形ABCD，并画出中点四边形，验证并证明它是平行四边形。

师：

通过小组讨论探究证明途径，并请同学们描述你们探索的过程；

（点评：

探究实验，培养合作精神）

生3：

我们小组通过讨论，考虑到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以度量了中点四边形的两组对边发现是相等的，所以它是平行四边形。

师：

你们说得不错，度量是探究的有效手段，我们知道两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以我们可以通过度量四边形的两组对边来验证。

但度量仅是一种验证的手段，我们能否运用推理来论证呢？

也就是说能否证明中点四边形的两组对边分别相等呢？

师：

图中有四个中点，你们有没有考虑与中点有关的线段呢，例如中线、中位线等。

请坐下来再考虑，我们看看其他同学是怎么想的，好吗？

生4：

我们考虑到相邻两边的中点的连线段可形成中位线，可以连接AC、BD，由中位线性质可知EF=GH=

AC，EH=FG=

BD，所以四边形EFGH为平行四边形。

生5：

我们认为连接一条对角线就可以了：

连接AC，在△ABC中E，F为BA、BC中点，所以EF为△ABC的中位线，EF平行且等于

AC，同理GH平行且等于

AC，所以EF平行且等于GH，所以四边形EFGH为平行四边形。

师：

很好，通过连接对角线构造中位线所在的三角形，利用中位线性质证明到中点四边形一定是平行四边形。

在已知中点的情况下，可构造中位线，得到线段之间特殊的数量关系（

）和位置关系（平行）。

师：

请同学们再画几个特殊的四边形，看看它们的中点四边形是什么形状的，仅仅是平行四边形吗？

生6：

我们小组画了一个正方形，它的中点四边形是正方形，

生7：

我们小组画了一个矩形，它的中点四边形是菱形，

生8：

我们小组画了一个菱形，它的中点四边形是矩形，

师：

很好，有没有其他图形了？

生9：

我们小组画了一个等腰梯形，它的中点四边形也是菱形，

师；好，我们每个小组画的都是特殊四边形，它们的中点四边形也是特殊四边形。

其中有两个小组画的中点四边形是菱形，也可以说有三个小组画出的中点四边形是菱形（为什么这样说呢），那么中点四边形是菱形时，原四边形有什么共同的特征呢？

生10：

我们发现它们的对角线相等。

师：

那有没有哪个同学能告诉我，会不会只要原四边形的对角线相等，中点四边形就一定是菱形呢？

生11：

这容易证明，中点四边形一定是平行四边形，如果原四边形的对角线相等，那么它们的一半、即中点四边形的一组邻边也相等，所以中点四边形是菱形。

师：

对。

我们是否可以这样说：

中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的大小与位置呢，请同学们探究并完成下表：

原四边形的对角线

中点四边形

既不相等又不垂直

一般平行四边形

相等

菱形

垂直

相等且垂直

探究2：

我们知道1）正方形ABCD的中点四边形EFGH也是正方形，若S正方形ABCD=8，则S正方形EFGH=_________________;

2）若ABCD为矩形，且S矩形ABCD=8，则S菱形EFGH=___________;

3）若ABCD为一般四边形，且S四边形ABCD=m，则中点四边形EFGH的面积S四边形EFGH=________________;

同学们思考片刻回答。

生12：

当S正方形ABCD=8时，S正方形EFGH=4，

当S矩形ABCD=8时，S菱形EFGH=4

当S四边形ABCD=m时，S中点四边形EFGH=

m

师：

很好，你能简单的说说解答过程吗？

生12：

当ABCD为正方形时，连接EG，HF，因为E、F、G、H为中点，所以EG、HF将ABCD平分成了4个正方形，每一块又被平分成了两块，所以中间中点四边形的面积应等于原正方形的面积的一半，当ABCD为矩形时，也可这样解释，只是当ABCD为一般四边形时，我只是根据前面的结果进行了猜测，还没有想到解释的理由。

师：

你已经做得很不错了，解释得很清楚。

第三问：

当ABCD为一般四边形时，你虽没有能够解释为什么，但你根据第一第二问的结果，总结出规律来回答，也是常用的一种思考问题的方法，请你坐下来再思考一下能否证明你的这个结论，看看其他同学能否解释，好吗？

