高考精品复习第三篇导数及其应用第3讲 导数的应用二.docx
- 文档编号:1184171
- 上传时间:2022-10-18
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:207.30KB
高考精品复习第三篇导数及其应用第3讲 导数的应用二.docx
《高考精品复习第三篇导数及其应用第3讲 导数的应用二.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考精品复习第三篇导数及其应用第3讲 导数的应用二.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考精品复习第三篇导数及其应用第3讲导数的应用二
第3讲 导数的应用
(二)
【高考会这样考】
1.利用导数求函数的极值.
2.利用导数求函数闭区间上的最值.
3.利用导数解决某些实际问题.
【复习指导】
本讲复习时,应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用,会将一些实际问题抽象为数学模型,从而用导数去解决.复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.
基础梳理
1.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
两个注意
(1)注意实际问题中函数定义域的确定.
(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
三个防范
(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.
(2)f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0取极值的既不充分也不必要条件.
如①y=|x|在x=0处取得极小值,但在x=0处不可导;
②f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.
(3)若y=f(x)可导,则f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取极值的必要条件.
双基自测
1.(2011·福建)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( ).
A.2B.3C.6D.9
解析 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f(x)在x=1处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以ab≤2=2=9,当且仅当a=b=3时取到等号.
答案 D
2.已知函数f(x)=x4-x3+2x2,则f(x)( ).
A.有极大值,无极小值B.有极大值,有极小值
C.有极小值,无极大值D.无极小值,无极大值
解析 f′(x)=x3-4x2+4x=x(x-2)2
f′(x),f(x)随x变化情况如下
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
+
f(x)
0
因此有极小值无极大值.
答案 C
3.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位:
万元)与年产量x(单位:
万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ).
A.13万件B.11万件
C.9万件D.7万件
解析 y′=-x2+81,令y′=0解得x=9(-9舍去).当0<x<9时,y′>0;当x>9时,y′<0,则当x=9时,y取得最大值,故选C.
答案 C
4.(2011·广东)函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值.
解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)
当x<0时,f′(x)>0,当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,故当x=2时取得极小值.
答案 2
5.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=________.
解析 ∵f(x)在x=1处取极值,∴f′
(1)=0,
又f′(x)=,
∴f′
(1)==0,
即2×1×(1+1)-(1+a)=0,故a=3.
答案 3
考向一 函数的极值与导数
【例1】►(2011·重庆)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-对称,且f′
(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
[审题视点]由条件x=-为y=f′(x)图象的对称轴及f′
(1)=0求得a,b的值,再由f′(x)的符号求其极值.
解
(1)因f(x)=2x3+ax2+bx+1,
故f′(x)=6x2+2ax+b.
从而f′(x)=62+b-,
即y=f′(x)的图象关于直线x=-对称,
从而由题设条件知-=-,解得a=3.
又由于f′
(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.
(2)由
(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,
f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).
令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,
解得x1=-2,x2=1.
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,
故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;
当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,
故f(x)在(-2,1)上为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(1,+∞)上为增函数.
从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,
在x2=1处取得极小值f
(1)=-6.
运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤:
(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
【训练1】(2011·安徽)设f(x)=,其中a为正实数.
(1)当a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
解 对f(x)求导得f′(x)=ex.①
(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,
解得x1=,x2=.
综合①,可知
x
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以,x1=是极小值点,x2=是极大值点.
(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立.
因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,
由此并结合a>0,知0<a≤1.
考向二 函数的最值与导数
【例2】►已知a为实数,且函数f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求导函数f′(x);
(2)若f′(-1)=0,求函数f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值.
[审题视点]先化简再求导,求极值、端点值,进行比较得最值.
解
(1)f(x)=x3-ax2-4x+4a,得f′(x)=3x2-2ax-4.
(2)因为f′(-1)=0,所以a=,
有f(x)=x3-x2-4x+2,所以f′(x)=3x2-x-4.
令f′(x)=0,所以x=或x=-1.
又f=-,f(-1)=,f(-2)=0,f
(2)=0,
所以f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值分别为、-.
一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值,在开区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值,若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上单调递增,则f(a)是最小值,f(b)是最大值;反之,则f(a)是最大值,f(b)是最小值.
【训练2】函数f(x)=x3+ax2+b的图象
在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行
(1)求a,b;
(2)求函数f(x)在[0,t](t>0)内的最大值和最小值.
解
(1)f′(x)=3x2+2ax
由已知条件
即解得
(2)由
(1)知f(x)=x3-3x2+2,
f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
f′(x)与f(x)随x变化情况如下:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
2
-2
由f(x)=f(0)解得x=0,或x=3
因此根据f(x)的图象
当0 最小值为f(t)=t3-3t2+2; 当2 最小值为f (2)=-2; 当t>3时,f(x)的最大值为f(t)=t3-3t2+2,最小值为 f (2)=-2. 考向三 用导数解决生活中的优化问题 【例3】►(2011·江苏)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值? 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. [审题视点]由实际问题抽象出函数模型,利用导数求函数最优解,注意变量的实际意义. 解 设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当x=15时,S取得最大值. (2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x). 由V′=0得x=0(舍去)或x=20. 当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0. 所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值. 此时=.即包装盒的高与底面边长的比值为. 在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合,用导数求解实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点. 【训练3】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为: y=x3-x+8(0 (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升? 解 (1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时,其耗油量为 f(x)=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考精品复习第三篇 导数及其应用 第3讲 导数的应用二 高考 精品 复习 第三 导数 及其 应用