八年级数学上册第13章轴对称133等腰三角形1332等边三角形同步练习新版新人教版.docx

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八年级数学上册第13章轴对称133等腰三角形1332等边三角形同步练习新版新人教版

13.3.2等边三角形

学校：

___________姓名：

___________班级：

___________

一．选择题（共12小题）

1．如图，△AOB是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标是（　　）

A．（

，

）B．（

，﹣1）C．（﹣1，

）D．（

，﹣1）

2．平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．则平面上等边△ABC的巧妙点有（　　）个．

A．7B．8C．9D．10

3．在△ABC中，AB=BC=AC=6，则△ABC的面积为（　　）

A．9B．18C．9

D．18

4．下列几种三角形：

①有一个角为60°的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为120°的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

5．等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　）

A．等边三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰但非等边三角形

6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（　　）

A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状

7．下面给出几种三角形：

（1）有两个角为60°的三角形；

（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

8．在下列结论中：

（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；

（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；

（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；

（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．

其中正确的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

9．已知：

在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：

①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；

③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．

上述说法中，正确的有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（　　）

A．4cmB．6cmC．8cmD．12cm

11．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（　　）

A．18°B．20°C．25°D．15°

12．在下列结论中：

①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；

②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；

③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；

④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．

其中正确的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二．填空题（共8小题）

13．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　　．

14．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于　　，数字2012对应的点将与△ABC的顶点　　重合．

15．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为　　．

16．下列三角形：

（1）有两个角等于60°；

（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　　．

17．在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，

），B（﹣1，0），C（1，0）．

（1）△ABC为　　三角形．

（2）若△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形相比，主要的变化是　　．

18．如果三角形的三边a、b、c适合（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），则a、b、c之间满足的关系是　　；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是　　．

19．如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB=　　cm．

20．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=5，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于　　．