师：

我们是否可以从面积公式来考虑呢，如图，连接BD，交EF、GH于M、N，看看S△ABD与S平行四边形EMNH之间有什么关系呢

生13：

设△ABD中BD边上的高为h，则平行四边形EMNH中，MN边上的高为

h，MN=EH=

BD

S△ABD=

BDh=MN

h，而S平行四边形EMNH=MN

h=

MN

h

所以S△ABD=2S平行四边形EMNH，

同理S△BCD=2S平行四边形MFGN

所以S平行四边形EFGH=

S四边形ABCD=

m

师：

很好。

也就是说无论四边形是什么形状，它的中点四边形的面积一定等于原四边形面积的一半。

（板书结论）

（点评；教材实现了自主、探索、合作、交流的学习方式，学生经历了动手操作、语言表达、发现规律、合作交流等过程，从而体验解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新能力。

在教学设计上遵循从感性认识到理性认识的规律，使学生在亲身经历了从特殊到一般的转化过程中获得丰富的感性材料，为规律的揭示打下良好的基础。

在教学中学生有充分的时间和空间经历用自己的语言表述规律，与同伴交流各自的方法，使学生通过自主探索与合作交流发现规律，认识规律。

）

三．运用新知，解决问题

1、已知四边形ABCD的中点四边形为正方形，则四边形ABCD可能是下列图形中的那一种（）

A等腰梯形B矩形C菱形D对角线互相垂直且相等的四边形

2、如图：

四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.

（1）证明：

四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；

（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；

（4）求四边形A5B5C5D5的周长.

学生板演

四巩固练习，共同提高

（1）图①是一块直角三角形纸片。

将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A与点C重合，DE为折痕。

试证明△CBE等腰三角形；

（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图②）。

通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”。

你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？

如果能折成，请在图③中画出折痕；

（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：

①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形的顶点）上；

（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上）。

请你进一步探究，一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足何条件是，一定能折成组合矩形？

五归纳总结，达成共识

师：

本节课你们有什么收获和体会？

生14：

我们学了当四边形为一般四边形时，中点四边形为平行四边形；

当原四边形对角线互相垂直时，中点四边形为矩形

当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形

当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形

师：

还有补充的吗？

生15：

中点四边形的面积是原四边形面积的一半。

生16：

遇到与中点有关的问题时，可以构造中位线来解决。

六作业布置：

1、三角形三边中点连接所形成的三角形的面积为原三角形面积的

，四边形的中点四边形的面积为原来的

。

查阅有关资料看看顺次连接正多边形各边中点所得多边形与原多边形的面积存在着什么关系。

七板书设计

教学反思：

这节课是在新课程标准下新教材的一节数学活动课，教学过程力图摆脱传统教学的束缚，探索一条探究式教学的新路，设计意图力求体现以下几点：

体现《新课程标准》的理念，数学来源于生活实际，数学知识和方法常用来解决生活中的问题，我们学的是有价值的数学，教学过程充分体现学生的主体作用，教师的主导作用，不仅要体现学生的“自主学习”的过程，而且要体现学生在学习过程中的“合作意识”

转变学生的学习方式，课堂教学中，以学生的自主探究、合作交流为主线，以解决实际问题为目标，使学生从被动的接受式学习变为主动的探究式学习，培养学生的独立思考和群体决策的能力。

转变教师的教学观念，在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者和参与者，教学中教师再也不是课堂的唯一主宰，而是其中平等的一员，在组织课堂教学的同时，要善于发现学生的创新火花，鼓励学生大胆探索，引导学生克服困难勇闯难关，与学生平等地交流，在轻松、民主、和谐的教学气氛中，促进学生成长。

本节课教学体现了新课程的理念，基本实现了课前制定的教学目标，学生在经历探索规律并通过发现问题、解决问题、形成共识这一过程，体验到数学活动充满探索与发现以及学习数学的乐趣，学生经历了动手操作、语言表达、发现规律、合作交流等过程，实现了能力的进一步的提高，在学习方式上基本实现了自主、探索、合作、交流的学习方式，满足了学生个性的发展。

最后布置具有挑战性的作业，鼓励同学加强课外阅读，到知识的海洋去遨游。