数学山西省晋城市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题 含答案.docx
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数学山西省晋城市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题含答案
晋城市2018年高三第一次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,集合,则()
A.B.C.D.
2.设是虚数单位,若,则()
A.-3B.3C.1D.-1
3.函数,的值域为,在区间上随机取一个数,则的概率是()
A.B.C.D.1
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.B.C.D.
5.设,则“”是“函数在定义域上为增函数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.若,则()
A.B.C.D.
7.某些首饰,如手镯,项链吊坠等都是椭圆形状,这种形状给人以美的享受,在数学中,我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”,其离心率.设黄金椭圆的长半轴,短半轴,半焦距分别为,则满足的关系是()
A.B.C.D.
8.执行如图所示的程序框图,则程序最后输出的结果为()
A.B.C.D.
9.已知函数的图像向右平移个单位后,得到函数的图像关于直线对称,若,则()
A.B.C.D.
10.在如图所示的三棱柱中,已知,点在底面上的射影是线段的中点,则直线与直线所成角的正切值为()
A.B.C.D.
11.已知是双曲线的左,右焦点,点在双曲线的右支上,如果,则双曲线离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
12.已知定义在上的可导函数的导函数为,对任意实数均有成立,且是奇函数,则不等式的解集是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为.
14.若满足约束条件,则的最小值为.
15.在的展开式中,的系数为(用数字作答).
16.已知空间直角坐标系中,正四面体的棱长为2,点,,,则的取值范围为.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列中,,其前项和为,满足.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和,并证明.
18.如图,在锐角中,,,,点在边上,且,点在边上,且,交于点.
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)求及的长.
19.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:
克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.
(Ⅰ)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件,求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率;
(Ⅱ)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;
(Ⅲ)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用表示乙车间的零件个数,求的分布列与数学期望.
20.如图,在四棱锥中,,且.
(Ⅰ)当时,证明:
平面平面;
(Ⅱ)当四棱锥的体积为,且二面角为钝角时,求直线与平面所成角的正弦值.
21.已知直线是抛物线的准线,直线,且与抛物线没有公共点,动点在抛物线上,点到直线和的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线上运动,过点做抛物线的两条切线,切点分别为,在平面内是否存在定点,使得恒成立?
若存在,请求出定点的坐标,若不存在,请说明理由.
22.已知函数,.
(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若在区间上恒成立,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BDBCA6-10:
BBBCB11、12:
AD
二、填空题
13.14.15.6016.
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)由,得,
后式减去前式,得,得.
因为,可得,所以,
即数列是首项为1,公比为2的等比数列,所以.
(Ⅱ)因为,所以,
所以,
因为,所以.
18.解:
(Ⅰ)在锐角中,,,,
由正弦定理可得,所以.
(Ⅱ)由,,可得,,
所以
,
因为,所以,,
在中,,,,
由余弦定理可得,
所以.
由,得,
所以.
19.解:
(Ⅰ)甲车间合格零件数为4,乙车间合格零件数为2,
∴.
(Ⅱ)设事件表示“2件合格,2件不合格”;事件表示“3件合格,1件不合格”;事件表示“4件全合格”;事件表示“检测通过”;事件表示“检测良好”.
∴,
∴.故所求概率为.
(Ⅲ)可能取值为0,1,2.
,
,
,
分布列为
∴.
20.(Ⅰ)证明:
取的中点,连接,
∵为正三角形,∴,
∵,∴,
∵,∴,
∴四边形为矩形,∴,
在中,,,,∴,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)证明:
∵,,,
平面,∴平面,
∵平面,∴平面平面,
∴过点作平面,垂足一定落在平面与平面的交线上.
∵四棱锥的体积为,
∴,∴,
∵,∴.
如图,以为坐标原点,以为轴,轴.
在平面内过点作垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,
由题意可知,,,,,,
设平面的一个法向量为,则,得,
令,则,∴,
,设直线与平面所成的角为,
则.
则直线与平面所成角的正弦值为.
21.解:
(Ⅰ)作分别垂直和,垂足为,抛物线的焦点为,
由抛物线定义知,所以,
显见的最小值即为点到直线的距离,故,
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线的方程为,当点在特殊位置时,显见两个切点关于轴对称,故要使得,点必须在轴上.
故设,,,,
抛物线的方程为,求导得,所以切线的斜率,
直线的方程为,又点在直线上,
所以,整理得,
同理可得,
故和是一元二次方程的根,由韦达定理得,
,
可见时,恒成立,
所以存在定点,使得恒成立.
22.解:
(Ⅰ),
①当,即时,时,,时,,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增;
②当,即时,和时,,时,,
所以在区间上单调递减,在区间和上单调递增;
③当,即时,和时,,时,,
所以在区间上单调递减,在区间和上单调递增;
④当,即时,,所以在定义域上单调递增;
综上:
①当时,在区间上单调递减,在区间和上单调递增;
②当时,在定义域上单调递增;
③当时,在区间上单调递减,在区间和上单调递增;
④当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(Ⅱ)令,
原问题等价于在区间上恒成立,可见,
要想在区间上恒成立,首先必须要,
而,
另一方面当时,,由于,可见,
所以在区间上单调递增,故,所以在区间上单调递减,
∴成立,故原不等式成立.
综上,若在区间上恒成立,则实数的取值范围为
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