三．解答题（共5小题）

21．已知：

在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：

∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？

22．如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？

23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．

（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；

（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？

若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．

24．如图一，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：

（答题时，注意书写整洁）

（1）图一中有几个等腰三角形？

（写出来，不需要证明）

（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．

（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？

（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．

25．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？

如存在，请求出此时M、N运动的时间．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．

解：

如图，过点A作AE⊥x轴于点E，

∵△AOB是等边三角形，

∴AE⊥OB，∠OAE=30°，

∴OE=

OA=1，AE=

．

∵点A位于第二象限，

∴（﹣1，

）．

故选：

C．

2．

解：

（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，

（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：

共有9个点符合要求，

∴具有这种性质的点P共有10个．

故选：

D．

3．

解：

如图，作AD⊥BC于D，

∵AB=BC=AC=6，

∵AD为BC边上的高，则D为BC的中点，

∴BD=DC=3，

∴AD=

，

∴等边△ABC的面积=

BC•AD=

×6×3

=9

．

故选：

C．

4．

解：

因为有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，

那么可由①，②，④推出等边三角形，

而③只能得出这个三角形是等腰三角形．

故选：

B．

5．

解：

如图，∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，

∠F=90°﹣∠B，

∴∠AEF=∠F．

又∠A=120°，

∴∠FAE=60°．

∴△AEF是等边三角形．

故选：

A．

6．

解：

∵△ABC为等边三角形

∴AB=AC

∵∠1=∠2，BE=CD

∴△ABE≌△ACD

∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°

∴△ADE是等边三角形．

故选：

B．

7．

解：

有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，

那么可由

（1），

（2），（4）推出等边三角形，

而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．

故选：

B．

8．

解：

（1）：

因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．

（2）：

两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．

（3）：

等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．

（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误．

故选：

D．

9．

解：

①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，

利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；

②若添加条件为∠B=∠C，

又∵∠A=60°，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠A=∠B=∠C，

则△ABC为等边三角形；

③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：

已知：

∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，

求证：

△ABC为等边三角形．

证明：

∵AE⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠AEC=90°，

在Rt△ADC和Rt△CEA中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），

∴∠ACE=∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，

综上，正确的说法有3个．

故选：

A．

10．

解：

延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BE=6cm，DE=2cm，

∴DM=4cm，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=30°，

∴NM=2cm，

∴BN=4cm，

∴BC=2BN=8cm．

故选：

C．

11．

解：

如图延长BD到M使得DM=DC，

∵∠ADB=78°，

∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°，

∵∠ADB=78°，∠BDC=24°，

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°，

∴∠ADM=∠ADC，

在△ADM和△ADC中，

，

∴△ADM≌△ADC，

∴AM=AC=AB，

∵∠ABD=60°，

∴△AMB是等边三角形，

∴∠M=∠DCA=60°，

∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，

∴∠BAO=∠ODC=24°，

∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，

∴24°+2（60°+∠CBD）=180°，

∴∠CBD=18°，

故选：

A．

12．

解：

①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；

②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；

③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；

④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．

故选：

C．

二．填空题（共8小题）

13．

解：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC．

又点D是边BC的中点，

∴∠BAD=

∠BAC=30°．

故答案是：

30°．

14．

解：

∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，

∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；

∴﹣3x=9，

x=﹣3．

故A表示的数为：

x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，

点B表示的数为：

2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，

即等边三角形ABC边长为1，

数字2012对应的点与﹣4的距离为：

2012+4=2016，

∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，

∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．

故答案为：

﹣3，C．

15．

解：

∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，

∴∠2=120°，

∵∠MON=30°，

∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，

又∵∠3=60°，

∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，

∵∠MON=∠1=30°，

∴OA1=A1B1=1，

∴A2B1=1，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，

∵∠4=∠12=60°，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，

∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，

∴A3B3=4B1A2=4，

A4B4=8B1A2=8，

A5B5=16B1A2=16，

以此类推：

△AnBnAn+1的边长为2n﹣1．

故答案是：

2n﹣1．

16．

解：

（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形；

（2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；

（3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形；

（4）、

∵AD=DC，BD⊥AC，

∴AB=BC，

∵AB=AC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC是等边三角形；

故答案为

（1）

（2）（3）（4）．

17．

解：

（1）如图，

由题中条件可得，BC=2，OA=

，OB=OC=1，

∴AB=AC=2=BC，

∴△ABC是等边三角形；

（2）如上图，若将△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，

则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将△ABC向右平移3．

18．

解：

∵（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），

∴a≠b，

∴a2﹣2ac=﹣c2，

∴（a﹣c）2=0，

∴a=c，

∴△ABC是等腰三角形，

∴a、b、c之间满足的关系是a=c≠b，

故答案为：

a=c≠b，△ABC是等腰三角形．

19．

解：

在△ABD和△ACD中

，

∴△ABD≌△ACD．

∴∠BAD=∠CAD．

又∵AB=AC，

∴BE=EC=3cm．

∴BC=6cm．

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC为等边三角形．

∴AB=6cm．

故答案为：

6．

20．

解：

连接AA′，

∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=5，

∴AM=MC=A′M=MC′=2.5，

∵∠MA′C=30°，

∴∠MCA′=∠MA′C=30°，

∴∠MCB′=180°﹣30°=150°，

∴∠C′MC=360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=360°﹣（150°+60°+90°）=60°，

∴∠AMA′=∠C′MC=60°，

∴△AA′M是等边三角形，

∴AA′=AM=2.5．

故答案为：

2.5．

三．解答题（共5小题）

21．

解：

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°．

22．

解：

连接DP，

∵∠DOP=60°，OD=OP，

∴△ODP是等边三角形，

∴∠OPD=60°，PO=PD，

∵等边三角形ABC，

∴∠A=∠B=60°，

∴∠AOP+∠OPA=120°，∠OPA+∠DPB=120°，

∴∠AOP=∠DPB，

在△AOP和△BPD中

，

∴△AOP≌△BPD，

∴AO=BP=2，

∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4

23．

解：

（1）BE垂直平分AD，理由：

∵AM⊥BC，

∴∠ABC+∠5=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠C=90°，

∴∠5=∠C；

∵AD平分∠MAC，

∴∠3=∠4，

∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，

∴∠BAD=∠ADB，

∴△BAD是等腰三角形，

又∵∠1=∠2，

∴BE垂直平分AD．

（2）△ABD是等边三角形．理由：

∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，

∴∠ABD=60°，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAM=60°，

∵AD平分∠CAM，

∴∠4=

∠CAM=30°，

∴∠ADB=∠3+∠C=60°，

∴∠BAD=60°，

∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，

∴△ABD是等边三角形．

24．

解：

（1）①∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵BD、CD分别是角平分线，

∴∠DBC=

∠ABC=

∠ACB=∠DCB，

∴DB=DC，

∴△BDC是等腰三角形，

即在图1中共有两个等腰三角形；

②∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBE=∠DBC，

∴∠DBE=∠EDB，

∴EB=ED，

∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠AFE，

∵AB=AC，

∴△AEF为等腰三角形，

即在图2中增加了三个等腰三角形；

（2）同②可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，

所以EF=BE+CF，

即只有两个等腰三角形．

25．

解：

（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

x×1+12=2x，

解得：

x=12；

（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，

∵三角形△AMN是等边三角形，

∴t=12﹣2t，

解得t=4，

∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由

（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等边三角形，

∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵

，

∴△ACM≌△ABN，

∴CM=BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，

y﹣12=36﹣2y，

解得：

y=16．故假设成立．

∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．